专题05因式分解全章12种题型（期中复习讲义）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题05 因式分解 （期中复习讲义，全章12种题型） 【题型01 因式分解的意义】 4 【题型02 确定公因式】 5 【题型03 用提公因式法分解因式】 7 【题型04 用平方差法分解因式】 9 【题型05 用完全平方公式法分解因式】 11 【题型06 因式分解方法的综合应用】 14 【题型07 利用因式分解进行简便计算】 16 【题型08 利用因式分解求值】 18 【题型09 利用因式分解判断三角形的形状】 20 【题型10 利用因式分解求最值】 24 【题型11 因式分解在新定义问题中的应用】 32 【题型12 因式分解在阅读理解的应用】 37 1．考查分值：占期中试卷10%～15%，分值约8～12分，是代数运算的核心基础，属于必考点，难度中等偏易，得分率较高。 2．考查题型：覆盖选择题、填空题、解答题，其中选择题、填空题侧重基础（如确定公因式、判断因式分解是否正确），解答题侧重因式分解的实际应用（简便计算、求值等）。 3．核心考点：① 因式分解的意义及与整式乘法的区别；② 提公因式法分解因式；③ 平方差公式、完全平方公式的应用；④ 因式分解方法的综合运用；⑤ 因式分解在求值、判断三角形形状、最值等问题中的应用。 4．易错点：① 混淆因式分解与整式乘法，把整式乘法当成因式分解；② 提公因式不彻底，漏提系数的最大公约数或相同字母的最低次幂，甚至漏提“1”；③ 符号处理错误，首项为负时未提负号或提负号后括号内各项未变号；④ 公式识别错误，混淆平方差公式与完全平方公式，或不符合公式条件强行套用；⑤ 分解不彻底，未将因式分解到不能再分解的程度。 5．命题趋势：以基础题为主，占比70%，侧重考查提公因式法和公式法的直接应用；少量中档题结合分式、三角形、最值、新定义、阅读理解等内容，考查因式分解的综合应用，强调“先分解再运算”的数学思想，难度适中，注重基础运算能力的考查。03 期中知识•梳理 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点三、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点五、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点六、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点七、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点八：添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点九：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 04 期中题型•汇总 【题型01 因式分解的意义】 核心技巧：紧扣“多项式→几个整式的积”这一核心定义，判断变形是否为因式分解。首先排除非整式积的形式（如含分式、无理式的变形），排除整式乘法（积变和）的变形；其次检查结果是否符合要求，即每个因式均为整式，且分解到不能再分解。可通过整式乘法反向验算，若乘积等于原多项式，则分解正确，反之则错误。 【典例1】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．从左到右是整式乘法，不是因式分解； B．右边变形后出现分式，不是整式，不是因式分解； C．左边是多项式，右边是整式的乘积，是因式分解； D．右边是乘积与多项式的和，不是几个整式乘积的形式，不是因式分解． 【变式2】．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 【变式3】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若多项式可分解为，则的值为_______________． 【答案】3 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；通过整式的乘法展开，并比较系数，求出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：由得，与多项式比较系数，得： ， 解得：， ∴； 故答案为3． 【题型02 确定公因式】 核心技巧：按“三看”原则逐步确定，确保不遗漏、不找错。一看系数，取各项整数系数的最大公约数（若系数有负号，可先统一取正再找）；二看字母，找出各项都含有的相同字母，无相同字母则无字母公因式；三看指数，取相同字母的最低次幂。若多项式中含有整体因式（如x-y、2a+b），且各项都含该整体，则该整体也可作为公因式。 【典例2】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，，，三者的最大公约数是， 各项共有的相同字母为和， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， ∴该多项式的公因式为． 【变式1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）因式分解多项式应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：因式分解多项式应提取的公因式是， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2， 字母 b 的指数最小值为 2， ∴ 公因式为 ． 故选：C． 【变式3】．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）多项式中，各项的公因式是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式，先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是2，各项的相同字母的最低指数次幂是， 所以公因式是， 故答案为：． 【题型03 用提公因式法分解因式】 核心技巧：优先提取公因式，遵循“一次提尽、项数不变”的原则。先根据“三看”找出公因式，再将每一项除以公因式，得到剩余因式，将多项式写成“公因式×剩余因式”的形式。注意首项系数为负时，先提取负号，括号内各项要变号；提取公因式后，剩余因式的项数与原多项式一致，最后一项提取后若为1，不能省略，避免出现漏项错误，提取后需检查是否分解彻底。 【典例3】．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）将多项式因式分解，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，通过提取公因式进行因式分解． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各式中，能用提公因式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题的关键．判断每个选项中的多项式的各项是否含有公因式解答即可． 【详解】解：A、多项式中，各项没有公因式，不能用提公因式法分解因式，故本选项不符合题意； B、，能用提公因式法分解因式，故本选项符合题意； C、多项式中，各项没有公因式，不能用提公因式法分解因式，故本选项不符合题意； D、多项式，各项没有公因式，不能用提公因式法分解因式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，本题可以用提取公因式法，公因式确定方法：系数取各项系数的最大公因数，相同字母因数取最小指数． 通过提取公因式法，找出各项的公因式为，然后进行因式分解． 【详解】解：A、，未提取完全，故本选项不符合题意； B、，符合因式分解的要求，故本选项符合题意； C、，未提取完全，故本选项不符合题意； D、，括号内错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】．（24-25八年级上·广东中山·期中）下面运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 依据同类项合并、因式分解、幂的乘方和积的乘方法则进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：和不是同类项，不能合并，故错误； 对于选项B： ，正确； 对于选项C：，故错误； 对于选项D：，故错误 故选B． 【题型04 用平方差法分解因式】 核心技巧：先判断是否符合平方差公式的适用条件，即二项式、两项均为平方形式（可是单项式平方、整体平方）、两项符号相反。若有公因式，先提取公因式，再套用公式；若为整体平方，可将整体看作一个字母，灵活运用公式。分解后需检查剩余因式是否还能继续分解，确保分解彻底，同时注意符号规范，避免出现符号错误。 【典例4】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1】．（25-26八年级上·福建·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解的提公因式法与公式法（平方差公式），解题的关键是先提取公因式，再对剩余部分用公式法继续分解，直到不能分解为止． （1）先找出多项式各项的公因式，提取公因式后检查剩余部分是否可继续分解； （2）先将多项式看作平方差形式，用平方差公式分解，再对能继续分解的部分重复使用平方差公式． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据平方差公式，分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型05 用完全平方公式法分解因式】 核心技巧：先判断是否符合完全平方公式的适用条件，即三项式、首尾两项是平方形式且符号相同，中间项是首尾两项底数乘积的2倍。有公因式先提取公因式，再分析剩余三项是否符合公式；注意中间项的符号，中间项为正对应和的平方，中间项为负对应差的平方。若首尾两项不是最简平方形式，可先化简，再套用公式，分解后检查因式是否还能继续分解。 【典例5】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．通过观察其结构，符合完全平方公式的形式，可直接进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式2】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先根据平方差公式因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（25-26八年级上·海南海口·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可； （3）利用提公因式法与平方差公式分解因式即可； （4）先去括号，再用完全平方公式分解因式即可． 本题考查了因式分解，有公因式先提公因式，再套学过的平方差公式或完全平方公式，最后一定检查是否分解彻底． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型06 因式分解方法的综合应用】 核心技巧：严格遵循“一提二套三检查”的步骤，灵活结合提公因式法和公式法。先观察多项式是否有公因式，若有则优先提取，提取后再看剩余因式的项数和形式：二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。对于复杂多项式，可采用整体换元思想，将复杂部分看作一个整体，简化分解过程，多步分解后，务必检查每个因式是否分解彻底，有无公因式或可套用公式的情况。 【典例6】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）实数内因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式2】．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】．（21-22八年级下·甘肃酒泉·期中）将下列多项式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． 【题型07 利用因式分解进行简便计算】 核心技巧：观察算式的结构特征，优先通过因式分解简化运算，减少计算量、避免复杂运算。若算式中有相同因式或可提取公因式，先提取公因式，再进行计算；若算式符合平方差或完全平方公式，先套公式分解，再凑整、约分计算。对于大数运算，可通过因式分解将大数转化为小数的乘积，简化计算过程，同时注意运算顺序和符号，确保计算准确。 【典例7】．（25-26八年级上·山东东营·月考）(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 【变式1】．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算：________． 【答案】2022 【分析】根据有理数的乘法运算律计算，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：2022 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 【变式2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】．（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1； 【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案． （2）根据平方差公式即可求出答案． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 【点睛】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进行计算． 【题型08 利用因式分解求值】 核心技巧：先对所求代数式（或已知条件）进行因式分解，再结合已知条件代入求值，优先采用整体代入法，避免直接计算复杂数值。若代数式是分式，先对分子、分母分别因式分解，再约分简化，再代入求值；若已知条件是代数式的值（如a+b=5、ab=3），可将所求代数式分解为含已知条件的形式，再整体代入，简化计算，提高解题效率和准确性。 【典例8】．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】．（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式． 根据平方差公式解答即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． (1)已知，，求值． (2) 【答案】(1)15 (2)4049 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，正确因式分解是解答的关键． （1）先将原式化为，再整体代入求解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解： ． 【变式3】．（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， 由（1）得， ∴ ． 【题型09 利用因式分解判断三角形的形状】 核心技巧：先将题目给出的三角形三边关系、边长的代数式进行因式分解，再结合三角形边长为正数的特点，分析因式分解的结果。若分解后得到a=b、a=c或b=c，则三角形为等腰三角形；若得到a²+b²=c²，则三角形为直角三角形；若同时满足a=b且a²+b²=c²，则为等腰直角三角形。分解过程中注意符号处理，确保因式分解彻底，再根据结果判断三角形形状。 【典例9】．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·天津南开·期末）若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，，是三角形三边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即原代数式的值小于零， 故选：． 【变式2】．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． (1)求证：完全三角形是直角三角形； (2)在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是完全三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，因式分解的应用，利用完全平方公式计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理求解即可； （2）先由勾股定理得到，而，则，代入得到，整理并因式分解得到或（舍），再由勾股定理即可求求解． 【详解】（1）证明：由题意得，设， ∴， ∴， ∴完全三角形是直角三角形； （2）是完全三角形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 设 ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴是完全三角形， 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知三角形三边长为、、，且满足，，，试判断三角形的形状，并说明理由； (3)若．求b的取值范围． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，见解析 (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式法因式分解是解题的关键： （1）仿照题干方法，进行求解即可； （2）将三个等式相加后，转化为非负数的和为0的形式，求出的值，进行判断即可； （3）把作为一个先利用换元法并展开完全平方式进行计算，再利用因式分解法得到，进而得到或，推出或，即可． 【详解】（1）解：； 故的最小值为； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∵，满足三角形三边关系， ∴三边能构成三角形， ∴的形状为等腰三角形； （3）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 故． 【题型10 利用因式分解求最值】 核心技巧：将所求最值的代数式通过因式分解、配方，转化为完全平方形式（如(x±m)²+k），利用“平方数恒大于等于0”的性质求最值。若代数式可分解为含完全平方的形式，当完全平方项为0时，代数式取得最值（平方项前面为正，取最小值；前面为负，取最大值）。配方时注意常数项的调整，确保配方正确，分解彻底，再根据平方数的性质确定最值的大小和取得最值的条件。 【典例10】．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长均为正整数，且满足，求的最大边的边长可能是哪些值？ 【答案】(1)16 (2)可能是8，9，10，11，12，13 【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，构成三角形的条件，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）仿照题意可得，由非负数的性质求出x、y的值即可得到答案； （2）仿照题意可得，由非负数的性质可求出a、b的值，则由构成三角形的条件可求出c的取值范围，再结合边长为c的边为最大边，且c为正整数即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵边长为c的边为最大边，且c为正整数， ∴c的值可以为8，9，10，11，12，13． 【变式1】．（24-25八年级上·广东江门·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ∴当时，，有最小值0 ∴当时，，有最小值． 所以最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)多项式有最_______（填“大”或“小”）值，该值为_______． (2)已知，求的最值． (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)大；19 (2) (3)9 【分析】本题考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1） ∵ ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，19； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4，则的周长为 【变式2】．（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【答案】(1) (2) (3)，小， 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）结合材料，用换元法进行分解因式； （3）利用换元法把原式变形分解，由即可得解． 【详解】（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 故答案为：，小，． 【变式3】．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)大， 2 (3)①②当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用， （1）先提出4，再配方得出完全平方公式，然后根据平方差公式分解； （2）先提出，再配方，根据完全平方公式的非负性讨论最大值； （3）根据长方形的面积公式表示，再配方讨论极值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴， 所以M有最大值，为2； 故答案为：大，2； （3）解：①（平方米）． 故答案为：； ② ∵ ∴ ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 【题型11 因式分解在新定义问题中的应用】 核心技巧：首先认真阅读题目给出的新定义规则，明确新定义的含义和要求，理解新定义与因式分解的关联。然后根据新定义的规则，对题目中的多项式进行因式分解，分解过程中遵循提公因式、套公式的步骤，确保分解正确、彻底。最后将因式分解的结果代入新定义的关系式中，进行计算、判断或求解，注意贴合新定义的要求，避免偏离规则。 【典例11】．（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 【变式2】．（22-23八年级上·福建福州·期中）定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． (1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） (2)像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 【答案】(1)9，7（答案不唯一） (2)787与679或147与39 【分析】（1）根据数可以表示成（，为自然数）的形式，则称为“希尔伯特”数．得出；即可； （2）设第一个“希尔伯特”数为，第二个“希尔伯特”数为，两数作差求解即可． 【详解】（1）解：；；；； ∴9，7是“希尔伯特”数；（答案不唯一） （2）解：设第一个“希尔伯特”数为， 第二个“希尔伯特”数为， ∴ = ， ∵它们的差是108， ∴， ∴，即， ∵m，n为正整数， ∴或， 解得或， 当时， ∴， ， 当时， ∴， ， ∴这两个“希尔伯特”数分别为787与679或147与39． 【点睛】本题考查新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组，掌握新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组是解题关键． 【变式3】．（25-26八年级上·江西宜春·月考）定义：我们将边长为的正方形称为“完全方框”．若将“完全方框”分成四个小区域（如图1所示），四个小区域的面积分别为，四个小区域的面积之和称为“完全方框”的完全和，即完全和等于． 【定义理解】 （1）若，用含的代数式表示该“完全方框”的完全和． 【深入探究】 （2）图2是一个长方形，沿图中虚线分割成四个全等的小长方形，拼成如图3所示的“完全方框”，且该“完全方框”的“完全和”为． ①图2中大长方形的面积为___________，图3中阴影部分的面积为___________；（用含，的代数式表示） ②若，求图3中阴影部分的面积． 【问题解答】 （3）图4是一块多边形空地，某校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余两块三角形区域种草．已知正方形与正方形的边长分别为，面积分别为，并且三点在同一条直线上，若，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）①，；②13；（3） 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）把，代入，进行求解即可； （2）①根据“完全方框”的“完全和”为，得到完全方框的边长为，进而得到小长方形的两条邻边的长分别为，进而得到大长方形的两条邻边的长分别为，利用面积公式进行求解即可；用“完全和”减去4个小长方形的面积求出阴影部分的面积即可；②利用完全平方公式变形和整体代入法求出阴影部分的面积即可； （3）根据题意，得到，利用完全平方公式变形求出的值，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴完全方框的边长为， ∴小长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的面积为； 图3中阴影部分的面积为； ②∵， ∴ ； （3）由题意，， ∵， ∴， ∴； ∴种草区域的面积和. 【题型12 因式分解在阅读理解的应用】 核心技巧：先仔细阅读题目给出的阅读材料，读懂材料中介绍的因式分解方法（如特殊配方法、换元法、分组分解法等），掌握方法的步骤和要点。然后模仿材料中的方法，将题目中的目标多项式进行分解，迁移材料中的解题思路，注意步骤规范，与材料方法保持一致。最后根据题目要求，结合分解结果进行计算、求值或证明，确保方法迁移正确，分解彻底。 【典例12】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解，正确理解题干所给的方法是解答本题的关键． （1）参考题干提供的解题方法进行因式分解即可； （2）参考题干提供的解题方法将原式左边化为平方和，右边为零的形式，从而求出，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：方法（1） 方法（2） （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， 即， ∴ 【变式1】．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 【变式2】．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 【答案】(1) (2)； (3)7． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，即可求出的值； （2）将已知等式25分为，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出z的长； （3）由，得到，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出y与z的值，进而求出x的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∵三角形两边之和＞第三边 ∴ ∴ 又∵z是正整数， ∴的最大边z的值为4，5，6， ∴最大边的值为； （3） ∵，即， 代入得：， 整理得：， ∴，且，即， ∴， 则． 故答案为7． 【变式3】．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)等边三角形 【分析】本题考查了因式分解，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案； （2）先利用因式分解，得到，再根据平方的非负关系，得到，即可判断的形状． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：等边三角形，理由如下： ， ∴ ， ∴， ，， ，，， ∴， 的形状是等边三角形． 05 期中过关•检测 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 2．（25-26八年级下·重庆·月考）已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得的值可能是，，，再逐项判断即可求解 【详解】解：∵，，，，为正整数，为整数，且， ∴ ∴的值可能是，，， ∵，，为正整数， ∴若整式为单项式，只能是，其中， 此时，解得，不为整数，与条件矛盾，所以不存在满足条件的单项式，故①正确； 当时，整式为，由可得： 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个，其中能进行因式分解的有，，，，，共个，故②错误； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 若，则，此时无解， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个， 综上，所有满足条件的整式共有个，故③错误， ∴正确的个数有个． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 5．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 6．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 7．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 8．（25-26八年级下·云南昭通·月考）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】C 【分析】先由已知条件得出，再把变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 9．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】先将所求代数式进行因式分解，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式． 原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 15．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 16．（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和平方差公式，进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列计算： (1)先分解因式，再求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)，3 (2)150 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后，代入数据计算即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后整体代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：∵，， ∴ ． 18．（25-26八年级下·陕西西安·月考）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先对方程左边因式分解，再将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解； （2）先对不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解后得到原不等式的解集． 【详解】（1）解：因式分解得， ∵如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0， ∴或， 解得或． （2）解：， 因式分解得， 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可得或， 解不等式组，得， 解不等式组，得， 因此不等式的解集为或． 19．（25-26八年级下·山东济南·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 20．（25-26八年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（）根据完全平方公式的特征求解； （）先配方，再求最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式：， ∵，一次项系数的一半为，平方为， ∴． （2）解： 根据完全平方的非负性，对任意都有， ∴当时，原式有最小值， 即：的最小值为． 21．（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 22．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，对于，，得，故常数项为； （2）将凑成，再用平方差公式分解； （3）将凑成，结合即可得到的最大值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故添加一个常数为； （2）解： ； （3）解： ， ， ，， 即当时，取得最大值． 23．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 24．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 （期中复习讲义，全章12种题型） 【题型01 因式分解的意义】 4 【题型02 确定公因式】 4 【题型03 用提公因式法分解因式】 5 【题型04 用平方差法分解因式】 6 【题型05 用完全平方公式法分解因式】 6 【题型06 因式分解方法的综合应用】 7 【题型07 利用因式分解进行简便计算】 7 【题型08 利用因式分解求值】 8 【题型09 利用因式分解判断三角形的形状】 9 【题型10 利用因式分解求最值】 10 【题型11 因式分解在新定义问题中的应用】 12 【题型12 因式分解在阅读理解的应用】 13 1．考查分值：占期中试卷10%～15%，分值约8～12分，是代数运算的核心基础，属于必考点，难度中等偏易，得分率较高。 2．考查题型：覆盖选择题、填空题、解答题，其中选择题、填空题侧重基础（如确定公因式、判断因式分解是否正确），解答题侧重因式分解的实际应用（简便计算、求值等）。 3．核心考点：① 因式分解的意义及与整式乘法的区别；② 提公因式法分解因式；③ 平方差公式、完全平方公式的应用；④ 因式分解方法的综合运用；⑤ 因式分解在求值、判断三角形形状、最值等问题中的应用。 4．易错点：① 混淆因式分解与整式乘法，把整式乘法当成因式分解；② 提公因式不彻底，漏提系数的最大公约数或相同字母的最低次幂，甚至漏提“1”；③ 符号处理错误，首项为负时未提负号或提负号后括号内各项未变号；④ 公式识别错误，混淆平方差公式与完全平方公式，或不符合公式条件强行套用；⑤ 分解不彻底，未将因式分解到不能再分解的程度。 5．命题趋势：以基础题为主，占比70%，侧重考查提公因式法和公式法的直接应用；少量中档题结合分式、三角形、最值、新定义、阅读理解等内容，考查因式分解的综合应用，强调“先分解再运算”的数学思想，难度适中，注重基础运算能力的考查。03 期中知识•梳理 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点三、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点五、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点六、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点七、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点八：添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点九：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 04 期中题型•汇总 【题型01 因式分解的意义】 核心技巧：紧扣“多项式→几个整式的积”这一核心定义，判断变形是否为因式分解。首先排除非整式积的形式（如含分式、无理式的变形），排除整式乘法（积变和）的变形；其次检查结果是否符合要求，即每个因式均为整式，且分解到不能再分解。可通过整式乘法反向验算，若乘积等于原多项式，则分解正确，反之则错误。 【典例1】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【变式3】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若多项式可分解为，则的值为_______________． 【题型02 确定公因式】 核心技巧：按“三看”原则逐步确定，确保不遗漏、不找错。一看系数，取各项整数系数的最大公约数（若系数有负号，可先统一取正再找）；二看字母，找出各项都含有的相同字母，无相同字母则无字母公因式；三看指数，取相同字母的最低次幂。若多项式中含有整体因式（如x-y、2a+b），且各项都含该整体，则该整体也可作为公因式。 【典例2】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）因式分解多项式应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）多项式中，各项的公因式是______． 【题型03 用提公因式法分解因式】 核心技巧：优先提取公因式，遵循“一次提尽、项数不变”的原则。先根据“三看”找出公因式，再将每一项除以公因式，得到剩余因式，将多项式写成“公因式×剩余因式”的形式。注意首项系数为负时，先提取负号，括号内各项要变号；提取公因式后，剩余因式的项数与原多项式一致，最后一项提取后若为1，不能省略，避免出现漏项错误，提取后需检查是否分解彻底。 【典例3】．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）将多项式因式分解，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各式中，能用提公因式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25八年级上·广东中山·期中）下面运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型04 用平方差法分解因式】 核心技巧：先判断是否符合平方差公式的适用条件，即二项式、两项均为平方形式（可是单项式平方、整体平方）、两项符号相反。若有公因式，先提取公因式，再套用公式；若为整体平方，可将整体看作一个字母，灵活运用公式。分解后需检查剩余因式是否还能继续分解，确保分解彻底，同时注意符号规范，避免出现符号错误。 【典例4】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分解因式： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26八年级上·福建·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）因式分解： (1)； (2)； 【变式3】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）分解因式： (1)； (2)； 【题型05 用完全平方公式法分解因式】 核心技巧：先判断是否符合完全平方公式的适用条件，即三项式、首尾两项是平方形式且符号相同，中间项是首尾两项底数乘积的2倍。有公因式先提取公因式，再分析剩余三项是否符合公式；注意中间项的符号，中间项为正对应和的平方，中间项为负对应差的平方。若首尾两项不是最简平方形式，可先化简，再套用公式，分解后检查因式是否还能继续分解。 【典例5】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【变式1】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）因式分解：________． 【变式2】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26八年级上·海南海口·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型06 因式分解方法的综合应用】 核心技巧：严格遵循“一提二套三检查”的步骤，灵活结合提公因式法和公式法。先观察多项式是否有公因式，若有则优先提取，提取后再看剩余因式的项数和形式：二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。对于复杂多项式，可采用整体换元思想，将复杂部分看作一个整体，简化分解过程，多步分解后，务必检查每个因式是否分解彻底，有无公因式或可套用公式的情况。 【典例6】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）实数内因式分解： (1) (2) 【变式2】．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式3】．（21-22八年级下·甘肃酒泉·期中）将下列多项式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【题型07 利用因式分解进行简便计算】 核心技巧：观察算式的结构特征，优先通过因式分解简化运算，减少计算量、避免复杂运算。若算式中有相同因式或可提取公因式，先提取公因式，再进行计算；若算式符合平方差或完全平方公式，先套公式分解，再凑整、约分计算。对于大数运算，可通过因式分解将大数转化为小数的乘积，简化计算过程，同时注意运算顺序和符号，确保计算准确。 【典例7】．（25-26八年级上·山东东营·月考）(    ) A． B． C． D． 【变式1】．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算：________． 【变式2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【变式3】．（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【题型08 利用因式分解求值】 核心技巧：先对所求代数式（或已知条件）进行因式分解，再结合已知条件代入求值，优先采用整体代入法，避免直接计算复杂数值。若代数式是分式，先对分子、分母分别因式分解，再约分简化，再代入求值；若已知条件是代数式的值（如a+b=5、ab=3），可将所求代数式分解为含已知条件的形式，再整体代入，简化计算，提高解题效率和准确性。 【典例8】．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【变式1】．（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是________． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． (1)已知，，求值． (2) 【变式3】．（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【题型09 利用因式分解判断三角形的形状】 核心技巧：先将题目给出的三角形三边关系、边长的代数式进行因式分解，再结合三角形边长为正数的特点，分析因式分解的结果。若分解后得到a=b、a=c或b=c，则三角形为等腰三角形；若得到a²+b²=c²，则三角形为直角三角形；若同时满足a=b且a²+b²=c²，则为等腰直角三角形。分解过程中注意符号处理，确保因式分解彻底，再根据结果判断三角形形状。 【典例9】．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【变式1】．（25-26八年级上·天津南开·期末）若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 【变式2】．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． (1)求证：完全三角形是直角三角形； (2)在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知三角形三边长为、、，且满足，，，试判断三角形的形状，并说明理由； (3)若．求b的取值范围． 【题型10 利用因式分解求最值】 核心技巧：将所求最值的代数式通过因式分解、配方，转化为完全平方形式（如(x±m)²+k），利用“平方数恒大于等于0”的性质求最值。若代数式可分解为含完全平方的形式，当完全平方项为0时，代数式取得最值（平方项前面为正，取最小值；前面为负，取最大值）。配方时注意常数项的调整，确保配方正确，分解彻底，再根据平方数的性质确定最值的大小和取得最值的条件。 【典例10】．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长均为正整数，且满足，求的最大边的边长可能是哪些值？ 【变式1】．（24-25八年级上·广东江门·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ∴当时，，有最小值0 ∴当时，，有最小值． 所以最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)多项式有最_______（填“大”或“小”）值，该值为_______． (2)已知，求的最值． (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 【变式2】．（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【变式3】．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【题型11 因式分解在新定义问题中的应用】 核心技巧：首先认真阅读题目给出的新定义规则，明确新定义的含义和要求，理解新定义与因式分解的关联。然后根据新定义的规则，对题目中的多项式进行因式分解，分解过程中遵循提公因式、套公式的步骤，确保分解正确、彻底。最后将因式分解的结果代入新定义的关系式中，进行计算、判断或求解，注意贴合新定义的要求，避免偏离规则。 【典例11】．（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【变式2】．（22-23八年级上·福建福州·期中）定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． (1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） (2)像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 【变式3】．（25-26八年级上·江西宜春·月考）定义：我们将边长为的正方形称为“完全方框”．若将“完全方框”分成四个小区域（如图1所示），四个小区域的面积分别为，四个小区域的面积之和称为“完全方框”的完全和，即完全和等于． 【定义理解】 （1）若，用含的代数式表示该“完全方框”的完全和． 【深入探究】 （2）图2是一个长方形，沿图中虚线分割成四个全等的小长方形，拼成如图3所示的“完全方框”，且该“完全方框”的“完全和”为． ①图2中大长方形的面积为___________，图3中阴影部分的面积为___________；（用含，的代数式表示） ②若，求图3中阴影部分的面积． 【问题解答】 （3）图4是一块多边形空地，某校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余两块三角形区域种草．已知正方形与正方形的边长分别为，面积分别为，并且三点在同一条直线上，若，求种草区域的面积和． 【题型12 因式分解在阅读理解的应用】 核心技巧：先仔细阅读题目给出的阅读材料，读懂材料中介绍的因式分解方法（如特殊配方法、换元法、分组分解法等），掌握方法的步骤和要点。然后模仿材料中的方法，将题目中的目标多项式进行分解，迁移材料中的解题思路，注意步骤规范，与材料方法保持一致。最后根据题目要求，结合分解结果进行计算、求值或证明，确保方法迁移正确，分解彻底。 【典例12】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【变式1】．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【变式2】．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 【变式3】．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状． 05 期中过关•检测 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·月考）已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 8．（25-26八年级下·云南昭通·月考）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 9．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，则的值为_______ ． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 13．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 14．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 15．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 16．（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解 (1)； (2)． 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列计算： (1)先分解因式，再求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 18．（25-26八年级下·陕西西安·月考）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 19．（25-26八年级下·山东济南·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 20．（25-26八年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 21．（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 22．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 23．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 24．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $