第28章 微专题 12 圆与锐角三角函数的综合-【金牌导学案】2025-2026学年九年级全一册数学课时作业课件（人教版）

该初中数学课件聚焦圆与锐角三角函数的综合应用，涵盖圆的直径、切线、圆周角性质及锐角三角函数计算证明。通过A组基础题、B组中档题、C组提高题搭建学习支架，衔接三角函数定义与圆的性质，引导学生逐步掌握综合应用。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，如A组网格图题培养几何直观，B组切线证明题发展推理能力，C组综合题强化模型意识。采用递进式训练，学生能提升运算与推理能力，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

 第二十八章　 金牌导学案 锐角三角函数 1 A组 2 B组 金牌导学案 金牌导学案 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 3 C组 1. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，☉ O 半径为1，圆心 O 在格 点上，则tan∠ AED 的值为 ⁠. 第1题图 　 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 A组 2. 如图， AB 是☉ O 的直径，弦 CD ⊥ AB ， AC ＝2， BC ＝1，那么 cos ∠ ABD 的值是 ⁠. 第2题图 　 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 A组 3. 如图，△ ABC 内接于☉ O ， AC ＝6， sin B ＝ ，则☉ O 的半径为 ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 A组 (1)证明：连接 OD ， ∵ OA ＝ OD ，∴∠ OAD ＝∠ ODA ， ∵ AB ＝ BC ，∴∠ OAD ＝∠ C ， ∴∠ C ＝∠ ODA ，∴ OD ∥ BC ，又 DE ⊥ BC ， ∴∠ ODE ＝∠ DEC ＝90°，∴ DE 是☉ O 的切线； 4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ，以 AB 为直径的☉ O 交 AC 于点 D ，过 点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E . (1)求证： DE 是☉ O 的切线； 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 A组 (2)若☉ O 的半径为5， cos A ＝ ，求 AC 的长. (2)解：连接 BD ，∵ AB 是☉ O 的直径， ∴ BD ⊥ AD ，在Rt△ ABD 中， cos A ＝ ， ∴ AD ＝ AB · cos A ＝8， ∵ AB ＝ BC ，∴ AC ＝2 AD ＝16.　 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 A组 5. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径 的☉ O 与边 AC 相切于点 E ，与边 BC 交于点 F ，过点 E 作 EH ⊥ AB 于点 H ，连接 BE (1)求证： EH ＝ EC ； (1)证明：连接 OE ， AC 与☉ O 相切， ∴ OE ⊥ AC ，且 BC ⊥ AC ，∴ OE ∥ BC ， ∴∠ CBE ＝∠ OEB ，∵ EO ＝ OB ， ∴∠ EBO ＝∠ OEB ，∴∠ CBE ＝∠ EBO ， 又 CE ⊥ BC ， EH ⊥ AB ，∴ CE ＝ EH ； 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 B组 (2)若 AB ＝4， sin A ＝ ，求 AD 的长. (2)解：∵ sin A ＝ ＝ ， ∴设 OE ＝2 a ， AO ＝3 a ，∴ OB ＝2 a ， ∵ AB ＝ AO ＋ OB ＝3 a ＋2 a ＝4，∴ a ＝ ， ∵ AD ＝ AB － BD ＝4－4 a ，∴ AD ＝ .　 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 B组 6. 如图， BD 是☉ O 的直径， AB 与☉ O 相切于点 B ，过点 D 作 CD ∥ AO 交☉ O 于点 C ， AC 与 BD 的延长线相交于点 E . (1)求证： AE 是☉ O 的切线； 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 C组 (1)证明：连接 OC . ∵ AB 是☉ O 的切线，∴∠ OBA ＝90°， ∵ CD ∥ OA ， ∴∠ ODC ＝∠ AOB ，∠ OCD ＝∠ AOC ， ∵ OC ＝ OD ，∴∠ OCD ＝∠ ODC ，∴∠ AOC ＝∠ AOB ， 又 OC ＝ OB ， OA ＝ OA ，∴△ AOC ≌△ AOB ， ∴∠ OCA ＝∠ OBA ＝90°，∴ OC ⊥ AE ， ∴ AE 为☉ O 的切线； 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 C组 (2)求证： BD2＝2 CD · OA ； (2)证明：连接 BC ，∵ BD 是☉ O 的直径， ∴∠ BCD ＝∠ ABO ＝90°， 又∵∠ BDC ＝∠ AOB ，∴△ AOB ∽△ BDC ， ∴ ＝ ，∴ OB · DB ＝ CD · OA ， 又 OB ＝ BD ，∴ BD2＝2 CD · OA ； 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 C组 (3)若 CE ＝4， DE ＝2，求tan∠ ECD . (3)解：由(1)得 OC ⊥ CE ， ∴∠ ECD ＋∠ OCD ＝90°，又∠ OCB ＋∠ OCD ＝ 90°，∴∠ ECD ＝∠ OCB ，∵ OC ＝ OB ， ∴∠ OBC ＝∠ OCB ，∴∠ ECD ＝∠ OBC ， 又∠ E ＝∠ E ，∴△ ECD ∽△ EBC ，∴ ＝ ＝ ，∴Rt△ BCD 中，tan∠ DBC ＝ ＝ ，∵∠ ECD ＝∠ DBC ，∴tan∠ ECD ＝ .　 1 2 3 4 5 6 微专题 12　圆与锐角三角函数的综合 C组 感谢聆听 $