专题03 全等三角形的性质及其判定4重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题03 全等三角形的性质及其判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形的性质 1 题型二、全等三角形的判定 3 题型三、全等三角形的判定与性质 6 题型四、全等三角形的应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形的性质 1．（2025春•闵行区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（　　） A．45° B．65° C．70° D．115° 2．（2025春•闵行区校级月考）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝3，BD＝10，则AB等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025春•徐汇区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．（2025春•宝山区校级期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 5．（2025春•宝山区校级期末）如图，若△ABE≌△CDF，BE＝5，DE＝3，则EF的长是 　　 ． 6．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　　 ． 7．（2025春•崇明区期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　 ． 8．（2025春•闵行区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　 ． 9．（2026春•松江区期中）如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位长度的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P，B，Q为顶点的三角形与△CAP全等时，求a的值． 题型二、全等三角形的判定 10．（2026春•虹口区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．两个面积相等的三角形全等 B．两个等边三角形全等 C．两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 D．两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等 11．（2025春•崇明区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025春•嘉定区校级月考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE和CD交于F，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 13．（2025春•长宁区期末）如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AE＝BF，CE＝DF，如果要运用“SSS”来证明△AEC≌△BFD，可以添加的条件是 　 ．（只需写出一种情况） 14．（2025春•浦东新区期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，求证：△AEC≌△BED．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+　 ＝∠2+　 ， ∴∠AEC＝ 　 ， 在△AEC和△BED中 ∵， 所以△AEC≌△BED（ ）． 15．（2025春•普陀区期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠AED＝90°． （1）请你添加一个条件，使△ABE与△ECD全等，这个条件可以是　 （写 出一个合理的即可）． （2）根据你所添加的条件，求证：△ABE≌△ECD． 16．（2025春•崇明区期末）如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 17．（2025春•崇明区期中）如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 题型三、全等三角形的判定与性质 18．（2026春•虹口区校级月考）如图在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝EC．则下列说法中不正确是（　　） A．∠ADE＝∠EFC B．∠A+∠DEC+∠F＝180° C．∠B+∠BCF＝180° D．S△ABC＝S四边形DBCF 19．（2025春•上海校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝3，AD＝5，则AB的取值范围是 　 　 ． 20．（2025春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 21．（2026春•虹口区校级月考）如图在四边形ABCD中，AD∥BC．取CD中点P，联结AP，BP，若AP⊥BP． （1）求证：AD+BC＝AB； （2）若∠C＝90°，四边形ABCD面积为78，AB＝13，求CD的长． 22．（2026春•虹口区校级月考）如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC＝DE，BC＝EC．延长AB分别交CD、ED于G、F． （1）求证：AB＝CD； （2）若∠ACB＝70°，∠DCE＝85°，求∠FGC的度数． 题型四、全等三角形的应用 23．（2025春•嘉定区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 24．（2025春•青浦区校级期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（　　） A．① B．② C．③ D．④ 25．（2025春•闵行区校级月考）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 26．（2025春•宝山区校级期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　） A．AAS B．SAS C．SSS D．以上均不可 27．（2025春•徐汇区校级月考）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 28．（2025春•闵行区校级月考）小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　　 cm． 一、单选题 1．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么___________． 4．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为___________．（用含的式子表示） 5．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 6．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 三、解答题 8．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 10．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 11．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形的性质及其判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形的性质 1 题型二、全等三角形的判定 5 题型三、全等三角形的判定与性质 12 题型四、全等三角形的应用 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形的性质 1．（2025春•闵行区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（　　） A．45° B．65° C．70° D．115° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝70°， 故选：C． 2．（2025春•闵行区校级月考）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝3，BD＝10，则AB等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE＝3， ∵BD＝10， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣3＝7， ∴AB＝CD＝7， 故选：C． 3．（2025春•徐汇区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】A 【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝70°， ∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣30°＝40°， 故选：A． 4．（2025春•宝山区校级期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x° 3x+5x+10x＝180 解得x＝10 则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100° ∴∠BCN＝180°﹣100°＝80° 又△MNC≌△ABC ∴∠ACB＝∠MCN＝100° ∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20° ∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4 故选：D． 5．（2025春•宝山区校级期末）如图，若△ABE≌△CDF，BE＝5，DE＝3，则EF的长是 　　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵△ABE≌△CDF，BE＝5， ∴DF＝BE＝5， ∴EF＝DF﹣DE＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 6．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　　 ． 【答案】67.5°． 【解答】解：∵△BDF≌△ADC， ∴AD＝BD，∠C＝∠BFD， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠FBD∠ABD＝22.5°， ∴∠BFD＝90°﹣∠FBD＝67.5°， ∴∠C＝67.5°． 故答案为：67.5°． 7．（2025春•崇明区期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　 ． 【答案】20． 【解答】解：由条件可知BE＝BC＝12，DE＝AB， ∴AB＝AE+BE＝12+8＝20， ∴DE＝20． 故答案为：20． 8．（2025春•闵行区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　 ． 【答案】180°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF≌△GHI， ∴∠HGI＝∠BAC，∠FED＝∠ABC（全等三角形对角相等）， ∴∠ACB+∠HGI+∠FED＝∠ABC+∠BAC+∠ABC＝180°， 根据题意可得，∠1＝180°﹣∠ECG﹣∠ACB，∠2＝180°﹣∠EGC﹣∠HGI，∠3＝180°﹣∠FED﹣∠CEG， ∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠ECG+∠EGC+∠CEG）﹣（∠ACB+∠HGI+∠FED）， 又∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣180°﹣180°＝180°， 所以∠1+∠2+∠3的度数等于180°， 故答案为：180°． 9．（2026春•松江区期中）如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位长度的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P，B，Q为顶点的三角形与△CAP全等时，求a的值． 【答案】2或． 【解答】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC＝PB，AP＝BQ， ∵AC＝6，AB＝14， ∴PB＝6， ∴AP＝AB﹣PB＝14﹣6＝8， ∴BQ＝8， ∴8÷a＝8÷2， 解得a＝2； 当△CAP≌△QBP时，则AC＝BQ，AP＝BP， ∵AC＝6，AB＝14， ∴BQ＝6，AP＝BP＝7， ∴6÷a＝7÷2， 解得a； 由上可得a的值是2或． 题型二、全等三角形的判定 10．（2026春•虹口区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．两个面积相等的三角形全等 B．两个等边三角形全等 C．两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 D．两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等 【答案】D 【解答】解：A、两个面积相等的三角形不一定全等，故A不符合题意； B、两个等边三角形不一定全等，故B不符合题意； C、两边及第三边上的高对应相等的三角形不一定全等，故C不符合题意； D、两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 11．（2025春•崇明区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 12．（2025春•嘉定区校级月考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE和CD交于F，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【解答】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； ∴∠B＝∠C，BE＝CD， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， 在△BDF和△CEF中， ， ∴△BDF≌△CEF（AAS）； ∴DF＝EF，BF＝CF， 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）； 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SSS）， 综上所述，图中的全等三角形有4对． 所以选：B． 13．（2025春•长宁区期末）如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AE＝BF，CE＝DF，如果要运用“SSS”来证明△AEC≌△BFD，可以添加的条件是 　 ．（只需写出一种情况） 【答案】AC＝BD（答案不唯一）． 【解答】证明：在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（SSS）， ∴要运用“SSS”来证明△AEC≌△BFD，可以添加的条件是AC＝BD（答案不唯一）． 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 14．（2025春•浦东新区期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，求证：△AEC≌△BED．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+　 ＝∠2+　 ， ∴∠AEC＝ 　 ， 在△AEC和△BED中 ∵， 所以△AEC≌△BED（ ）． 【答案】∠AED，∠AED，∠BED，∠A，∠B，AE，BE，∠AEC，∠BED，ASA． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中 ， 所以△AEC≌△BED（ASA）． 故答案为：∠AED，∠AED，∠BED，∠A，∠B，AE，BE，∠AEC，∠BED，ASA． 15．（2025春•普陀区期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠AED＝90°． （1）请你添加一个条件，使△ABE与△ECD全等，这个条件可以是　 （写 出一个合理的即可）． （2）根据你所添加的条件，求证：△ABE≌△ECD． 【答案】（1）AB＝EC（或BE＝CD或AE＝ED）． 故答案为：AB＝EC（答案不唯一）． （2）∵∠B＝∠C＝∠AED＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED， 在△ABE和△ECD中，， ∴△ABE≌△ECD（ASA）． 【解答】（1）解：AB＝EC（或BE＝CD或AE＝ED）． 故答案为：AB＝EC（答案不唯一）． （2）证明：∵∠B＝∠C＝∠AED＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED， 在△ABE和△ECD中，， ∴△ABE≌△ECD（ASA）． 16．（2025春•崇明区期末）如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 【答案】（1）见解答； （2）△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE． 【解答】（1）证明：∵FE⊥BC，GD⊥BC， ∴∠BGD＝∠CFE＝90°， ∵BF＝CG， ∴BF+FG＝FG+CG， 即BG＝CF， 在△BDG和△CEF中， ， ∴△BDG≌△CEF（ASA）； （2）解：∵△BDG≌△CEF， ∴BD＝CE，DG＝EF， 在△BEF和△CDG中， ， ∴△BEF≌△CDG（SAS）； ∴BE＝CD， 在△BCE和△CBD中， ， ∴△BCE≌△CBD（SSS）； ∴∠EBC＝∠DCB， ∵∠OBC＝∠OCB ∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC ∴∠EBO＝∠DCO， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（SAS）； 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（AAS）， 综上所述，图中全等的三角形为△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE． 17．（2025春•崇明区期中）如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【答案】（1），△ACP与△BPQ全等；PC⊥PQ，理由见解答过程． （2）3或cm/s． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cm/s，且运动的时间t＝1s， ∴AP＝3cm，BQ＝3cm， ∴AP＝BQ＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝7cm， 又∵AC＝7cm， ∴AC＝BP＝7cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△APC中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝3tcm，BQ＝xtcm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm， 又∵AC＝7cm，∠CAB＝∠DBA， ①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ， 由AP＝BQ，得：3t＝xt， 解得：x＝3， 由AC＝BP，得：7＝10﹣3t， 解得：t＝1， ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：7＝xt， ∴， 解得：x， 综上所述：x的值是3或cm/s． 题型三、全等三角形的判定与性质 18．（2026春•虹口区校级月考）如图在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝EC．则下列说法中不正确是（　　） A．∠ADE＝∠EFC B．∠A+∠DEC+∠F＝180° C．∠B+∠BCF＝180° D．S△ABC＝S四边形DBCF 【答案】B 【解答】解：在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠EFC，S△ADE＝S△CFE，故选项A不符合题意； ∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°， ∴∠A+∠AED+∠F＝180°，故选项B符合题意； ∵∠A＝∠ECF， ∴AB∥CF， ∴∠B+∠BCF＝180°，故选项C不符合题意； ∵S△ADE＝S△CFE， ∴S△ADE+S四边形BDCE＝S△CFE+S四边形BDCE， ∴S△ABC＝S四边形DBCF，故选项D不符合题意； 故选：B． 19．（2025春•上海校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝3，AD＝5，则AB的取值范围是 　 　 ． 【答案】7＜AB＜13 【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD＝5，连接CE， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC， ∵AC＝3，AE＝AD+DE＝10， ∴7＜EC＜13， ∴AB的取值范围是：7＜AB＜13． 故答案为：7＜AB＜13． 20．（2025春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 【答案】（1）见解答； （2）∠A＝65°． 【解答】（1）证明：在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ABC+∠BCF＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BCF＝130°， ∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF＝65°， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 21．（2026春•虹口区校级月考）如图在四边形ABCD中，AD∥BC．取CD中点P，联结AP，BP，若AP⊥BP． （1）求证：AD+BC＝AB； （2）若∠C＝90°，四边形ABCD面积为78，AB＝13，求CD的长． 【答案】（1）延长AP交BC的延长线于E， ∵AD∥BC， ∴∠DAP＝∠E， ∵取CD中点P， ∴PD＝PC， 在△ADP与△ECP中， ， ∴△ADP≌△ECP（AAS）， ∴AP＝PE，AD＝CE， ∵PB⊥AE， ∴AB＝BE＝BC+CE＝BC+AD， 即AD+BC＝AB； （2）CD＝12． 【解答】（1）证明：延长AP交BC的延长线于E， ∵AD∥BC， ∴∠DAP＝∠E， ∵取CD中点P， ∴PD＝PC， 在△ADP与△ECP中， ， ∴△ADP≌△ECP（AAS）， ∴AP＝PE，AD＝CE， ∵PB⊥AE， ∴AB＝BE＝BC+CE＝BC+AD， 即AD+BC＝AB； （2）解：由（1）知，AD+BC＝AB＝13， ∵AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD面积（AD+BC）•CD13CD＝78， ∴CD＝12． 22．（2026春•虹口区校级月考）如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC＝DE，BC＝EC．延长AB分别交CD、ED于G、F． （1）求证：AB＝CD； （2）若∠ACB＝70°，∠DCE＝85°，求∠FGC的度数． 【答案】（1）∵BC∥DE， ∴∠ACB＝∠CED， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， ∴AB＝CD； （2）120°． 【解答】（1）证明：∵BC∥DE， ∴∠ACB＝∠CED， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， ∴AB＝CD； （2）解：∵△ABC≌△DCE， ∴∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCE＝85°， ∵∠ACB＝70°， ∴∠A＝∠D＝180°﹣85°﹣70°＝25°， ∴∠FBC＝∠A+∠ACB＝25°+70°＝95°， ∵BC∥DE， ∴∠DFB＝∠FBC＝95°， ∴∠FGC＝∠D+∠DFB＝25°+95°＝120°． 题型四、全等三角形的应用 23．（2025春•嘉定区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 【答案】B 【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点， ∴OA＝OA'，OB＝OB'， 由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'， 在△AOB和△A'OB'中， ， ∴△AOB≌△A'OB'（SAS）， ∴AB＝A'B'， 即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度， 故选：B． 24．（2025春•青浦区校级期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解答】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形； ②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； ③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形； ④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； 根据全等三角形的判定定理，ASA进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃． 故选：C． 25．（2025春•闵行区校级月考）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：B． 26．（2025春•宝山区校级期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　） A．AAS B．SAS C．SSS D．以上均不可 【答案】D 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：D． 27．（2025春•徐汇区校级月考）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 【答案】D 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS），故选项A不符合题意； ∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AB＝AD、∠B＝∠D， ∴△ABF≌△ADG（ASA），故选项B不符合题意； ∴BF＝DG， ∴FC＝GE，故选项C不符合题意； 无法证明AG＝GC，故选项D符合题意； 故选：D． 28．（2025春•闵行区校级月考）小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　　 cm． 【答案】36． 【解答】解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，AD＝24cm，CE＝12cm， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴BE＝AD＝24cm，DB＝CE＝12cm， ∴DE＝DB+BE＝36cm， 则两堵木墙之间的距离为36cm， 故答案为：36． 一、单选题 1．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么___________． 【答案】 【详解】解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为___________．（用含的式子表示） 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【答案】 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 三、解答题 8．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ； （2）解：， ． ，， ． ． 9．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【详解】（1）解：，理由： ， ，， 同角的余角相等 ，， ， ； （2）解∶，理由： ， ，， ， ，， ， ，， ． 10．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． （2）解：已知：如图，， 平分交于点， 平分交于， 求证：． 故答案为：，平分交于，． （3）解：此命题是真命题，理由如下： ∵， ，，， 平分，平分， ，， ， 又，， ， ， 全等三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：真． 11．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $