精品解析：江苏无锡市侨谊实验中学等2025-2026 学年八年级下学期期中数学试卷

2025——2026学年第二学期期中试卷 八年级数学 考试时间：90分钟 满分分值：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下调查中，适合全面调查的是（　　） A. 了解某班学生的身高情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数 2. 2023年5月14日至5月20日是第32届“全国城市节约用水宣传周”，为了解我校900名初三学生节约用水的情况，从22个班级中抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 名学生是总体 B. 是样本容量 C. 个班级是抽取的一个样本 D. 每名学生是个体 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 4. 要反映小明同学8次数学练习成绩的变化情况，宜采用（　　） A. 统计表 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 扇形统计图 5. 在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这六个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定满足（ ）． A. B. 正方形 C. 菱形 D. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B. 两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 9. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 某校对400名女生的身高进行了测量，身高在1.58m～1.63m这一小组的频率为0.25，则该组共有______名女生． 12. 一个容量为的样本的最大值为，最小值为，若取组距为，则应该分的组数为____． 13. 排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性_______小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 14. 已知四边形中，，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是________． 15. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为的中点，若，则_____． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 17. 在梯形中，，与互余，，则该梯形周长是____． 18. 如图，在矩形中，是边上的中点，是边上的一动点．连接，特沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为_________． 三．解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示． 请你根据如图信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？ 20. 在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的频数 摸到黑球的频率 （1）表中的 ； ； （2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到） （3）袋中白球个数的估计值为 ． 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，求线段的长． 22. 如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，且， （1）求证：； （2）若，矩形的周长为22，求的长． 23. 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果两张矩形纸片的长都是9，宽都是3．那么菱形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 24. 习近平总书记在2018年9月10日的全国教育大会上，首次将劳动教育（含劳技教育）纳入党的教育方针，明确提出构建德智体美劳全面培养的教育体系，并强调劳动教育的极端重要性．学校劳技课上组织学生制作“图形变换”教具，需要将长、宽的矩形纸片按下列要求进行裁剪，使裁剪后拼接成的新图形的面积保持不变．要求：把最终拼接所得的图形打上阴影，并标注好必要的数据． （1）一个底边长为的等腰三角形； （2）一个上底，下底的等腰梯形； （3）一个长为的新矩形； （4）一个底为的平行四边形． 25. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①所示），连接，和相交于点F，请你连接，试说明四边形为等腰梯形； （2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕的长． 26. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．在AD上取一点E，AE=1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF=x，△BFM的面积为S． （1）当四边形EFMN是正方形时，求x的值； （2）当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式； （3）当x= 时，△BFM的面积S最大；当x= 时，△BFM的面积S最小； （4）在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第二学期期中试卷 八年级数学 考试时间：90分钟 满分分值：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下调查中，适合全面调查的是（　　） A. 了解某班学生的身高情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数 【答案】A 【解析】 【分析】适合普查（全面调查）的方式一般有以下特点：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强，依次判断即可． 【详解】A、了解某班学生的身高情况适合全面调查； B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查； C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查； D、调查鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查； 故选A． 【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查适用的条件，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 2. 2023年5月14日至5月20日是第32届“全国城市节约用水宣传周”，为了解我校900名初三学生节约用水的情况，从22个班级中抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 名学生是总体 B. 是样本容量 C. 个班级是抽取的一个样本 D. 每名学生是个体 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 名学生节约用水的情况是总体，故该选项不正确，不符合题意； B. 是样本容量，故该选项正确，符合题意； C. 50名学生节约用水的情况是抽取的一个样本，故该选项不正确，不符合题意； D. 每名学生节约用水的情况是个体，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，熟练掌握总体、个体、样本、样本容量的定义是解题的关键．(1)总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；(2)个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；(3)样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；（4）样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 4. 要反映小明同学8次数学练习成绩的变化情况，宜采用（　　） A. 统计表 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 扇形统计图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各种统计图表的特征及应用，掌握统计图表的特征是解题的关键.利用统计图的特点判定即可． 【详解】解：要反映小明同学8次数学练习成绩的变化情况，宜采用折线统计图． 故选：B． 5. 在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这六个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】先明确中心对称图形和轴对称图形的定义，再逐一判断题目给出的六个图形，统计符合条件的图形个数即可． 【详解】解：轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形； 中心对称图形的定义：平面内，将一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形重合的图形； 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 故符合要求的图形共个． 6. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定满足（ ）． A. B. 正方形 C. 菱形 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定定理根据三角形中位线定理得到，，，，，得到，，得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时， ∵，， ∴ ∴平行四边形为矩形， 故选：． 8. 下列命题正确的是（ ） A. 两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B. 两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以选项A不符合题意； B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以选项B不符合题意； C、两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，选项C符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以选项D不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令旋转1秒后点的对应点为点，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，证明，从而得到点D对应点E的坐标，同理可得旋转2秒、3秒、4秒、5秒后D点对应点的坐标，找出其中的规律即可求出旋转2025秒以后点D对应的点的坐标． 【详解】解：如图所示， 令旋转1秒后点的对应点为点，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ， 又 ． 在和中，， ， ， 点坐标为， ， ∴点的坐标为． 如图： 同理可得， 旋转2秒后点的对应点坐标为， 旋转3秒后点的对应点坐标为， 旋转4秒后点的对应点坐标为， 旋转5秒后点的对应点坐标为， 由此可见，点的对应点按循环出现， 又， 旋转2025秒后点的对应点的坐标为． 10. 已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，再证明，即可得出，从而判断①正确；先证明是等腰直角三角形，则，求出的度数，再结合全等三角形的性质即可判断②正确；由勾股定理可得，证明是直角三角形，再结合勾股定理即可判断③正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形的面积公式即可判断④正确；过点作，交的延长线于点，先证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ⑤过点作，交的延长线于点，如图： ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 某校对400名女生的身高进行了测量，身高在1.58m～1.63m这一小组的频率为0.25，则该组共有______名女生． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数．根据“频率＝频数÷总数”计算可得． 【详解】解：解：根据题意知该组的人数为：（人）， 故答案为：100． 12. 一个容量为的样本的最大值为，最小值为，若取组距为，则应该分的组数为____． 【答案】7 【解析】 【分析】先计算样本最大值与最小值的差，再将差除以组距，对计算结果的小数部分进位即可得到组数． 【详解】解：样本中最大值为，最小值为，二者的差为，已知组距为，因此 ， 根据组数计算规则，小数部分进位，因此应该分的组数为． 13. 排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性_______小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 【答案】小于 【解析】 【分析】本题主要考查了事件可能性大小的判断，掌握概率的计算公式是解题的关键； 用字母A，B，C分别表示小亮和他的2位同学，列举出3人站成一横排的所有可能结果， 再求“小亮站在正中间”与“小亮站在两端”这两个事件的概率，根据二者的概率大小即可判断． 【详解】用字母A，B，C分别表示小亮和他的2位同学，则他们3人站成一横排的有6种等可能性，列举如下： 、、、、、． 其中小亮“站在中间”有2种可能，其概率为， 小亮“站在两边”有4种可能，其概率为， ， 其中小亮“站在中间”的可能性小于小亮“站在两边”的可能性． 故答案为：小于． 14. 已知四边形中，，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是________． 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】当AD=BC或AB∥CD时，四边形ABCD是矩形．只要证明四边形ABCD是平行四边形即可． 【详解】当AD=BC或AB∥CD时，四边形ABCD是矩形． 理由：∵AD∥BC， ∴当AD=BC或AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形． ∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形． 故答案为AD=BC或AB∥CD． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为的中点，若，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 故答案为4． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ， ， ， ， ， ． 17. 在梯形中，，与互余，，则该梯形周长是____． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，得出．，确定，，再根据含30度角的直角三角形的性质得出，，即可求解． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ， ∵，， ∴ ∵与互余，， ∴， ∴， ∴，， ∴该梯形周长是． 18. 如图，在矩形中，是边上的中点，是边上的一动点．连接，特沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为_________． 【答案】5或 【解析】 【分析】根据直角的不同可分两种情况讨论：①当时，则，根据折叠的性质和矩形的性质可推出，以此得到，即可求解；②当时，可得M，E，C三点共线，设，则，根据勾股定理可得，则，再根据勾股定理，列出方程，求解即可． 【详解】解：①如图，当时， ∴， 根据折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， 根据折叠的性质可知，，，， ∴M，E，C三点共线， 设，则， 在中， ， ∴， 在中， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∴； 综上，的长为5或． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、矩形的性质，解题关键是根据题意对不同的直角进行分情况讨论，再分别利用勾股定理和翻折的性质解答． 三．解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示． 请你根据如图信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？ 【答案】（1）100； （2）见解析 （3）估计选择“围棋”社团课的学生约有名． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据参加“健身操”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，用选择“羽毛球”社团课的学生人数除以总人数乘即可得到结果； （2）用总人数减去参加其他各项的人数即可得到参加“插花”的人数，从而可补全条形统计图； （3）先求出样本中参加“围棋”社团课的百分比，再用七年级人数乘以这个百分比即可得到结论． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为（名）， “羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：参加“插花”的人数有（名）， 补全条形统计图如下， ； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名． 20. 在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的频数 摸到黑球的频率 （1）表中的 ； ； （2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到） （3）袋中白球个数的估计值为 ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可； （2）根据样本的频率估计概率，即可求解； （3）摸到黑球的概率为，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可． 【小问1详解】 解：由表可得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：摸到黑球的频率稳定在左右； 从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 故答案为：； 【小问3详解】 解：设白球有x个， 根据题意得：， 解得， 袋中白球个数的估计值为18． 故答案为：18． 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用平行四边形性质得出，，再利用勾股定理可得，求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ， 又，， ， ． 22. 如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，且， （1）求证：； （2）若，矩形的周长为22，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再由各角的等量代换确定，结合全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得出，然后根据周长建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ． 23. 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果两张矩形纸片的长都是9，宽都是3．那么菱形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）存在最小值和最大值，最小值为12，最大值为20 【解析】 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形．然后分别过点A、D作于E，于F．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得，又由面积问题，可得，即可得四边形为菱形； （2）由题意可判断，当为菱形纸片的对角线时，菱形的周长有最大值 ．当时，菱形为正方形，菱形周长最小值． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得：， ∴四边形是平行四边形． 分别过点A、D作于E，于F． ∵两张矩形纸片的宽度相等， ∴， 又∵， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 当为菱形纸片的对角线时，设．则， 如图， 在中，， 即 ． 解得 ∴菱形的周长的最大值为 当时，菱形为正方形，宽最小值为3， 菱形的周长的最小值为． 24. 习近平总书记在2018年9月10日的全国教育大会上，首次将劳动教育（含劳技教育）纳入党的教育方针，明确提出构建德智体美劳全面培养的教育体系，并强调劳动教育的极端重要性．学校劳技课上组织学生制作“图形变换”教具，需要将长、宽的矩形纸片按下列要求进行裁剪，使裁剪后拼接成的新图形的面积保持不变．要求：把最终拼接所得的图形打上阴影，并标注好必要的数据． （1）一个底边长为的等腰三角形； （2）一个上底，下底的等腰梯形； （3）一个长为的新矩形； （4）一个底为的平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】根据题意及矩形面积保持不变设计图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示即为所求； 【小问3详解】 如图所示即为所求； 【小问4详解】 如图所示即为所求． 25. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①所示），连接，和相交于点F，请你连接，试说明四边形为等腰梯形； （2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）利用折叠和矩形的性质可得，，即得，得到，确定，得出，再由等腰梯形的定义即可求证； （）过点作于点，由矩形和折叠的性质可得，，，，设，则，利用勾股定理可得，即得，，再证明，得，进而由四边形是矩形得，，最后利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，由折叠得，， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠得，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图得与不平行， ∴四边形为等腰梯形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， ∵矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 26. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．在AD上取一点E，AE=1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF=x，△BFM的面积为S． （1）当四边形EFMN是正方形时，求x的值； （2）当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式； （3）当x= 时，△BFM的面积S最大；当x= 时，△BFM的面积S最小； （4）在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ． 【答案】（1）x=3;(2)S=;(3);(4) 【解析】 【分析】（1）利用AAS证明△DEN≌△AFE即可解决问题； （2）如图，过点M作MH⊥AB于H，连接NF，证明△DEN≌△HMF，可得MH=DE=3，由此即可解决问题； （3）①如备用图①中，当点N与点D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大，在Rt△AEF中，x=，推出S的最大值=12-3；②如备用图②，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小； （4）如备用图③中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长=BF的长=8-2. 【详解】(1)在正方形EFMN中，∠FEN=90°，EF=EN， ∴ ∠DEN+∠AEF=90°， 在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴ ∠AEF+∠AFE=90°， ∴ ∠DEN=∠AFE， 在△DEN与△AFE中， ， ∴△DEN≌△AFE（AAS）， ∴AF=DE=4－1=3， ∴x的值为3； (2)过点M作MH⊥AB于H，连接NF， 在矩形ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠DNF=∠NFB， ∵四边形EFMN是菱形， ∴NE‖MF ，NE=MF， ∴∠ENF=∠MFN， ∴∠DNE=∠MFB ， 在△DEN与△HMF中， ， ∴△DEN≌△HMF（AAS）， ∴MH=DE=3，BF=8-x， ； （3）①如备用图①中，当点N与点D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大， 在Rt△AEF中，x=， ∴S的最大值=12-3； ②如备用图②，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小， 此时易得CN=AF=x， ∵EN=EF， ∴12+x2=32+（8-x）2， ∴x=， ∴S的最小值为， 故答案为2，； （4）如备用图③中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长=BF的长=8-2， 故答案为. 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，一次函数的应用等，综合性较强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，会利用参数构建方程，会利用一次函数的性质确定最值问题等. 第1页/共1页 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