精品解析：江苏省无锡市梁溪区东林中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区东林中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 2. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 了解我市老年人健康状况 B. 调查全国中小学生的视力情况 C. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 3. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外无其他差别的3个红球，2个白球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个是红球 B. 打开电视，正在播放《典籍里的中国》 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 一个三角形的内角和为 4. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在分式中，如果a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值将（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 10. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 二．填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 为了了解某市10000名中学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取500名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______． 12. 对分式和进行通分，则它们的最简公分母为______． 13. 使分式的值为0，这时x=_____． 14. 若，则分式 =_________． 15. 将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______． 16. 如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为________． 17. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 18. 邻边长分别为，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值 ________． 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，且是整数． 20. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F．求证：AF＝CE． 21. “爱中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，为了让更多学生喜欢中国文化，学校组级七年级学生开展古诗词知识大赛，随机抽取部分学生的成绩进行整理，并绘制了如下两种不完整的统计图表． 分组 人数（频数） 占样本人数的百分比 50~60 4 60~70 a 70~80 8 80~90 20 90~100 12 注：70~80表示 请根据图表信息解答下列问题： （1）______，______． （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩80分及80分以上为优秀，请估计该校七年级600名学生成绩达到优秀的人数． 22. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转90°得，画出． （2）作出关于坐标原点O成中心对称的． （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小，则P点的坐标为 ．(提醒：每个小正方形边长为1个单位长度) 23. 如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．我们称四边形0EMF为四边形ABCD的“伴随四边形”． （1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　 　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　 　（在横线上填特殊平行四边形的名称） （2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： （1）①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． （2）的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区东林中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 了解我市老年人健康状况 B. 调查全国中小学生的视力情况 C. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、适合用抽样调查，不符合题意； B、适合用抽样调查，不符合题意； C、适合用普查，符合题意； D、适合用抽样调查，不符合题意； 故选C． 3. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外无其他差别的3个红球，2个白球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个是红球 B. 打开电视，正在播放《典籍里的中国》 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 一个三角形的内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是事件的分类：随机事件、必然时间、不可能事件，熟记不可能事件的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在一个不透明的袋子中装有除颜色外无其他差别的3个红球，2个白球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个是红球是必然事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放《典籍里的中国》是随机事件，不符合题意； C、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，不符合题意； D、一个三角形的内角和为是不可能事件，符合题意． 故选：D． 4. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此判断即可． 【详解】解：各式中是分式的有，，共2个， 故选：B． 5. 在分式中，如果a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值将（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 把果a、b都扩大为原来的2倍化简即可． 【详解】解：a、b都扩大为原来的2倍，得 ， ∴分式的值不变； 故选B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误正确，不符合题意． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误正确，不符合题意． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误正确，不符合题意． D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意， 故选：D． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转的性质及三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，点D在线段的延长线上， ∴, ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形内角和定理，能够熟练运用性质求角度是解题关键． 8. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形．故A不符合题意； ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形．故B不符合题意； C选项中由，不能得出， ∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形．故D不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到，，，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】∵在中， ∴，，，， ∴，，， ∵，与的角平分线交于点E ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 10. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故③错误； ∵， ∴， 延长交的延长线于，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边的中线， ∴．故④正确； 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 为了了解某市10000名中学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取500名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______． 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．据此求解即可． 【详解】解：在该市范围内随机抽取500名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是500． 故答案为：500． 12. 对分式和进行通分，则它们的最简公分母为______． 【答案】6a2b3． 【解析】 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】分式和的最简公分母为6a2b3． 故答案为：6a2b3． 【点评】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 13. 使分式的值为0，这时x=_____． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 14. 若，则分式 =_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，异分母分式的减法运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式； 故答案为：． 【点睛】 15. 将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 证明四边形是平行四边形，如图，作于，于，由等宽可得，由，可得，证明四边形是菱形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， 如图，作于，于，由等宽可得， ∵， ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 16. 如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了图形翻折变换的性质，勾股定理．根据矩形的性质以及折叠的性质可得到，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 17. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 18. 邻边长分别为，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值 ________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等是解题关键． 根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ，即， 解得：； ②如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， ， ∵四边形，，都为菱形， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，且是整数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）先通分，再计算减法，最后约分即可； （2）先化简原分式，再讲符合要求的代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∵，且是整数， ∴， ∴原式． 20. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F．求证：AF＝CE． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AB＝CB，根据垂直得出∠CFB＝∠AEB＝90°，根据全等三角形的判定得出△AEB≌△CFB，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB， ∵AE⊥BC，CF⊥AB， ∴∠CFB＝∠AEB＝90°， 在△AEB和△CFB中， ， ∴△AEB≌△CFB（AAS）， ∴BE=BF， ∵AF=AB-BF，CE=BC-BE， ∴AF＝CE． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21. “爱中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，为了让更多学生喜欢中国文化，学校组级七年级学生开展古诗词知识大赛，随机抽取部分学生的成绩进行整理，并绘制了如下两种不完整的统计图表． 分组 人数（频数） 占样本人数的百分比 50~60 4 60~70 a 70~80 8 80~90 20 90~100 12 注：70~80表示 请根据图表信息解答下列问题： （1）______，______． （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩80分及80分以上为优秀，请估计该校七年级600名学生成绩达到优秀的人数． 【答案】（1）6， （2） 补全图如下所示： ； （3）384 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和频数分布直方图． （1）根据题意先计算被调查的总人数，即可求出的值； （2）根据（1）中求得的值在条形统计图中画出即可； （3）先计算成绩80分及80分以上的频率，再用600乘以频率即可． 【小问1详解】 解：∵被调查总数为：（人）， ∴（人）， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 【小问3详解】 解：∵成绩80分及80分以上的百分比为：， ∴七年级600名学生成绩达到优秀的人数为：（人）． 22. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转90°得，画出． （2）作出关于坐标原点O成中心对称的． （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小，则P点的坐标为 ．(提醒：每个小正方形边长为1个单位长度) 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）(0，1)． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点，则可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点的坐标，然后描点即可得到； （3）由关于轴对称，连接交轴于，则，此时的周长最短，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图，分别找到绕顺时针旋转90°的对应点， 再顺次连接得为所作； （2）如图， 由中心对称的性质可得： 顺次连接得为所作； （3）如图，由关于轴对称，连接交轴于， ， 则，此时的周长最短， 所以点P为所作，此时 故答案为： 【点睛】本题考查了利用旋转的性质与中心对称的性质作图，同时考查了利用轴对称的性质确定使三角形周长最短的点，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理． （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，，．在中，利用勾股定理计算的长度，进而得到的长度．利用菱形的面积公式计算面积． 【小问1详解】 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ． ． ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，四边形是菱形， ，． 在中，由勾股定理得：． ． ， ． 24. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．我们称四边形0EMF为四边形ABCD的“伴随四边形”． （1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　 　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　 　（在横线上填特殊平行四边形的名称） （2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）矩形；菱形 （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据矩形、菱形的性质定理和判定定理进行证明即可； （2）根据平行四边形的性质得到OE=MF，得到OB+MF=BE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到EB=EM，证明结论． 【详解】（1）如图1，∵ME∥AC，MF∥BD， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OEMF是矩形； 如图2，∵ME∥AC，MF∥BD， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC， ∵M是BC边的中点， ∴ME＝OC，MF＝OB， ∴ME＝MF， ∴四边形OEMF是菱形； 故答案为矩形；菱形． （2）∵ME∥AC，MF∥BD， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∴OE＝MF， ∴OB+MF＝OB+OE＝BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵ME∥AC， ∴∠EMB＝∠OCB， ∴∠EBM＝∠EMB， ∴EB＝EM， ∴EM＝OB+MF． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的性质和判定，理解伴随四边形的定义、灵活运用矩形、菱形的性质定理和判定定理是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： （1）①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． （2）的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 【答案】（1）①；② （2）的面积不会改变，定值为 （3）或或 【解析】 【分析】（）①过点作于，证明即可求解；②过点作于，同理①证明即可求解； （）过点作，交的延长线于，可证，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）若，当点与点重合时，，此时；当点与点不重合时，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积不会改变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于， ∵矩形的顶点坐标为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∴的面积不会改变，定值为； 【小问3详解】 解：若，当点与点重合时，，此时； 当点与点不重合时，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此种情形不存在； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $