5.1.1 复数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的概念、分类及相等条件，通过方程在不同数集的解（如x²=-1无解）引出虚数单位i，衔接实数集知识，搭建数系扩充的学习支架。 其亮点是问题驱动与分层训练结合，通过典例分析（如复数分类参数问题）和综合应用（结合三角函数求范围），培养数学抽象、数学运算核心素养。规律方法总结助学生构建知识体系，随堂与分层评价方便教师检测教学效果，提升教学效率。

1.1　复数的概念 　 第五章　§1　复数的概念及其几何意义 学习目标 1.通过方程的解，认识复数，了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程，培养数学抽象的核心素养.　 2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义，培养数学抽象、数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　复数的概念 1 任务二　复数的分类 2 任务三　复数相等的条件 3 课时分层评价 6 任务四　复数概念的综合应用 4 随堂评价 5 任务一　复数的概念 返回 问题1.在有理数集内，解方程x2－2＝0的根；在实数集内，解方程x2－2＝0的根.从以上根的存在情况，你有何发现？ 提示：在有理数集内，方程x2－2＝0无根；在实数集内x＝±；方程有无根与所在的数集有关. 问题2.一元二次方程x2＝－1在实数集范围内的解是什么？我们又是怎样让它有解的？ 提示：无实数解.引入新的数集：虚数集. 问题导思 新知构建   定义 表示 复数 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作__________，满足i2＝_____ 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的______，记作Re z，b称为复数z的______，记作Im z 复数集 __________构成的集合称为复数集 通常用大写字母C表示 虚数单位 －1 实部 虚部 全体复数 (1)任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式. (2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式. 微提醒 (链教材P177例1)(1)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是 A.，1 B.，5 C.±，5 D.±，1 典例 1 √ 由题意知得a＝±，b＝5.故选C. (2)已知复数z＝2a－4＋i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a等于 A.－2 B.2 C.－3 D.3 √ 因为z＝2a－4＋i的实部与虚部相等，所以2a－4＝a－2，解得a＝2.故选B. 　　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数. 规律方法 对点练1.(1)若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则z的虚部是 A. B.－ C.i D.－i √ z的虚部是－.故选B. (2)已知复数(2x＋y)－(x－y)i的实部和虚部分别为5和－1，则实数x和y的值分别是 A.2，－1 B.2，1 C.－1，2 D.1，－2 √ 由复数(2x＋y)－(x－y)i的实部和虚部分别为5和－1，得所以x＝2，y＝1.故选B. 返回 任务二　复数的分类 返回 问题3.复数7＋i，2i，4分别对应复数a＋bi(a，b∈R)中的a，b为何值，你有什么发现？ 提示：7＋i对应的a＝7，b＝1；2i对应的a＝0，b＝2；4对应的a＝4，b＝0.有的复数实部为0，有的复数虚部为0，有的复数实部和虚部都不等于0. 问题导思 问题4.你能写出自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R和复数集C的关系，并用Venn图表示吗？ 提示：N⊆Z⊆Q⊆R⊆C；用Venn图表示如图所示： 1.复数a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 新知构建 (链教材P177例1)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数； 解：当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. 典例 2 (2)纯虚数； 解：当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. (3)实数. 解：当即m＝5时，z是实数. 　　将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题. 规律方法 对点练2.当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i满足下列条件？ (1)实数； 解：当即m＝2时，复数z是实数. (2)虚数； 解：当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数. (3)纯虚数. 解：当即m＝－3时，复数z是纯虚数. 返回 任务三　复数相等的条件 返回 问题5.两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的充要条件是什么？ 提示：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d. 问题导思 　　两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的定义为：它们的______相等且______相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当____________. 新知构建 实部 虚部 a＝c且b＝d 任意两个复数能比较大小吗？ 提示：两个复数如果不全是实数，它们之间不能比较大小.只能说相等或不相等. 微思考 (链教材P177例2)(1)已知x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，则x，y的值分别为 A.1， B.4，1 C.，1 D.1，3 √ 典例 3 因为x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，由复数相等的定义，得3x＝2，y＝1，解得x＝，y＝1.故选C. (2)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi等于 A.－2＋i B.4＋2i C.1－2i D.1＋2i √ 由i2＝－1，得xi－2i2＝2＋xi，则2＋xi＝y＋2yi，根据复数相等的充要条件得故x＋yi＝4＋2i.故选B. 复数相等问题的解题技巧 　　根据复数相等的定义，实部与实部相等，虚部与虚部相等，将复数问题转化为实数问题解决即可. 规律方法 对点练3.(1)已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i(其中a，b∈R，i为虚数单位)，且z1＝z2，则 A.a＝－1，b＝1 B.a＝2，b＝－3 C.a＝2，b＝3 D.a＝－2，b＝3 √ 因为z1＝z2，可得2－ai＝b－1＋2i，则解得a＝－2，b＝3.故选D. (2)已知＋i＝0，则y＝______. 1 由＋i＝0，得故y＝1. 返回 任务四　复数概念的综合应用 返回 已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； 解：因为z1为纯虚数，所以 解得m＝－2. 典例 4 (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解：由z1＝z2，得 所以λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2. 因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， 所以实数λ的取值范围是[2，6]. 　　两个虚数或一个实数一个虚数不能比较大小，复数相等必须满足实部与实部相等、虚部与虚部相等. 规律方法 对点练4.(多选题)已知复数z1＝m2－1＋i，z2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是 A.若z1为纯虚数，则m＝1 B.若z2为实数，则θ＝kπ，k∈Z C.若z1＝z2，则m＝0或m＝－ D.若z1≥0，则m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞) √ √ √ 对于A，复数z1＝m2－1＋i是纯虚数，则所以m＝1，故A正确；对于B，若z2＝cos 2θ＋isin θ为实数，则sin θ＝0，则θ＝kπ，k∈Z，故B正确；对于C，若z1＝z2，则则m2－1＝1－2(m＋1)2，解得m＝0或m＝－，故C正确；对于D，若z1≥0，则m2－1≥0，且m＋1＝0，则m＝－1，故D错误.故选ABC. 返回 课堂小结 任务再现 1.数系的扩充.2.复数的概念.3.复数的分类.4.复数相等的条件.5.复数概念的综合应用 方法提炼 定义法、方程思想、分类讨论的思想方法 易错警示 未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式导致解题出错 随堂评价 返回 1.已知复数z＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z的实部为 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 依题意，复数z＝2＋i的实部为2.故选A. 2.已知复数z＝1－2i(i是虚数单位)，则复数z的虚部为 A.－2 B.2 C.－2i D.2i √ 依题意，复数z＝1－2i的虚部为－2.故选A. 3.已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为 A.－2 B.2 C.±2 D.4 √ 由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选B. 4.已知x，y是实数，且x＋yi＝3＋4i，则x＋y＝______. 7 由x，y是实数，且x＋yi＝3＋4i，得x＝3，y＝4，所以x＋y＝7. 返回 课时分层评价 返回 1.复数z＝1－3i，其中i为虚数单位，则z的虚部为 A.－3 B.－3i C. D.1 √ 由于z＝1－3i，故虚部为－3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若实数m，n满足m－2i＝1＋ni，则m－n＝ A.－3 B.3 C.－1 D.1 √ 因为实数m，n满足m－2i＝1＋ni，所以则m－n＝1－＝3.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设a∈R，i为虚数单位，若复数z＝a＋1＋i为纯虚数，则a的值为 A.0 B.－i C.1 D.－1 √ 因为z＝a＋1＋i为纯虚数，所以解得a＝－1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(新定义)欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e为自然对数的底数，i为虚数单位，θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉提出的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数的虚部为 A.－ B. C.－i D.i √ 由欧拉公式得＝cos ＋isin ＝＋i，其虚部为.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 026i＝2－bi，则a2＋bi等于 A.2 026＋2i B.2 026＋4i C.2＋2 026i D.4－2 026i √ 因为a＋2 026i＝2－bi，a，b∈R，所以a＝2，－b＝2 026，即a＝2，b＝－2 026，所以a2＋bi＝4－2 026i.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)下列四种说法不正确的是 A.如果实数a＝b，那么a－b＋(a＋b)i是纯虚数 B.实数是复数 C.如果a＝0，那么z＝a＋bi是纯虚数 D.任何数的偶数次幂都不小于零 √ √ √ 对于A，当a＝b＝0时，则a－b＋(a＋b)i是实数，故A错误；对于B，根据复数定义可知，B正确；对于C，若a＝b＝0，那么z＝a＋bi是实数，故C错误；对于D，i2＝－1，故D错误.故选ACD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若复数z＝－1＋ai(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数a的值为______. －1 依题意，知z＝－1＋ai的实部和虚部分别为－1，a，所以a＝－1. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为______. 2 依题意得解得m＝2. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x＞0)，则实数x，y的值分别为________. 1，1 根据x2－y2＋2xyi＝2i，得x2－y2＝0且2xy＝2，解得x＝y＝1或x＝y＝－1.由于x＞0，所以x＝y＝1. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)当实数m为何值时，复数＋i，m∈R是实数？纯虚数？零？ 解：当复数为实数时，m2－5m－6＝0，解得m＝－1或m＝6，即当m＝－1或m＝6时是实数. 当复数为纯虚数时，解得m＝4，即当m＝4时是纯虚数. 当复数为零时，解得m＝－1，即当m＝－1时是零. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知复数z＝＋i(i为虚数单位)，则“z为纯虚数”是“α＝”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 √ 复数z＝＋i为纯虚数，则2sin α－1＝0，解得α＝＋2kπ，k∈Z，或α＝＋2kπ，k∈Z，所以若z为纯虚数不一定得到α＝，但是由α＝一定能得到z为纯虚数，故“z为纯虚数”是“α＝”的必要非充分条件.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.从集合中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有 A.16个 B.20个 C.12个 D.15个 √ 若复数a＋bi为虚数，则b≠0，a任意.依题意，从集合中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有4×4＝16个.故选A. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若z＝m＋i(m∈R)为实数，则｜m｜＝______. 6 因为z＝m＋i(m∈R)为实数，所以m2－36＝0，则｜m｜＝6. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知复数z＝m2＋6m－7＋i. (1)若复数z是纯虚数，求实数m的值； 解：由复数z＝m2＋6m－7＋i是纯虚数，得解得m＝－7. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)当非零复数z的实部和虚部互为相反数时，求实数m的值. 解：由复数z的实部和虚部互为相反数，得m2＋6m－7＋m2－m＝0， 化简得2m2＋5m－7＝0，解得m＝－或m＝1. 当m＝1时，z＝0，不符合题意；当m＝－时，z＝－＋i，符合题意. 所以实数m的值为－. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(开放题)若复数z＝a－b＋bi(a，b∈R)为纯虚数，请写出满足条件的一组实数a，b的值______________(答案不唯一，一组即可). a＝1，b＝1 由纯虚数的定义知，复数z＝a－b＋bi为纯虚数，则即可，所以只需满足a＝b≠0即可，答案不唯一，取a＝1，b＝1为其中一个答案. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知复数z1＝m＋i，z2＝2cos θ＋i，并且z1＝z2. (1)若z1为虚数，求实数m的取值范围； 解：因为z1＝z2，所以m＝2cos θ∈， 又z1为虚数，所以4－m2≠0，即m≠±2， 所以实数m的取值范围为. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求实数λ的取值范围. 解：因为z1＝z2，所以 消去m可得λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4－， 因为－1≤sin θ≤1，所以－≤λ≤7. 所以实数λ的取值范围为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.1　复数的概念 返回 $