5.1.2 复数的几何意义 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第4章 三角恒等变换 5.1.2 复数的几何意义 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 3 理解复数的几何表示：掌握复数与复平面内的点、以原点为起点的向量之间的一一对应关系。 掌握复数的模：理解复数模的几何意义，会求复数的模。 理解共轭复数：掌握共轭复数的定义及其在复平面内关于实轴对称的几何特征。 体会数形结合思想：通过代数与几何的互化，提高分析问题和解决问题的能力。 新课引入 问题驱动 我们已经知道，实数可以与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。 那么，复数 z=a+bi 能否也在某个“平面”上用点来表示呢？ 新课引入 生活实例 在平面直角坐标系中，一个点 P(x,y) 可以唯一确定一个向量 类比实数与数轴的关系，我们能否建立一个平面，使复数的实部和虚部正好对应点的横纵坐标？ P(,b) 引发思考 数学家高斯正是将复数与平面直角坐标系联系起来，创立了“复平面”，从而让复数有了直观的几何意义，为解决许多数学和物理问题提供了利器。 互动探究 活动一：小组合作，建构复平面 复数的几何意义 任务：在方格纸上画出平面直角坐标系，并标注点 A(2,3)、B(-1,2)、C(0,-2)、D(3,0)。 A B C D 提问：如果把点 (a,b) 看作复数 a+bi，请写出以上各点对应的复数。 2+3I -1+2I -2I 3 讨论：哪些点在实轴上？哪些点在虚轴上？实轴和虚轴的交点对应什么复数？ 互动探究 活动二：猜一猜“复数的模” 复数的几何意义 已知复数 z=3+4i，大家猜测其模是多少，并说明与哪个几何量有关。 A 类比实数的绝对值，得出模是复数对应的点到原点的距离。 互动探究 活动三：共轭兄弟 复数的几何意义 两组共轭复数：2+3i 与 2-3i；-1-2i 与 -1+2i。 A 在复平面内描出它们对应的点，观察对称性。 2+3i B 2-3i C -1-2i D -1+2i 交流：共轭复数的实部、虚部有什么关系？它们的模相等吗？ 知识讲解 1. 复平面 复数的几何意义 建立直角坐标系，用横轴（x 轴）表示实部，称为实轴；纵轴（y 轴）表示虚部，称为虚轴。这个平面叫做复平面。 任意复数 z=a+bi 都可以用复平面上的点 Z(a,b) 来表示。 一一对应关系： 复数 z=a+bi ⇔ 点 Z(a,b) ⇔ 向量 实轴上的点对应实数，虚轴上的点（除原点）对应纯虚数。 知识讲解 2. 复数的模 复数的几何意义 定义：复数 z=a+bi 的模记作 |z| 或 |a+bi|， |z|= 几何意义 复数 z 对应的点 Z(a,b) 到原点的距离，也是向量 的长度。 复数的模是非负实数，它是实数的绝对值概念的推广。 知识讲解 3. 共轭复数 复数的几何意义 定义：若 z=a+bi，则它的共轭复数记为=a-bi。 性质： 几何意义：在复平面内，共轭复数对应的点关于实轴对称。 典例分析 例1 在复平面内，分别表示复数 =3-2i，=-2+i，=i，=4 所对应的点，并求出它们的模。 解： =3-2i：对应点 A(3,-2)，== =-2+i：对应点 B(-2,1)，== 典例分析 例2 已知复数 z=+(m+1)i 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 m 的取值范围。 解： 第二象限的点满足 ，所以 故 的取值范围是 。 典例分析 例3 求复数 z=1+√3 i 的共轭复数，并求 z⋅。 解： 共轭复数 。 随堂演练 训练1 写出下列复数在复平面内对应点的坐标，并求模： (1) z=-4+3i (2) z=-5i (3) z=-2 训练1 (1) 点 ， (2) 点 ， (3) 点 ， 随堂演练 训练2 已知复数 z=(x-2)+i （x∈R）对应的点在虚轴上，求实数 x 的值。 训练2 虚轴上的点实部为 0，即 x-2=0⇒x=2。 此时 z=0+(4-6+2)i=0，对应原点（同时在实轴和虚轴上），符合题意。 答案：x=2。 随堂演练 训练3 若复数 z=1+mi （m∈R）的模为 2，求 m 的值。 训练3 。 随堂演练 训练4 在复平面内，复数 z 对应的点为 (2,-1)，求 z 的共轭复数并画出其对称点。 训练4 ，共轭复数 ，对应点 ，与 关于实轴对称。 检测 检测1 复数 z=-2+i 的模等于（ ） A.  B. √5  C. 3  D. 5 检测1 B（|z|==√5） 检测 检测2 在复平面内，复数 z=-1-2i 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 检测2 C（实部负，虚部负 → 第三象限） 检测 检测3 （多选）下列说法正确的是（ ） A. 实轴上的点都表示实数 B. 虚轴上的点都表示纯虚数 C. 若 ，则 对应的点在以原点为圆心、半径为1的圆上 D. 互为共轭的两个复数模相等 检测3 A、C、D（B错误：原点在虚轴上但表示实数0） 检测 检测4 已知复数 z=3+ai 的模为 5，其中 a<0，则 a=▁(  )。 检测4 |z|==5⇒9+=25⇒=16⇒a=±4，因为 a<0，所以 a=-4。 检测5 在复平面内，点 表示复数 ，点 表示复数 ，求 与 ，并比较大小。 检测5 =2+3i，==；=-1+2i，==√5。因为 >，所以>。 学海拾贝 知识小结 一个平面：复平面（实轴、虚轴） 两种表示：复数 ⇔ 点（坐标表示）；复数 ⇔ 向量（几何表示） 三个概念： 复数的模 |z|= —— 距离（长度） 共轭复数 =a-bi —— 关于实轴对称 复数对应点的象限判断 学海拾贝 思想 一种思想：数形结合思想（将代数问题转化为几何问题，反之亦然） 感谢聆听! 北师版2019 $