精品解析：安徽省芜湖市南陵县2026年初中学业水平模拟考试 数学（试题卷）

南陵县2026年初中学业水平模拟考试 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答卷，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215000．将数据2215000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下列结论正确的是（ ） A. ①和②的左视图相同 B. ①和②的主视图相同 C. ①和②的俯视图相同 D. ①和②的三视图均不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，分别对比两个图形的三视图即可得到答案． 【详解】解：A、①和②的左视图都是一样的长方形，即①和②的左视图相同，选项符合题意； B、①和②的主视图都是梯形，但是上底和下底的长度不相等，且两腰的位置也是相反，故①和②的主视图不相同，选项不符合题意； C、①和②的俯视图都是长方形和中间一条线段，但是①中间是实线，②中间是虚线，故①和②的俯视图不相同，选项不符合题意； D、①和②的左视图相同，选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式，乘方，同底数幂的乘法，计算解答即可； 【详解】解：A. ，错误，不符合要求； B. ，错误，不符合要求； C. ，正确，符合要求； D. ，错误，不符合要求； 5. 已知三个实数，，满足，，，则（ ） A. , B. , C. , D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可整理得到和，再结合即可得到a、b、c的关系． 【详解】①．②，①-②，得， ①x②，得，整理，得． 又∵，，，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质，解题的关键是通过，整理得到和，再结合不等式的性质得到a、b、c的取值与关系． 6. 如图，一枚棋子在正方体的棱上移动，从每一个顶点出发都等可能地移到和它相邻的三个顶点中的任何一个．若棋子的初始位置为点，则移动三次后到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握画树状图或列表法的运用是解题的关键． 画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图或列表法把所有等可能结果表示如下， ∴共有种等可能结果，其中移动三次后到达点的有种， ∴移动三次后到达点的概率为， 故选：C ． 7. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得， 与轴交点为， 直线与轴交点坐标为， 的解为， 故选：C． 8. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】解：解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴是平行四边形， 又∵是矩形， ∴， ∴是菱形， ∴的周长为， 故选：C 9. 已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解一元一次不等式等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．将代入可得，即；由，则；二次函数的图像的顶点在第一象限，则且，最后解不等式组即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是， ∴，即， ∵， ∴， ∵二次函数 的图像的顶点在第二象限， ∴且， 将，代入上式得： ，解得． 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，点E在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点F作交于点M，交于点N，证明，设，根据相似三角形的相似比，用x表示，并求得，进而根据勾股定理，用x表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值． 【详解】解：如图，当点F在左侧时，过点F作交于点M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴， 如图，当点F在右侧时，过点F作交延长线于M，交延长线于点N， 同理可得， ∴， 当时，的最小值为5， ∴的最小值是． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分解因式时有公因式的先提取公因式，再利用公式法进行分解，分解因式要彻底，分解到每个因式都不能分解为止，掌握提公因式法和公式法是解决问题的关键． 本题直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的性质，根据切线的性质得到的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 13. 不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 【答案】红球 【解析】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：（个）， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 所以此球的颜色最有可能是红球． 14. 已知一个由非负整数组成的数列，从开始满足，，，…，． （1）当，时，______； （2）当，（，m为整数）时，______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求，再求即可； （2）根据，，（，m为整数），求的值，再对所求代数式分析数字规律，根据规律即可求得答案． 【详解】解：（1）当，时， ， ； （2）当，（，m为整数）时， ； ； ； ； ∴． 三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．） 15. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分别计算零次幂、负整数次幂、二次根式、绝对值，代入特殊角三角函数值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 16. 无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点C逆时针旋转，得到请画出． （2）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． （3）请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： （2） 解：如图所示，即为所求： （3） 解：如图所示，点D即为所求： 【解析】 【分析】（1）分别确定点A、B绕点C逆时针旋转后的对应点、，然后依次连接、、C，得到； （2）分别连接、、并延长，使，，，得到对应点、、，依次连接、、，得到； （3）结合相似三角形，利用平行线分线段成比例的性质，在网格中通过构造合适的平行线来确定点D的位置，使得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示， 过点A向右沿水平方向2格处取点E，过点C向左沿水平方向3格处取点F，连接，，，记与交点为D， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D即为所求． 四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．） 17. 为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 【答案】该车能挑战成功 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里，根据题意，列出方程，可得本次测试的总道路长度为2百公里，即可求解． 【详解】解：设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里． 依题意，得． 解得． ． 即本次测试的总道路长度为2百公里． 本次测试的总能耗为． 本次测试的百公里平均能耗为． 本次测试的百公里平均能耗不高于． 该车能挑战成功． 18. 阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． （1）函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； （2）如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； （3）在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）左，下 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数图像的平移； （1）根据函数图象平移的规律可得答案； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：先向左平移3个长度单位，再向下平移2个长度单位得到，得到了， 故答案为：左，下． 【小问2详解】 解：将，代入， 得， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示， 过，两点， 根据函数图象像可得，当时，或． 五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分．） 19. 如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． （2）在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． （3）记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】（1） 列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质和游戏公平性，准确分析计算是解题的关键． （1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由（1）得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【小问1详解】 列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． 【小问2详解】 当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． 【小问3详解】 由（1）中的表格可得：的值分别为3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10，共12个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有6个（的取值为3，4，5，5，6，6）． 又为整数， ． 20. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． （1）计算：在图1中，已知，作于点．求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （2） 探究：在图2中，操作后水面高度下降了多少？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理，圆的性质，勾股定理解答即可． （2）根据题意，计算出的长度，计算就是水位下降的高度． 本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ．    （2）∵与半圆的切点为， ∴， ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． 六、（本大题共12分．） 21. 【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图① 图② 图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； （2）小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； （3）实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 【答案】（1）放大 （2） ①；②等大，在图②中画光路图，如图所示： （3） ①，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了函数解析式、反比例函数，全等三角形的判定与性质，作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，代入，化简得，再与比较，即可作答． （2）①把代入，得出， ②则结合全等三角形的判定与性质，即，得出，即可作答． （3）①结合当时，且，化简得，描点连线，在图③中画出函数v的图像,即可作答． ②∵，，则，所以，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， 把代入 ∴ 得出 ∴ ∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像， 故答案为：放大； 【小问2详解】 解：①∵小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：，且 ∴把代入 得 ∴ 故答案为：； ②当时，在图②中画光路图，如图所示： ∴物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，理由如下： 即 ∵ ∴ ∴ 即当时，物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像， 【小问3详解】 解：①实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，且 ∴y与u之间的函数表达式 解：依题意，列表： 描点连线，在图③中画出函数v的图像，如图所示： ②∵， ∴ ∴ ∴ 七、（本大题共12分．） 22. 在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． （1）如图1，求证：； （2）连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①点P为线段的中点， 理由如下：如图，连接， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是线段的中点． ② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及旋转的性质，证明，即可得证； （2）①连接，根据题意及角平分线的定义，证明，得到，进而证明，得到，即可解答； ②连接，根据题意及角的等量代换证明，利用解直角三角形及勾股定理求出、、，进而证明，列出比例式，代入、即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图，连接，，，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 八、（本大题共14分．） 23. 已知函数交轴于点． （1）若该函数的图象与轴只有一个交点，求； （2）若当且仅当，求该函数在时的最小值； （3）若该函数的图象交轴于，，通过计算说明是否存在正数，使得． 【答案】（1）0或 （2）当时，最小值为；当时最小值为；当时，最小值为 （3）存在正数a，使得， 令，则， ∴， 设，， ∴，， 令，则， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 令， 当时，；当时，， ∴在之间，存在正数a，使， ∴存在正数a，使得． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）先根据当且仅当得出当时，，然后根据待定系数法求出函数解析式，然后分，，三种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可； （3）设，，则，，根据根与系数的关系和根的定义得出，，，由，化简得出，把代入求出，结合，求出，结合，得出，令，当时，；当时，，故在之间，存在正数a，使，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，原函数为，此时与轴有一个交点为，故符合题意； 当时， ∵函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得， 综上，a的值为0或； 【小问2详解】 解：∵当且仅当， ∴当时，， 代入，得， 解得， ∴， ∴对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴当，即时，y随x的增大而减小， 又， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当，即时，函数在处取最小值，最小值为； 当时，y随x的增大而增大， 又， ∴当时，y有最小值，最小值为； 综上，当时，最小值为；当时最小值为；当时，最小值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南陵县2026年初中学业水平模拟考试 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答卷，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215000．将数据2215000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下列结论正确的是（ ） A. ①和②的左视图相同 B. ①和②的主视图相同 C. ①和②的俯视图相同 D. ①和②的三视图均不相同 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三个实数，，满足，，，则（ ） A. , B. , C. , D. 6. 如图，一枚棋子在正方体的棱上移动，从每一个顶点出发都等可能地移到和它相邻的三个顶点中的任何一个．若棋子的初始位置为点，则移动三次后到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 9. 已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，点E在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．） 11. 分解因式：___________． 12. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 13. 不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 14. 已知一个由非负整数组成的数列，从开始满足，，，…，． （1）当，时，______； （2）当，（，m为整数）时，______． 三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．） 15. 计算：． 16. 无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点C逆时针旋转，得到请画出． （2）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． （3）请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．） 17. 为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 18. 阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． （1）函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； （2）如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； （3）在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分．） 19. 如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． （2）在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． （3）记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 20. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． （1）计算：在图1中，已知，作于点．求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （2） 探究：在图2中，操作后水面高度下降了多少？ 六、（本大题共12分．） 21. 【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图① 图② 图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； （2）小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； （3）实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 七、（本大题共12分．） 22. 在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． （1）如图1，求证：； （2）连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 八、（本大题共14分．） 23. 已知函数交轴于点． （1）若该函数的图象与轴只有一个交点，求； （2）若当且仅当，求该函数在时的最小值； （3）若该函数的图象交轴于，，通过计算说明是否存在正数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $