5.1.1 复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第5章 复数 5.1.1 复数的概念 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 3 了解数系扩充的过程，理解引入复数的必要性，体会虚数单位i的引入过程。 理解复数的基本概念，掌握复数的代数表示形式 z=a+bi(a,b∈R)，能准确区分复数的实部与虚部。 掌握复数的分类（实数、虚数、纯虚数），能判断一个复数的类型。 理解复数相等的充要条件，并能运用该条件求解相关问题。 新课引入 【问题情境】 同学们，我们先来回顾一下大家所熟悉的“数”的发展历程。 问题1：从小学到现在，我们学过了哪些数？请按照“数系从小到大”的顺序说一说。 自然数 → 整数 → 有理数 → 无理数 → 实数 问题2：每一次数系的扩充，都是因为什么？ 减法运算使自然数不够用，引入负数→整数；除法运算使整数不够用，引入分数→有理数；开方运算使有理数不够用，引入无理数→实数 这个方程在实数范围内无解 问题3：现在请大家解方程 +1=0？ 新课引入 【引发认知冲突】 类似的困境在历史上也曾出现。意大利数学家卡尔丹（G. Cardano） 在 1545 年研究一元三次方程的求根公式时，遇到了负数开平 方的问题。起初人们认为这种数“没有意义”而回避， 但随着研究的深入，数学家们发现负数开平方是无法回避的，于是逐步接受并定义了这种新数。 设问：那么，我们能不能像历史上数学家们所做的那样，把数系再扩充一次，让方程 +1=0 也有解呢？ 互动探究 【活动一：引入新数 i】 复数的概念 问题链驱动： 问题1：如果我们要让 =-1 有解，需要引入一个什么样的新数？ 问题2：我们给这个新数起个名字，叫“虚数单位”，记作 i。那么 i 应该满足什么条件？ 同学们讨论与阅读课本 类比从自然数到整数的扩充（引入负数），从整数到有理数的扩充（引入分数），思考本次扩充需要引入一个平方等于-1的新数。 =-1。 互动探究 【活动一：引入新数 i】 复数的概念 问题链驱动： 问题3：这个新数 i 可以和实数进行四则运算吗？比如 2+i、3i、1-2i 这些数有意义吗？？ 问题4：那么方程 +1=0 的解是什么？ 同学们讨论与阅读课本 实数与 i 进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 互动探究 【活动二：概念建构——小组讨论】 复数的概念 每组 4-5 人，完成以下任务： 序号 题目 小组任务 1 观察：，，，， 这些数有什么共同特点？ 尝试用一个统一的形式表示 2 你能给这种形式的数起个名字吗？各部分分别叫什么？ 讨论并命名 3 上面的数中，哪些是我们以前就认识的？哪些是新的？ 尝试分类 各小组派代表汇报讨论结果 归纳出：形如 a+bi(a,b∈R) 的数叫复数，其中 a 叫实部，b 叫虚部。 互动探究 【活动三：分类游戏】 复数的概念 卡片：3+2i -5i 4 0 i 1-3i i -2 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集 请同学上台将这些卡片贴到黑板上相应的集合圈中 直观理解复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的包含关系。 讲授新课 1. 复数的定义 复数的概念 形如 z=a+bi(a,b∈R) 的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 =-1。 全体复数构成的集合叫做复数集，通常用大写字母 C 表示，即 C={a+bi∣a,b∈R}。 其中 a 称为复数 z 的实部，记作 Rez=a；b 称为复数 z 的虚部，记作 Imz=b。 注意：虚部是实数 b，而不是 bi。例如复数 3-2i 的实部是 3，虚部是 -2。 讲授新课 2. 复数的分类 复数的概念 复数形式 条件（） 名称 实数 虚数 且 纯虚数 讲授新课 3. 数集之间的关系 复数的概念 自然数集 N ⊂ 整数集 Z ⊂ 有理数集 Q ⊂ 实数集 R ⊂ 复数集 C。 虚数集 = {复数} - {实数}；纯虚数集 ⊂ 虚数集。 讲授新课 4. 复数相等的充要条件 复数的概念 如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么这两个复数相等。即： a+bi=c+di⇔a=c 且 b=d ("其中 " a,b,c,d∈R) 特别地，a+bi=0⇔a=0" 且 " b=0。 典例分析 题型1 复数构成 例 1 说出下列复数的实部和虚部： 5+3i (2) -2i (3) 4 (4) 0 解： （1）实部为 5，虚部为 3。 （2）可写成 0+(-2)i，实部为 0，虚部为 -2。 （3）可写成 4+0i，实部为 4，虚部为 0。 （4）可写成 0+0i，实部为 0，虚部为 0。 小结：任何复数都可统一写成 a+bi 的形式，实数和纯虚数都是复数的特殊情况。 典例分析 题型3 复数相等 例 3 已知 (x+y)+(x-2y)i=5+i，求实数 x 和 y 的值。 解： 根据复数相等的充要条件，两个复数相等当且仅当实部与 虚部分别相等。 可得方程组： 解这个方程组：由①－②得 ，即 。 代入①得 ，即 。∴ ，。 。 小结：复数相等条件可以将复数问题转化为实数方程组问题，这是处理复数问题的重要方法。 随堂练习 1.写出下列复数的实部和虚部： （1）2-5i (2) 7i (3) -3 (4) 0 实部 2，虚部 -5；实部 0，虚部 7；实部 -3，虚部 0 实部 0，虚部 0 随堂练习 2.实数 m 取什么值时，复数 z=(-1)+(m+2)i 是： 实数？ (2) 虚数？ (3) 纯虚数？ 实部 a=-1，虚部 b=m+2 当 b=0，即 m=-2 时，为实数。 当 b≠0，即 m≠-2 时，为虚数。 当 a=0 且 b≠0，即 -1=0 且 m≠-2，解得 m=1 或 m=-1，结合 m≠-2，得 m=±1 时为纯虚数。 随堂练习 3.已知 (2x-y)+(x+y)i=4+5i，求实数 x 和 y。 由复数相等的条件得：2x-y=4，x+y=5,解得 x=3，y=2 4.判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)实数一定是复数。(2)复数一定是虚数。(3)纯虚数的实部一定为 0。 (4)两个虚数一定不能比较大小。 正确。实数可写成 a+0i 的形式，是复数的特殊情况。错误。复数包括实数和虚数，实数不是虚数。正确。纯虚数的定义就是实部为 0 且虚部不为 0 的复数。正确。两个虚数（虚部不为 0）不能比较大小。 课堂检测 1.（4 分）复数 3-4i 的虚部是（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i B。复数 3-4i=3+(-4)i，虚部是 -4。 2.（4 分）若复数 z=(-4)+(a+2)i 是纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 0 B。纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0，即 a^2-4=0 且 a+2≠0，解得 a=2。 课堂检测 3. （4 分）已知复数 =a+bi 与 =2+3i 相等，则 a+b=（ ） A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 B。由复数相等条件得 a=2，b=3，∴ a+b=5。 4. （8 分）实数 m 取什么值时，复数 z=-m-6+(-3m)i 是： 实数？ (2) 虚数？ (3) 纯虚数？ 当 b=0，即 m(m-3)=0，得 m=0 或 m=3 时，为实数。当 b≠0，即 m≠0 且 m≠3 时，为虚数。当 a=0 且 b≠0，即 (m-3)(m+2)=0 且 m(m-3)≠0，解得 m=-2 时，为纯虚数。 学海拾贝 知识小结 复数：形如 z=a+bi(a,b∈R) 的数，a 叫实部，b 叫虚部。 虚数单位 i：=-1，实数与 i 进行四则运算时原有运算律不变。 复数的分类：b=0 为实数；b≠0 为虚数；a=0 且 b≠0 为纯虚数。 复数相等的充要条件：a+bi=c+di⇔a=c 且 b=d。 数系扩充路线：N⊂Z⊂Q⊂R⊂C。 学海拾贝 思想方法 类比思想：类比实数系的扩充引入复数 转化思想：利用复数相等条件将复数问题转化为实数方程（组）问题 分类讨论思想：根据实部与虚部的情况判断复数类型 学海拾贝 后续展望 情感升华：数系的每一次扩充，都是数学发展史上的一次飞跃。从“虚无缥缈”的虚数到今日广泛应用于电工学、量子力学、信号处理等领域的复数，这一历程见证了人类理性思维的力量。希望同学们在学习中也能保持对未知的好奇与探索的勇气！ 感谢聆听! 北师版2019 $