精品解析：2025年安徽省芜湖市南陵县中考一模数学试题

2025届九年级模拟试卷 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷和“答题卷两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，函数图象在一、三象限，并且在每个象限内都有随增大而减小；当时，函数图象在二、四象限，并且在每个象限内都有随增大而增大．根据反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小， ， 解得：．   故选：C ． 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数以及勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】在中，， 可设，则 由勾股定理得， 故选：B． 3. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移的规则，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：，再向下平移5个单位为：，即． 故选：A． 4. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似，斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 已知平分，即，然后根据各个选项所给条件，结合相似三角形的判定定理逐一判断。 【详解】A、由平分，得到，而，判定和相似，故A不符合题意； B、由平分，得到，而，判定和相似，故B不符合题意； C、由平分，得到，由，得到，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定和，故C不符合题意； D、虽然，但夹角与不一定相等，不满足相似三角形的判定条件，所以不能判定和相似，故D符合题意． 故选：D． 5. 若，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线的对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 首先，我们需要找到二次函数的对称轴，然后判断点在抛物线上的位置，最后根据二次函数的增减性来确定的大小关系． 【详解】∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵中， 最小， 又∵都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，随的增大而减小，故． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故选：D． 7. 已知函数和，且，，，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象问题，由函数解析式字母系数的正负，把一次函数与二次函数的图象相比较看是否一致进行解答． 【详解】解：由解析式可知，，图象开口向上，其顶点坐标为， 又因为，，；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D； C中，由二次函数图象可知，而由一次函数的图象可知，两者相矛盾，排除C；选项B正确． 故选：B． 8. 如图，矩形中，F是上一点，，垂足为E，，则长度是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用矩形的性质可以分别求出，然后利用面积公式可以求出，最后利用平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、勾股定理． 9. 如图，在等边中，，点在边上，，则长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，关键是通过添加辅助线，构造直角三角形，过点作点于H，利用等边三角形的性质得到，，解直角三角形求出，，设，则，根据求出的值，进而得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， 则， 为等边三角形，， ，， ， ， 设，则， ，， ，即， ， 解得：， 则， ， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为8． 【详解】解：如图， ， ， ， 在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ， ， ， ， ， 线段的最小值为8． 故选答案为：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点，是反比例函数图象上的两个点，，则______（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据反比例函数的增减性即可判断结论． 【详解】解：因为， 所以函数图像在第一、三象限内， 且在每个象限内，y随x的增大而减小， 因为点，两点在该双曲线上，且， A，B两点在第三象限的曲线上， ． 故答案：． 12. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 _____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】延长至格点D，连接，根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：延长至格点D，连接， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理及其逆定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、圆的切线的性质、直角三角形的性质等知识．利用直角三角形的性质结合勾股定理可得，，再根据圆的切线的性质和切线长定理可得，，，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，， ∵，O是斜边的中点， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∵， ∴，，， ∴阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 14. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ____________________ ． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分和两种情形，结合折叠的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴； ①当时，如图， 由折叠得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 即：； ②当时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， 又， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上，的长为或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂及特殊角三角函数值等知识，先由零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值逐个计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案，熟记实数相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位得到，则的坐标为（ ， ）； （2）将绕点O顺时针旋转90°后得到，画出，并写出的坐标为（ ， ）； （3）若点P为y轴上一动点，求的最小值． 【答案】（1）图见解析；，3 （2）图见解析；1， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标； （2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标； （3）连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，的坐标为； 故答案为：，3； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 的坐标为； 故答案为：1，； 【小问3详解】 如图，连接交y轴于点P，则， ∴的最小值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 ，是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题． （2）根据求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，将点A坐标代入得，， 所以反比例函数的解析式为． 将点A坐标代入得，， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 因为，且轴于点D， 则将代入得，， 所以点B的坐标为． 同理可得，点C的坐标为． 又因为点A坐标为， 所以． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点在轴上，，． （1）求点的坐标； （2）求的正切值； （3）延长，交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，点的坐标，解题的关键是掌握解直角三角形． （1）过点作于点，由，则，即可求解； （2）根据勾股定理求出，即可求解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， 则， ， ， ； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵， ∴ ； 【小问3详解】 如下图，延长，交轴于点， 由（2）知，， 在中，， ， ， 解得：， 点． 20. 如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形的性质得到，进而得到，可得，然后根据切线的判定定理可得结论； （）先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求得, 进而得，即得，然后解直角三角形求得即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又为的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点． （1）设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）能，当时，四边形能构成矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据同角余角相等得到，可证，得到，即可得到，令，得到，可得； （2）根据矩形的性质，结合一元二次方程计算即可． 【小问1详解】 解：：∵， ， ， ， ， ，， ， ； 设， ∴， ，， 设， ， ； 令，则， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：当四边形为矩形时，，即， 则， 解得， (舍)，， ∴当时，四边形能构成矩形． 七、（本题满分12分） 22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 八、（本题满分14分） 23. 在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）． （1）当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式． （2）若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解； （3）把，两点代入，表示出和，然后将配方可得． 【小问1详解】 解：当时，则， 把点代入得，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线与轴的交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向上且当时，随的增大而减小， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：∵函数的图象经过，两点（是实数）， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届九年级模拟试卷 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷和“答题卷两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 5. 若，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数和，且，，，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( ) A B. C. D. 8. 如图，矩形中，F上一点，，垂足为E，，则长度是（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，在等边中，，点在边上，，则长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点，是反比例函数图象上的两个点，，则______（填“”“”或“”） 12. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 _____． 13. 如图，在中，，，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则阴影部分的面积为_____． 14. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ____________________ ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位得到，则坐标为（ ， ）； （2）将绕点O顺时针旋转90°后得到，画出，并写出坐标为（ ， ）； （3）若点P为y轴上一动点，求的最小值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点在轴上，，． （1）求点的坐标； （2）求的正切值； （3）延长，交轴于点，求点的坐标． 20. 如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点． （1）设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 综合实践课上，同学们将两个全等三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 八、（本题满分14分） 23. 在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）． （1）当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式． （2）若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $