专题 07 列方程解和差倍问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

专题 07 列方程解和差倍问题（讲义）-2026 年小升初数学复习讲练测人教版 目录 · 考点一 列方程解和倍问题（基础送分题）-------------------------------------1 · 考点二 列方程解差倍问题（小升初必考点）----------------------------------2 · 考点三 列方程解和差问题（核心重点）----------------------------------------3 · 考点四 列方程解复杂和差倍问题（高频应用题）----------------------------4 · 考点五 和差倍问题易错辨析及综合练习----------------------------------------5 · 参考答案--------------------------------------------------------------------------------6 考点一 列方程解和倍问题（基础送分题） 知识点梳理 本考点为小升初基础送分题，核心考查利用方程解决“和倍问题”，要求理解和倍问题的核心特征，掌握设未知数、列方程、解方程的完整步骤，题型以填空、解答题为主，难度较低。重点是找准”1 倍量”，明确两个量之间的倍数关系，建立等量关系式。 核心定义：已知两个数的和，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的问题，叫做和倍问题。 关键步骤（必掌握）： 找”1 倍量”：通常把较小的数看作”1 倍量”（设为未知数 ），较大的数就是“几倍量”（用含 的式子表示，如 、）； 找等量关系：核心等量关系为”1 倍量 + 几倍量 = 两个数的和”； 列方程、解方程：根据等量关系列出方程，求解后验证结果是否符合题意； 写答语：明确写出两个数的具体数值，确保答语完整。 常用等量关系式：设较小数为 ，较大数为 （ 为倍数），则 （解方程的核心推导）。 易错提醒 误将较大数设为 ，导致后续计算繁琐，容易出现计算错误；混淆“倍数关系”，如将“甲数是乙数的 3 倍”误写成 ；解方程后忘记验证，导致结果与“和”或“倍数关系”不符；答语不完整，只求出一个数，遗漏另一个数。 典型例题 1. 填空题： （1）甲数和乙数的和是 96，甲数是乙数的 3 倍，设乙数为 ，则甲数为（___），列方程为（___），解得乙数是（___），甲数是（___）。 （2）一个数的 4 倍与它本身的和是 75，设这个数为 ，列方程为（___），解得 （___）。 1. 解答题：学校图书馆有故事书和科技书共 120 本，故事书的本数是科技书的 2 倍，故事书和科技书各有多少本？（用方程解答，写出完整步骤） 1. 解答题：果园里苹果树和梨树的总棵数是 180 棵，苹果树的棵数是梨树的 5 倍，两种树各有多少棵？（用方程解答，验证结果是否正确） 基础练习 1. 填空： （1）甲数是乙数的 4 倍，甲数和乙数的和是 60，设乙数为 ，方程为（___），（___）。 （2）一个数与它的 2 倍的和是 45，这个数是（___）。 （3）甲、乙两个数的和是 84，甲是乙的 6 倍，甲数是（___），乙数是（___）。 1. 解答题（用方程解答）： （1）文具店有钢笔和圆珠笔共 90 支，钢笔的支数是圆珠笔的 5 倍，钢笔和圆珠笔各有多少支？ （2）一个长方形的周长是 48 厘米，长是宽的 3 倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（提示：） 考点二 列方程解差倍问题（小升初必考点） 知识点梳理 本考点是小升初数学必考点，核心考查利用方程解决“差倍问题”，与和倍问题解题思路相通，但重点在于找准“差”与“倍数”的关系，要求能准确提炼等量关系式，规范完成解方程步骤，题型以解答题为主，难度中等。核心是明确“差”与“倍数差”的对应关系。 核心定义：已知两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的问题，叫做差倍问题。 关键步骤（必掌握）： 找”1 倍量”：同和倍问题，通常把较小的数看作”1 倍量”（设为 ），较大的数为“几倍量”（）； 找等量关系：核心等量关系为“几倍量 - 1 倍量 = 两个数的差”（即 ）； 列方程、解方程：根据等量关系列方程，求解后验证结果，确保差和倍数关系均符合题意； 写答语：完整写出两个数的数值，避免遗漏。 常用等量关系式：设较小数为 ，较大数为 （ 为倍数，），则 。 易错提醒 混淆“和倍”与“差倍”的等量关系，误将“差”用“和”的关系式计算；倍数关系判断错误，如将“甲数比乙数多 3 倍”误理解为“甲数是乙数的 3 倍”（实际甲数是乙数的 4 倍）；解方程时，忽略”“的化简（如 ，而非 ）；验证时，只检查倍数关系，忽略差是否符合题目条件。 典型例题 1. 填空题： （1）甲数比乙数多 60，甲数是乙数的 4 倍，设乙数为 ，甲数为（___），列方程为（___），解得 （___），甲数是（___）。 （2）一个数的 5 倍比它本身多 48，设这个数为 ，方程为（___），解得 （___）。 1. 解答题：小明的零花钱比小红多 36 元，小明的零花钱是小红的 4 倍，小明和小红各有多少零花钱？（用方程解答，写出完整步骤） 1. 解答题：一个书架上，上层书的本数比下层多 72 本，上层书的本数是下层的 3 倍，上、下层各有多少本书？（用方程解答，验证结果） 基础练习 1. 填空： （1）乙数是 ，甲数是乙数的 5 倍，甲数比乙数多 80，方程为（___），（___）。 （2）一个数的 3 倍比它的 2 倍多 25，这个数是（___）。 （3）甲、乙两数的差是 45，甲是乙的 6 倍，甲数是（___），乙数是（___）。 1. 解答题（用方程解答）： （1）果园里梨树比苹果树少 48 棵，苹果树的棵数是梨树的 5 倍，苹果树和梨树各有多少棵？ （2）一支钢笔的价格比一支圆珠笔贵 18 元，钢笔的价格是圆珠笔的 7 倍，钢笔和圆珠笔的价格各是多少元？ 考点三 列方程解和差问题（核心重点） 知识点梳理 本考点是小升初核心重点，核心考查利用方程解决“和差问题”，重点在于根据两个数的“和”与“差”，合理设未知数，建立等量关系式，题型以解答题、应用题为主，难度中等。核心是掌握“和差问题”的两种设未知数方法，灵活适配不同题目。 核心定义：已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数分别是多少的问题，叫做和差问题。 关键步骤（必掌握）： 设未知数（两种方法，任选其一）： · 方法一：设较小数为 ，则较大数为 （根据“较大数 - 较小数 = 差”推导）； · 方法二：设较大数为 ，则较小数为 ； 找等量关系：核心等量关系为“较大数 + 较小数 = 两个数的和”； 列方程、解方程：根据设未知数的方法，代入等量关系列方程，求解后验证和与差是否符合题意； 写答语：完整写出两个数的数值，确保与题目条件一致。 常用等量关系式： 方法一（设较小数为 ）：； 方法二（设较大数为 ）：。 易错提醒 设未知数时，混淆“较大数”和“较小数”，导致等量关系错误（如设较小数为 ，却将较大数写成 ）；列方程时，忘记括号，如将 误写成 （虽结果一致，但规范格式需加括号）；解方程时，移项错误（如 ，误将 30 移项后仍为加 30）；验证时，只检查“和”，忽略“差”是否符合题目要求。 典型例题 1. 填空题： （1）甲、乙两数的和是 88，差是 12，设较小数为 ，较大数为（___），列方程为（___），解得 （___），较大数是（___）。 （2）两个数的和是 65，差是 15，这两个数分别是（___）和（___）。 1. 解答题：小红和小明的体重和是 78 千克，小明比小红重 4 千克，小红和小明的体重各是多少千克？（用方程解答，两种方法任选其一） 1. 解答题：一个长方形的长和宽的和是 32 厘米，长比宽多 6 厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（用方程解答，验证结果） 基础练习 1. 填空： （1）设较大数为 ，较小数为 ，两数的和是 90，方程为（___），（___），较小数是（___）。 （2）两个数的和是 100，差是 22，较小数是（___），较大数是（___）。 （3）甲、乙两数的和是 72，甲比乙少 8，甲数是（___），乙数是（___）。 1. 解答题（用方程解答）： （1）学校买了足球和篮球共 46 个，足球比篮球多 8 个，足球和篮球各买了多少个？ （2）两筐苹果共重 92 千克，第一筐比第二筐重 6 千克，两筐苹果各重多少千克？ 考点四 列方程解复杂和差倍问题（高频应用题） 知识点梳理 本考点是小升初高频应用题考点，核心考查利用方程解决含有“隐藏和、隐藏差、多倍多几、多倍少几”的复杂和差倍问题，要求能从题目中提炼隐藏条件，灵活设未知数，建立正确的等量关系式，题型以综合解答题、应用题为主，难度中等偏上。重点是突破“隐藏条件”和“多倍多几、多倍少几”的难点。 常见复杂类型及解题要点： 类型一：隐藏和/隐藏差（核心：先找出隐藏的和或差）； 例：甲给乙 5 个物品后，两人物品数量相等，隐藏差为 （甲比乙多 10 个）； 例：甲、乙两人共有物品若干，甲拿走 10 个后，两人数量和为 40，隐藏和为 。 类型二：多倍多几（如“甲数是乙数的 3 倍多 5”）； 设乙数为 ，甲数为 （注意：“多几”需加，“少几”需减）； 等量关系：根据“和”或“差”列出方程，如 ，或 。 类型三：多倍少几（如“甲数是乙数的 4 倍少 6”）； 设乙数为 ，甲数为 ； 注意：解方程时，需先处理“少几”的部分，避免移项错误。 核心解题思路：先通读题目，找出“和、差、倍数”中的已知条件和隐藏条件，确定”1 倍量”，设未知数，将复杂关系转化为含 的式子，再根据等量关系列方程、解方程，最后验证所有条件是否满足。 易错提醒 找不到隐藏的和或差，如甲给乙若干物品后两人相等，误将“给的数量”当作“差”；处理“多倍多几、多倍少几”时，符号错误（如”3 倍少 4”误写成 ）；设未知数时，未找准”1 倍量”，导致后续关系式混乱；忽略题目中的多个条件，只结合一个条件列方程，导致结果不符合题意。 典型例题 1. 解答题：甲、乙两个仓库共存粮 320 吨，甲仓库的存粮是乙仓库的 3 倍少 40 吨，甲、乙两个仓库各存粮多少吨？（用方程解答） 1. 解答题：小明有画片若干张，小红的画片比小明的 2 倍多 8 张，两人画片总数是 98 张，小明和小红各有多少张画片？（用方程解答） 1. 解答题：甲、乙两人的零花钱相差 24 元，甲的零花钱是乙的 3 倍少 6 元，甲、乙两人各有多少零花钱？（用方程解答） 1. 解答题：一个书架，上层书的本数比下层多 50 本，若从上层拿走 10 本，上层书的本数就是下层的 2 倍，上、下层原来各有多少本书？（提示：隐藏差为 本） 基础练习 1. 解答题（用方程解答）： （1）果园里苹果树和梨树共 280 棵，苹果树的棵数是梨树的 2 倍少 20 棵，两种树各有多少棵？ （2）甲、乙两数的差是 30，甲数是乙数的 4 倍少 3，甲、乙两数各是多少？ 1. 解答题（用方程解答）： （1）小红有邮票比小明少 15 张，小明的邮票张数是小红的 2 倍少 5 张，小红和小明各有多少张邮票？ （2）两筐橘子共重 86 千克，第一筐橘子的重量比第二筐的 2 倍少 4 千克，两筐橘子各重多少千克？ 考点五 和差倍问题易错辨析及综合练习 知识点梳理 本考点是对前面四个考点的综合梳理，重点针对小升初和差倍问题的高频易错点，帮助学生明确错误类型、掌握纠错方法，能灵活运用方程解决各类和差倍综合题型，避免基础扣分，题型以辨析题、综合解答题为主，难度中等偏上。 高频易错点辨析（重点扣分点）： 20. 未知数设错：未找准”1 倍量”，或混淆“较大数”“较小数”的表示方法； 20. 等量关系错误：混淆和倍、差倍、和差的等量关系，如将差倍问题用和倍关系式计算； 20. 符号错误：处理“多倍多几、多倍少几”时，加、减符号颠倒； 20. 隐藏条件遗漏：未找出题目中的隐藏和、隐藏差，导致方程列错； 20. 解方程错误：移项、化简失误（如 ， 误解得 ）； 20. 验证缺失：解方程后未验证结果是否符合“和、差、倍数”所有条件。 纠错与综合技巧： 牢记核心：无论哪种和差倍问题，先找”1 倍量”，再找“和、差、倍数”关系，最后列方程； 标注条件：读题时，用横线标出已知的和、差、倍数，圈出隐藏条件（如“给、拿、多、少”）； 规范步骤：设未知数→列等量关系→列方程→解方程→验证→写答语，一步不遗漏； 灵活适配：遇到“多倍多几、多倍少几”，先将“多几、少几”转化为“正好倍数”，再列方程（如 ，可先转化为 ）。 典型例题 1. 找出下列解题过程中的错误，说明错误原因，并改正。 （1）题目：甲、乙两数的和是 70，甲数是乙数的 4 倍，求甲、乙两数各是多少？ 错误解答：设甲数为 ，则乙数为 。列方程：。答：甲数是 14，乙数是 56。 错误原因：____________________ 改正：____________________ · （2）题目：甲数比乙数多 40，甲数是乙数的 3 倍少 10，求甲、乙两数各是多少？ 错误解答：设乙数为 ，则甲数为 。列方程：。答：甲数是 55，乙数是 15。 错误原因：____________________ 改正：____________________ 1. 选择题：下列方程列得正确的是（ ）。 A. 甲数是乙数的 2 倍多 5，两数和是 65，设乙数为 ，方程： B. 甲数比乙数少 30，甲数是乙数的 3 倍，设乙数为 ，方程： C. 甲、乙两数和是 80，差是 20，设较小数为 ，方程： D. 甲数是乙数的 4 倍少 6，两数差是 30，设乙数为 ，方程： 1. 综合解答题（用方程解答）： （1）学校买来足球、篮球和排球共 150 个，足球的个数是篮球的 2 倍，排球的个数是篮球的 3 倍少 30 个，三种球各买了多少个？ （2）甲、乙两人共有存款 2400 元，甲的存款比乙的 2 倍多 300 元，若甲取出 150 元，乙存入 150 元，两人存款相等吗？请用方程验证。 （3）一个长方形的周长是 60 厘米，长是宽的 2 倍少 3 厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？（提示：先求长和宽，再求面积） 基础练习 1. 判断下列方程是否正确，错误的说明原因并改正。 （1）题目：两数和是 90，甲数是乙数的 5 倍，设乙数为 ，方程：（ ） 错误原因：____________________ 改正：____________________ · （2）题目：甲数比乙数多 50，甲数是乙数的 6 倍少 10，设乙数为 ，方程：（ ） 错误原因：____________________ 改正：____________________ 1. 综合解答题（用方程解答）： （1）果园里桃树、梨树和苹果树共 210 棵，桃树的棵数是梨树的 2 倍，苹果树的棵数是梨树的 3 倍，三种树各有多少棵？ （2）小红和小明共有漫画书 86 本，小红的漫画书比小明的 3 倍少 10 本，小红和小明各有多少本漫画书？ （3）甲、乙两桶油共重 100 千克，从甲桶倒出 10 千克油后，甲桶油的重量是乙桶的 2 倍，甲、乙两桶原来各有多少千克油？ 参考答案 考点一 列方程解和倍问题（基础送分题） 典型例题： 25. （1）；；24；72；（2）；15 25. 科技书 40 本，故事书 80 本 25. 梨树 30 棵，苹果树 150 棵 基础练习： 25. （1）；12；（2）15；（3）72；12 25. （1）圆珠笔 15 支，钢笔 75 支；（2）宽 6 厘米，长 18 厘米 考点二 列方程解差倍问题（小升初必考点） 典型例题： 25. （1）；；20；80；（2）；12 25. 小红 12 元，小明 48 元 25. 下层 36 本，上层 108 本 基础练习： 25. （1）；20；（2）25；（3）54；9 25. （1）梨树 12 棵，苹果树 60 棵；（2）圆珠笔 3 元，钢笔 21 元 考点三 列方程解和差问题（核心重点） 典型例题： 25. （1）；；38；50；（2）25；40 25. 小红 37 千克，小明 41 千克 25. 宽 13 厘米，长 19 厘米 基础练习： 25. （1）；55；35；（2）39；61；（3）32；40 25. （1）篮球 19 个，足球 27 个；（2）第二筐 43 千克，第一筐 49 千克 考点四 列方程解复杂和差倍问题（高频应用题） 典型例题： 25. 乙仓库 90 吨，甲仓库 230 吨 25. 小明 30 张，小红 68 张 25. 乙 15 元，甲 39 元 25. 下层 40 本，上层 90 本 基础练习： 25. （1）梨树 100棵，苹果树 180棵；（2）乙 11，甲 41 25. （1）小红 20 张，小明 35 张；（2）第二筐 30 千克，第一筐 56 千克 考点五 和差倍问题易错辨析及综合练习 典型例题： 25. （1）错误原因：设错未知数，应将较小数（乙数）设为 ，甲数为 ；改正：设乙数为 ，甲数为 ，方程 ，解得 ，甲数 56，乙数 14。 （2）错误原因：“3 倍少 10”误写成”3 倍多 10”；改正：设乙数为 ，甲数为 ，方程 ，解得 ，甲数 65，乙数 25。 25. C 25. （1）篮球 30 个，足球 60 个，排球 60 个；（2）不相等，验证略；（3）209 平方厘米 基础练习： 25. （1）×，错误原因：混淆和倍与差倍等量关系，应为 ；（2）√ 25. （1）梨树 35 棵，桃树 70 棵，苹果树 105 棵；（2）小明 24 本，小红 62 本；（3）乙 30 千克，甲 70 千克 2 学科网（北京）股份有限公司 $