专题04 最值问题（几何压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题04 最值问题（几何压轴，压轴题专练） 命题预测 以常见几何图形（正方形、平行四边形、圆）为背景，结合动点、折叠等情境，考查线段、周长或面积的最值问题。题目注重基础图形性质与简单推理，计算常规，侧重几何直观与基本思路，难度梯度合理，突出对几何分析和基本解题方法的考查。 高频考法 1. 一条动线段的最值问题（热点） 2. 两条动线段的最值问题（重点） 3. 三条动线段的最值问题 典例·靶向·突破 题型1 一条动线段的最值问题 技巧：求一条线段最值 1.轨迹为直线型 条件：点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，求AP的最小值 结论：AP⊥l时，取得最小值。 2.轨迹为曲线型（圆弧） 点圆最值：如图，已知平面内一定点D和⊙O上一动点E，设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r，求DE的最值。 求关于圆上一动点与直线上一点的最值时，常用线圆求最值， 具体如下： 线圆求最值：如图，已知⊙O及直线l,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,点Q为⊙O 上一点，求点Q到直线l的最值。 【典例1】如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【典例2】如图，已知菱形中，，，点E，F分别为边上的两个动点，始终保持，连接，取中点G并连接，则的最小值是________． 【典例3】已知：是的直径，，是的切线，是上一动点，若，，，则的面积的最小值是 题型2 两条动线段的最值问题（不含系数型） 技巧：1.动点轨迹为直线型 情形一：将军饮马 条件：P为直线l上一动点，定点A,B位于直线l同侧，求AP+BP的最小值。 结论：当A,P,B'三点共线时取得最小值。 情形二：垂线段最短 条件：已知∠BAC为定角，点M是∠BAC内一定点，点P,N分别是AC,AB上的动点，求PM+PN的最小值。 结论：当N,P,M'三点共线且 M'N⊥AB 时，取得最小值 2. 动点轨迹为曲线（圆弧）型将两条线段和转化为圆中弦长，利用直径最大判断 3. 平移转化型 条件：直线 a∥b ,定点A,B分别位于直线a,b的两侧，M,N分别为直线a,b上的动点，且 MN⊥a ,使AM+MN+BN的值最小。 结论：当A',N,B三点共线时，AM+MN+BN的值最小，最小值为 A'B+MN 的长。 4. 全等转化型 条件：D,E为动点，AD=BE,求AE+CD的最小值 解题思路：作∠BAF=∠ABC,截取AF=AB,连接DF,CF. 结论 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【典例2】在菱形中，对角线相交于点O，且，点E，F分别是线段上的两个动点，连接，则的最小值为________． 题型3 两条动线段的最值问题（含系数型） 技巧：1.轨迹为直线（胡不归） 条件：点A,B为定点，点P为动点，求kAP+BP(0<k<1) 的最小值。 解题思路： 以定点A为顶点作 ∠NAP' ，使 sin∠NAP'=k ，过点B作 BE⊥AN 于点E，交直线l于点P，则kAP=PE, kAP+BP的最小值为线段BE的长。 注意：遇到系数大于1的求线段和最小值的解法： ①当求 kAP+BP(k>1) 的最小值时，将kAP+BP转换为 k(AP+1/kBP) 进行求解； ②当求mAP+nBP的最小值时，将mAP+nBP转换为m(AP+n/mBP) 或n(m/nAP+BP)进行求解； 2.轨迹为曲线（圆弧）（阿氏圆） 条件：点P是半径为r的⊙O上的一动点，点A,B为⊙O外的定点，且 r=kOA(0<k<1),求 PB+kAP(0<k<1) 的最小值。 解题思路：在线段OA上截取OC,使OC=kr,连接PC,OP,连接BC交⊙O于点P',则kAP=PC,PB+kAP的最小值为线段BC的长。 注意：当求 PB+kAP(k>1) 的最小值时，将PB+kAP转换为 k(1/kPB+AP) 进行求解。 【典例1】如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点M，交于点N，连接．则的最小值为_______． 【典例2】如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______． 题型4 三条动线段的最值问题 技巧：情形一：“一点两线”型 条件：P是∠AOB(定角)内一定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得△PMN的周长最小 解题思路：分别作点P关于OA,OB的对称点P',P",连接 P'P' ,分别交OA,OB于点M,N; 结论：当P',M,N,P”四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为线段P'P”的长。 情形二：“两点两线”型 条件：点P,Q是∠AOB(定角)内两定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得四边形PQNM的周长最小。 解题思路：分别作点P,Q关于OA,OB的对称点P',Q',连接 P'Q' ,分别交OA,OB于点M,N; 结论：当P,M,N,Q四点共线时，四边形PQNM的周长最小，最小值为 P'Q'+PQ的长 【典例1】如图，在凸四边形中，若，分别为边，上的动点，，，，，则的周长的最小值为______． 【典例2】如图，中，，，点为上一定点，点，分别为边，上的动点，当的周长最小时，的度数为______． 一、填空题 1．（25-26·全国·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是______． 2．（22-23·江苏连云港）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______． 3．（24-25·安徽宿州·模考）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 4．（25-26·四川成都）如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 5．（25-26·江苏连云港）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 6．（25-26·广东汕头）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 7．（25-26·四川宜宾）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 8．（25-26·陕西延安·模考）如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 二、解答题 9．（23-24·安徽合肥）（1）如图1，点C在线段上，，，，求证：为等腰直角三角形； （2）如图2，，，以为斜边作等腰直角，求点Q的坐标； （3）在第（2）问的前提下，过点Q作y轴垂线l，在l上取一点P，直接写出的最小值 ． 10．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 11．（24-25九年级上·山东济宁）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 12．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04最值问题（几何压轴，压轴题专练) 01压轴命题透视 以常见几何图形（正方形、平行四边形、圆）为背景，结合动点、折叠等情境，考查线段、周 命题预测 长或面积的最值问题。题目注重基础图形性质与简单推理，计算常规，侧重几何直观与基本思 路，难度梯度合理，突出对几何分析和基本解题方法的考查。 1.一条动线段的最值问题（热点） 高频考法 2.两条动线段的最值问题（重点） 3.三条动线段的最值问题 02压轴题型精讲 典例靶向突破。一 题型1一条动线段的最值问题 技巧：求一条线段最值 1.轨迹为直线型 条件：点A为直线1外一定点，点P为直线1上一动点，求AP的晶小值 A(定点) A(定点) P(动点) P(动点 结论：AP⊥山时，取得最小值。 2.轨迹为曲线型（圆弧） 点圆最值：如图，已知平面内一定点D和⊙O上一动点E,设点O与点D之间的距离为d,⊙0的半径为 r,求DE的最值 EO D E D 最大值为d+r, 最大值为2 最小值为r-d 最小值为0 Edi 最大值为d+r,最小值为d-可 求关于圆上一动点与直线上一点的最值时，常用线圆求最值， 具体如下： 线圆求最值：如图，已知⊙0及直线1，设⊙0的半径为r,圆心0到值线1的距离为d,点Q为⊙0 上一点，求点Q到值线1的最值 1/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Q 最大值为d+r, 最大值为2d, 最小值为0 最小值为0 最大值为d+r,最小值为d-, 【典例1】如图，矩形ABCD中，AB=√5，BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位 长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线1，过点A作直线1的垂线，垂足为G,则 AG的最大值为· D、F 【答案】1 【详解】解：连接AC,交EF于O, D、F :四边形ABCD是矩形， AB∥CD,LB=90°， AB=3,BC=1, :.AC=AB2+BC2=3+1=2, :动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动， CF=AE, :AB∥CD, ∠ACD=∠CAB, 2129 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠C0F=LA0E, △COF≌△H0E(AAS), .A0=C0=1,OF=0E, :AG⊥EF, :点G在以A0为直径的圆上运动， :AG为直径时，AG有最大值为1， 故答案为：1 【典例2】如图，己知菱形ABCD中，∠A=120°，AB=8,点E,F分别为边AD,CD上的两个动点，始 终保持DE=DF,连接BE,EF,取BE中点G并连接FG,则FG的最小值是 G 【答案】6 【详解】解：如图，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H,延长EF交DH于点M,连接BM, 在菱形ABCD中，∠A=120°，AD∥BC, ∠ADC=60°， :DH⊥BC, DH⊥AD LHDC=30°， DE=DF,∠ADC=60°， ∴△DEF是等边三角形， DE=DF=EF,∠DEF=60°， :∠DEF=∠MDF+∠DMF ∴∠MDF=∠DMF=30°， .FM=FD=EF, EG=BG, GF是△BME的中位线， :GF=-BM, 2 3/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :当BM最小时FG最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知：BM的最小值等于BH, A 在Rt△CDH中，∠HDC=30,∠H=90°， :.CH=CD=1AB=4, 2 2 BH=BC+CH=4+8=12, BM的最小值为12， :.FG的最小值为6. 故答案为：6. 【典例3】已知：AB是⊙0的直径，AD,BC是⊙0的切线，P是O0上一动点，若AD=10,OA=4, BC=16,则△PCD的面积的最小值是 B 【答案】32 【详解】：AB是⊙O的直径，AD,BC是⊙O的切线， .AB⊥AD,AB⊥BC, .ADBC,即：四边形ABCD是直角梯形， 过点D作DQ⊥BC于点Q,则四边形ABQD是矩形， .AD=10,0A=4,BC=16, .QC-BC-BQ=BC-AD=16-10-6,DQ=AB=2×4=8, DC=V62+82=10, 作MNCD与⊙O相切与点P,此时，点P是OO上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时，△PCD 的面积的最小值=平行四边形MNCD面积的一半. 过点M作ME⊥BC于点E,则AM=BE,ME=AB-8, .N=CD=10, 4/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EN=V102-82=6, :N是OO的切线， .MP=MA,NP=NB, 设MP-MA=BE-X, .10-x=6+x,解得：x=2, ,.BN=EN+BE=6+2=8, ∴.NC=BC-BN=16-8=8, :.平行四边形MNCD的面积=NC×DQ=8×8=64, ∴.△PCD的面积的最小值=64÷2=32. 故选B. P B E NO 题型2两条动线段的最值问题（不含系数型） 技巧：1.动点轨迹为直线型 情形一：将军饮马 条件：P为直线I上一动点，定点A,B位于直线1同侧，求AP+BP的最小值。 A(定 A(定点) B定点) 彤B(定点) P(动点)P(动点 结论：当A,P,B'三点共线时取得最小值 情形二：垂线段最短 条件：已知∠BAC为定角，点M是∠BAC内一定点，点P,N分别是AC,AB上的动点，求PM+PN的最小 值。 (动点) B (动点)一B ,M(定点) M定点) -C P(动点) (动点)M 结论：当N,P,M三点共线且MN⊥AB时，取得最小值 2.动点轨迹为曲线（圆弧）型将两条线段和阵转化为圆中弦长，利用直径最大判断 3.平移转化型 5/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：直线alIb,定点A,B分别位于直线a,b的两侧，M,N分别为直线a,b上的动点，且MN⊥a,使AM +MN+BN的值最小。 A(定点) A(定 M(动点) M动点a N动点b ,A六N动点， B(定点) B(定点) 结论：当A',N,B三点共线时，AM+MN+BN的值最小，最小值为A'B+MN的长。 4.全等转化型 条件：D,E为动点，AD-BE,求AE+CD的最小值 解跟题思路：作∠BAF=∠ABC,截取AF=AB,连接DF,CF 结论AE+CD=FD+CD≥CF 【典例1】如图，在平面直角坐标系x0y中，已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线1，P为直线1上 一动点，连接PO,PA,则P0+PA的最小值为 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点A,连AO交直线I于点C,连AC, 则可知AC=A'C,A'A⊥I, P0+PA=P0+PA'≥A'0, 即当O,P,A三点共线时，P0+PA的最小值为AO, :直线1垂直于y轴， A'A⊥x轴， A3,0),B(0,2), A0=3,AA=4, ∴.在RtaA'AO中， 6/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A'0=V0A2+AA2=V32+42=5, 故答案为：5 【典例2】在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC=10,BD=24,点E,F分别是线段 OD,AD上的两个动点，连接AE,EF,则AE+EF的最小值为 D 【答案】 120/93 1313 【详解】解：作F关于BD的对称点F,则EF=EF', .AE+EF=AE+EF', “四边形ABCD是菱形， F'在线段CD上， 当AF'⊥CD时，AE+EF=AE+EF'=AF'最小， :四边形ABCD是菱形，AC=10,BD=24,A0=C0,B0=D0,AC1BD, 0C=5,D0=12, 在RtACOD中， CD=V0C2+D0=V52+122=13, 1 :S菱形ABCD= AC·BD=CD·AF', ×10×24 AF'=2 120, 13 13 120 故答案为： 13 7/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二题型3两条动线段的最值问题（含系数型） 技巧：1.轨迹为直线（胡不归） 条件：点A,B为定点，点P为动点，求kAP+BP(O<k<1)的最小值 B(定点) B(定点) A 定点) (动点) 定点E动点) N 解跟题思路： 以定点A为顶点作∠NAP',使sin∠NAP=,过点B作BE⊥AN于点E,交直线I于点P,则kAP-PE, kAP+BP的最小值为线段BE的长。 注意：遇到系数大于1的求线段和最小值的解法： ①当求kAP+BPk>1)的最小值时，将kAP+BP转换为k(AP+1/kBP)进行求解； ②当求mAP+nBP的最小值时，将mAP4nBP转换为m(AP+n/mBP)或n(m/nAP+BP)进行求解 2.轨迹为曲线（圆弧）（阿氏圆） 条件：点P是半径为r的⊙O上的一动点，点A,B为⊙O外的定点，且=kOA(0<k<1),求PB +kAP0<k<1)的最小值。 ,B(定点) B定点) (动点)P (动点) A(定点) A(定点) 解限题思路：在线段OA上截取OC,使OC-kr,连接PC,OP,连接BC交⊙O于点P,则kAP=PC,PB+kAP的 最小值为线段BC的长。 注意：当求PB+kAPk>1)的温小值时，将PB+kAP转换为k(1/kPB+AP)进行求解。 【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,E是BC边上一个动点，连接AE,AE的垂直 平分线MN交AE于点M,交BD于点N,连接EN、CN,则2EN+BN的最小值为 A 【答案】2√ 【详解】解：如图，作NG⊥BC于G,连接AN、AG,作AH⊥BC于H, 8/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∠DBC=30°， .BN =2NG, :AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N, .EN AN, .2EN +BN =2AN +2NG=2(AN +NG 22AG 22AH, 2EN+BN的最小值为2AH, :∠ABC=60°，AB=2, :AH=AB-sin600=2×5-5, 2 .2EN+BN的最小值为2V3, 故答案为：25， 【典例2】如图，在△ACE中，CA=CE,∠CAE=30°，半径为5的O0经过点C,CE是圆O的切线，且 圆的直径B在线段AE上，设点D是线段4C上任意一点（不含端点），则OD+CD的最小值为一， D 0 E 【答案】5 【详解】解：如图所示，过点C作关于AE的平行线，过点D作DH垂直于该平行线于H, :CHI1AB,∠CAE=30°，OC=0A, :∠HCA=∠0CA=30°， sin∠HcD=HD-I cD2'4HC0=60°， CD-HD. 9/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..OD+CD=OD+DH, :当O,D,H三点共线，即在图中H在H'位置，D在D'位置的时候有OD+DH最小， :当0，D,H三点共线时，OD+CD有最小值， 此时0H'=0 Cxsin∠HC0=0 Cxsin60°=5x5_53 22 :0D+,CD的最小值为 21 故答案为55 题型4三条动线段的最值问题 技巧：情形一：“一点两线”型 条件：P是∠AOB(定角)内一定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得APMN的周长最小 A P A (动点)M P(定点) (动点)M之P定点) B 0 N(动点) (动点)NNB 解题思路：分别作点P关于OA,OB的对称点P,P",连接PP,分别佼OA,OB于点M,N; 结论：当P,M,N,P”四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为线段PP”的长。 情形二：“两点两线”型 条件：点P,Q是∠AOB(定角)内两定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得四边形PQNM的周张 最小。 P A (动点)M P(定点) (动点)MXP(定点) Q定点)台 Q(定点) B (动点) (动点)Q' 解跟题思路：分别作点P,Q关于OA,OB的对称点P,Q',连接P"Q',分别交OA,OB于点M,N; 结论：当P,M,N,Q四点共线时，四边形PQNM的周张最小，最小值为P'Q+PQ的长 【典例1】如图，在凸四边形ABCD中，若M,N分别为边CD,AD上的动点，∠A=90°，∠D=60°， AD=3,AB=√2，则△BMN的周长的最小值为 10/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】√33 【详解】解：如图，连接BD, :∠A=90°， :由勾股定理得，BD=√AB+AD=厅， 作B关于CD的对称点为B,作B关于AD的对称点为B,连接BB2,交CD与M,交AD于N,连接DB ,DB2,则DB=DB=DB,=I,B,M=BM,B2N=BN,∠BDC=∠B,DC,∠BDA=∠B,DA, :LADC=60°， ∠BDC+∠BDA=60 .∠B,DB2=2×60°=120°， 过D作DH⊥B,B,, :DB DB2, B=,∠BDH-ADa=0, DB,'sin60 DB=33 2 2 BB2=V33, :△BMN的周长为BM+MN+BN=B,M+MW+B,N, :当B、M、N、B四点共线时，△BMN的周长最小，为BB2,即为√33， 故答案为：√33 【典例2】如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为AB上一定点，点E,F分别为边AC,BC 上的动点，当△DEF的周长最小时，∠FDE的度数为 D B 11/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】90°/90度 【详解】解：如图，作点D关于AC的对称点G,点D关于BC的对称点H,连接GH交AC、BC于E、 F :D、G关于AC对称，D、H关于BC对称， :DE EG,DF=FH, :△DEF的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH, :当G、E、F、H四个点在同一直线上时，△DEF的周长最小，如图 :△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，则△ABC是等腰直角三角形， ∠C=∠B=45°， :D、G关于AC对称，D、H关于BC对称， :∠EDG=∠DGE,∠FDH=∠DHF, ∠BDH=45 ·∠ADH=135° :∠DGE+∠DHF=45°， .∠EDG+∠FDH=45°， ∠EDF=∠ADH-45°=90° 故答案是：90°。 03压轴强化训练 一、填空题 1.(25-26全国期末)如图，在锐角△ABC中，AB=5,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是· 12/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5v② 2 【详解】解：作BT⊥AC于T,在AC上截取AF=AN,连接FM. B M F :∠BAC=45°， :△ABT为等腰直角三角形， :B7-24B=2x5-5NE 2 2 2 :AD平分∠BAC, .∠NAM=∠FAM, AN=AF,AM AM, :△AMN≌△AMF(SAS), .MF=MN, .BM+MN=BM+MF≥BT. :当B、M、F三点共线且BF1AC(即F与T重合)时BM+MN=BT=5N5为最小值， 2 故答案为： 5V2 2 2.(22-23江苏连云港)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和 CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为 E D B G 13/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】24 【详解】解：如图，作点G关于CD的对称点G,作点B关于AD的对称点B,连接B'G'、BE、FG', .BE=B'E,FG=FG', .BE +EF FG BG=B'E +EF FG'+BG B'E+EF+FG'≥B'G', 当B'E+EF+FG'=B'G'时，四边形BEFG的周长有最小值，最小值为BG+B'G', BG-CG-CG'=BC=4,AB'=AB=8, BB'=AB+AB'=16,BG'=BC+CG'=8+4=12, .B'G'=VBG2+BB2=V122+162=20, .BG+B'G'=4+20=24, :.四边形BEFG的周长的最小值为24， 故答案为：24. 3.(24-25·安微宿州模考)如图，在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC=60°，对角线AC与BD交于 点O,将直线1绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F,则四边形ABFE周长的最小值是 【答案】10+25 【详解】解：如图所示，过点A作AG⊥BC,垂足为G, 14/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠AGB=90°， :∠ABC=60°， ∠BAG=90°-60°=30°， 1 ·BG=5AB=2, AG=VAB2-BG2=V42-22=2V5, :四边形ABCD是平行四边形， ·AD∥BC,AO=C0, ∠EAO=∠FC0, 在△A0E和△COF中， ∠AOE=∠COF A0=CO ∠EAO=∠FCO :△AOE≌aCOF(ASA), AE=CF, :AB=4,BC=6, :四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+EF+CF=AB+BC+EF=10+EF, :当EF的值最小时，四边形ABFE的周长最小， .当EF⊥BC时，EF有最小值，此时EF=AG=2V3, :四边形ABFE的周长最小值为10+2√5， 故答案为：10+25. PB,则 4.(25-26-四川成都)如图，R△ABC中，∠4CB=90,48=6,点P在射线BC上，且C-2 的最小值为· 15/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】3 【详解】解：如图，在BC上方，以PB为边，构造aPBD∽aCAB, D B 2P8D<C8,82-,DP8:24CB90e BDPB3 LABD=LABC+LPBD=LABC+LCAB=180°-∠ACB=90°，BD=3AB=9. :.点P在以BD为直径的⊙O上运动，点O为BD中点， :r=B0=BD=9 2 连接AO,与⊙O的交点即为AP取得最小值时，点P的位置， A0=VAB2+B0=15 2 :此时AP=A0-r=3,即AP的最小值为3. 故答案为：3. 5.(25-26江苏连云港)己知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,点E为边AC上的动点，点 F为边AB上的动点，则EF+EB的最小值是 E A B 【答案】120 13 【详解】解：延长BC至B,使CB'=BC, ∠ACB=90°， ∴AB⊥BB', :B点和B点关于AC对称， 过B点作B'F⊥AB交AC于E点，交AB于F点，连接AB', 此时EB'=EB,且B,E,F三点共线， 16/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据垂线段最短”可知，此时EF+EB的值最小，最小值为BF的长， :Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5, AB=VAC2+BC2=V122+52=13, :CB'=BC=5, BB'=10, 叉5mB8r=8AC. 2 AB.B'F=BB'·AC, 13B'F=10×12, 解得BF=120 13 ·EF+EB的最小值是120 131 故答案为： 120 13 6.(25-26广东汕头)如图，在△ABE中，∠AEB=90°，点C是边BE上的点，且BC=AE=3,CE=1, BD平分∠ABC交AC于D,点M,N分别是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为 【答案)号 【详解】解：如下图所示，作点N关于BD的对称点N',连接MN',过点C作CH⊥AB, 则有MN=MN', :CM+MN=CM+MN'≥CN', 当点C、M、N'三点共线时，CM+MN的值最小，最小值为CN', “垂线段最短， :CN'CH, 17/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=AE=3,CE=1, :BE=BC+CE=3+1=4, :在△ABE中，∠AEB=90°， AB=VAE2+BE2=V32+42=5, Sm-号cak-号48cH, :3x3-x50, 1 2 :.CH=5' 9 CM+MN的最小值是 D 7.(25-26四川宜宾)在RtaABC中，∠BAC=90°，AB=1,BC=V10,点D是BC边上的动点.连接 AD,作RtaADE,如图所示，∠DAE=90°，∠EDC=LBAD,连接BE.则AD+,BE的最小值是 2 E 【答案】57} 33 【详解】解：连接CE,令AC,DE相交于点M,如下图所示： B D 在直角三角形ABC中，AB=1,BC=V10, ·AC=VBC2-AB2=3, :∠EDC=∠BAD, 又：∠EDC+∠ADC=180°-∠BDA, 18/29 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA, ∠ADE=∠ABD, 又：∠BAC=∠DAE=90°， △ABC∽△ADE, ABAC ,即4D=AB1 AD AE AE AC3' .AE =3AD, :∠EDC=∠BAD,LBAD+∠DAC=∠DAC+∠EAC, ∠EDC=∠EAC, 又：∠AME=∠DMC, .△AME∽aDMC, 货，即0说 ME MC' 又：∠AMD=∠EMC, .△AMD∽△EMC, .∠MCE=∠ADE, 又：.∠ADE=∠ABC, :∠MCE=∠ABC, ∠ABC+LACB=90°， .∠MCE+LACB=90°，即EC⊥BC, 所以点E在过点C且垂直BC的射线上移动： AE =3AD, AD+写8E=4E+BE, 故求出AE+BE的最小值即可， 作点B关于BE的对称点B,连接AB, 即AE+BE的最小值为AB的长度，过点A作AF⊥BC,交BC于点F,如下图所示： B DE 根据对称的性质，BC=CB'=√I0, :∠ABF=∠ABC,∠BAC=∠AFB=90°， 19/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、△ABFACBA, AB AF BF BC=AC=AB' 解得BF= 10 ，AF=30 10 FB'=BB'-BF=210-101910 10 10 AB'=FB)2+AF2=37, 则AD+E=AB-37 3 3 ， /min 故答案为： V37 3 8. (25-26陕西延安模考)如图，在菱形ABCD中，AB=6,点E为射线DA上的动点，点F为射线DC 上的动点，且DE=DF,连接CE、BF,若菱形ABCD的面积为18，则BF+CE的最小值为· 【答案】62 【详解】解：如图所示，连接BE,作点C关于AD的对称点G,连接CG交AD于点H,连接BG, 在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠BCF=∠BAE(菱形对角相等)， DE =DF, .AE=CF, .△BCF≌△BAE(SAS), 得BF=BE, .BF +CE=BE CE=BE EG. S菱形=BCxCH=6×CH=18, 20/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CH=3, CG=6. 在RtaBCG中BG=VBC2+CG2=V62+62=6√5， 当B、E、G三点共线时BE+EG有最小值，即BF+CE取得最小值， 在△BEG中，BE+EG≥BG=6V2, BF+CE=BE+EG≥6V2. 故答案为：6√2， 二、解答题 9.(23-24安徽合肥)(1)如图1，点C在线段BD上，AB=CD,BC=DE,∠B=∠D=90°，求证： △ACE为等腰直角三角形； 图1 图2 (2)如图2，M(0,5),N(6,2),以MN为斜边作等腰直角△MWQ,求点Q的坐标； (3)在第(2)问的前提下，过点Q作y轴垂线1，在1上取一点P,直接写出PM+PN的最小值_ 【答案】(1)见解析； (2)点Q的坐标为(4.5,6.5)或1.5,0.5)： (3)62 【详解】(1)证明：：AB=CD,BC=DE,∠B=∠D=90°， ∴.△ABC≌ACDE(SAS), ∴.AC=CE,∠ACB=∠CED, :∠ECD+∠CED=90°， .∠ECD+LACB=90°， .∠ACE=90°， :△ACE是等腰直角三角形 (2)解：符合条件的点有两个分别是Q和Q.过两点作y轴的垂线，垂足为G,G',过N作x轴的垂线 21/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分别交GQ和GQ'于H和H'. 等腰直角△MWQ中， QM=NQ,∠MQN=90°， ∴.∠MQG+∠NQH=90°， .∠MQG+∠QMG=90°， ∴.∠QMG=∠NQH, 又.∠MGQ=∠QHN=90°， ∴.△MGQ≌△QHN(AAS) ∴.MG=QH,GQ=HN, M(0,5),N(6,2), :.5+MG =2+NH,GO+OH=6, 解得MG=QH=1.5,GQ=NH=4.5, G0=5+1.5=6.5, .点Q的坐标为(4.5,6.5) 同理，MG=QH'=4.5,GQ'=NH'=1.5, G'0=G0-GM-MG'=6.5-1.5-4.5=0.5 点g的坐标为1.5,0.5). 所以点Q的坐标为(4.5,6.5)或(1.5,0.5. (3)解：在y轴上截取GM'=MG,连接PM,PM',PN,过N作y轴的垂线，垂足为N', 五 M' 、P M N' 图3 :PM PM', :PM +PN PM'+PN :当M',P,N三点共线时PM+PN的值最小. 22/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠MN'W=90°，MN'=5+3-2=6,NN'=6, .MN=VMW2+NN2=V62+62=6√2. :PM+PN的最小值是6√2. 故答案为：62 10.(2024四川成都模拟预测)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究. 【尝试初探】 (1)如图①，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5,∠BAD=120°，求AC的长： 【深入探究】 (2)如图②，在四边形ABCD中，若LABC=LADC=90°，∠BCD=45°，AC=8√2，求BD的长： 【拓展延伸】 (3)如图③，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=25,延长DA,CB相 交于点E,DE⊥CE,P是线段AC上一动点，连接PD,求2DP+CP的最小值， D D D B E B 图① 图② 图③ 【答案】(1)10；(2)8；(3)6√2+4√6. 【详解】解：(1)：∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5,AC=AC; :Rt△ABC≌Rt△ADC(HL); :.∠BAC=∠CAD=三∠BAD=60°， 、 .∠ACD=90°-∠CAD=30°， ∴.AC=2AD=10 (2)如图②，取AC的中点O,连接OB、0D, D B 图② :∠ABC=∠ADC=90°， 23/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0D=0c=)4C,0B=0C=24C, 1 1 2 LODC=OcD,∠OBC=∠OCB, :∠A0D=∠0DC+∠0CD=2∠OCD,∠A0B=∠0BC+∠0CB=2∠0CB; :∠AOD+∠AOB=2(∠OCD+∠OCB),即∠B0D=2LBCD, :∠BCD=45°， ∠B0D=90°， 又：0D=0B=14C=1x82=4W2, 2 2 :BD=√0D2+0B2=V(42}+(42)2=8, (3)如图③，过点A作AF⊥CD, 图③ :LABC+LADC=180°，∠ADC=60°， ∠ABC=120°，∠ABE=60°， 又：DE⊥CE, ∠BAE=90°-LABE=30°， ∠DAB=150°， ∠DCB=360°-∠DAB-(∠ADC+∠ABC)=30°， 在△ABE和△ADF中， [∠AEB=∠AFD=90° ∠ABE=∠ADF=60° AD=AB :.△ABE≌△ADF(AAS), .AF AE, :AF⊥CD,AE⊥EC, 点∠ACD=∠ACB=∠BCD= ×30°=15°， 2 2 .∠CAF=90°-∠ACD=75°， ∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=105 24/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点A作AQ⊥AD交CD于点Q, :.∠AQD=90°-∠ADC=30°，∠QAC=∠CAD-∠DAQ=105°-90°=15°， :D0=2AD=4V5,A0=VD02-AD2=V(45)2-(25)2=6, :∠QAC=∠ACD=15°， .A0=CO=6, .CD=C0+DO=6+43, 如图④，作∠ACG=30°，过点P作PH⊥CG,垂足为H,过点D作DN⊥CG,垂足为N,交AC于M, H G 图④ ÷PH=PC,∠DCG=LACD+LACG=45°， DP+PH DP+PC.DN-CD.i DCG-65 2 :DP+PH≥DN,当点P在点M位置时，点H与N重合，DP+PH取最小值，最小值为3√2+2√6， DP+PC的最小值为32+26， :2DP+PC最小值为6√2+4√6. 11.(24-25九年级上山东济宁)如图，在△ABC中，AB=AC,A0⊥BC于点0，OE⊥AB于点E,以 点O为圆心，OE为半径作圆O交A0于点F. (I)求证：AC是⊙O的切线： (②)若LAOE=60°，OE=3,在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE的 最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)3V5 25/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(I)证明：过点O作OD⊥AC与点D,如图， :AB=AC,AO⊥BC, .A0平分∠BAC :OE⊥AB,OD⊥AC, 0D=0E. :OE是圆的半径， OD是圆的半径 即：AC经过半径OD的外端，且垂直于半径OD, “AC是⊙O的切线： (2)解：在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值， 延长AO交⊙O于点G,连接EG交BC于点P,连接PF,则此时PF+PE最小， 连接EF,过点E作EH⊥AO于点H,如图， :∠A0E=60°，0E=0F, ∴.△OEF为等边三角形， ..EF=0E=OF=3. :EH⊥OF, :.OH=HF=LOF=3 2 2 39 .GH=OG+OH=3+ 22 在R1:EH0电，EH=OE sin∠AOE=35 2 :.在RIAEHG中，EG=VEH2+GH 3v5 2 +2 =35 26/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC⊥FG,OG=OF, .PG=PF. PE+PF PE+PG=EG=33. :.在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值，PF+PE的最小值为3√5 12.(2024安徽模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于 A-1,0),B两点，AB=4,C为抛物线顶点. 图1 图2 (I)求b,c的值： (2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q,交AC于点M,是否存在 OM=3PM？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+。AN的最小值. 【答案】(1)b=-2,c=-3 oG 3)17 【详解】(1)解：：AB=4, B点坐标为3,0)， 将A-1,0),B(3,0代入y=x2+bx+c, 1-b+c=0 得 9+3b+c=01 解得b=-2,c=-3 (2)解：设直线AC的表达式为y=x+b, 由(1)可知抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 27/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故C点坐标为1，-4)， :直线AC的表达式为y=-2x-2 设P点坐标为m,m2-2m-3, 则2(m,0),M（m,-2m-2), .QM=0-（-2m-2)=2m+2, PM=(-2m-2）-m2-2m-3=-m2+1 若QM=3PM, 则2m+2=3(-m2+1), 1 解得叫=3m,=1 -1<m<1, 132 故m=写此时P点坐标为39)： (3)如图，取R(2,0),连接NR,BN :BR=1,BN=2,BA=4, BR BN BNBA 又：∠RBN=∠NBA, △RBN∽△NBA, RN BN 1 AN BA2' w以 :CN+)AN=CN+RN≥CR, 2 CR=V42+12=V17, 故CN+AW的最小值为7 28/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 R 29/29