精品解析：山东烟台市2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 九年级数学

2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 若一个数的倒数是﹣2，则这个数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若移走一个有编号的小正方体，几何体的左视图不发生变化，则移走的小正方体编号是（ ） A. ④ B. ③ C. ② D. ① 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 文化和旅游部数据中心测算显示，2026年春节假期全国国内出游5.96亿人次，国内出游总花费8034.83亿元．将8034.83亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 若，则的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3 8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共 丈（ 丈 尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售 尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有 尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知四边形 为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段 运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则 的值是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；若，则．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是________． 12. 如图所示的运算程序中，若开始输入 的值是 ，第 次输出的结果是，第 次输出的结果是 ，依次继续下去，第次输出的结果是________． 13. 如图，反比例函数的图象过的斜边中点 ，交直角边 于点 ，若的面积是 ，则 的值是______． 14. 如图，四边形 是边长为 的菱形，对角线 和 的长度分别是关于 的一元二次方程的两个实数根， 于点 ，则的长度是________． 15. 如图， ， 与 相切于点 ，与分别交于点，与的延长线交于点 ，连接，延长交 于点 ，若 的半径为 ，，则图中阴影部分的面积为________． 16. 在如图所示的三角形纸片中，，，．将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕 ；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边 交于点H，当直线经过点B时， 的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图， 为边 上一点． （1）在图 中，用尺规作 ，使 与的边 相切于点 ，且与边 也相切；（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明在图 中进行尺规作图，请根据作图痕迹说明． 19. DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成如下四组： A： ，B： ，C： ，D： ． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 20. 如图是某商场的自动扶梯，其中 为从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点 处时，测得天花板上日光灯 的仰角为，此时他的眼睛 与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端 后又沿（）向正前方走了，发现日光灯 刚好在他的正上方，已知自动扶梯 的坡度为， 的长度是． （1）求图中 到一楼地面的高度； （2）求日光灯 到一楼地面的高度．（ ，结果精确到） 21. 政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 22. 如图， 与 轴交于点和点，与 轴交于 ，点 的纵坐标为 ． （1）求 的半径； （2）若 于 ，交 轴于 ，求证：； （3）在（2）的条件下求的长． 23. 中，，，将 绕点 按逆时针方向旋转得到，点 的对应点是点 ，连接 、． （1）如图1，求的值； （2）如图2，当点 恰好落在 的中线的延长线上时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，求 的长． 24. 如图1，已知抛物线的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）如图2，连接 ， 为线段 下方抛物线上的一个动点，过点 作轴交 于点M，作轴交 于点 ，求的边上的高的最大值； （3）如图3，连接 、 ，在抛物线上是否存在一点 ，使得，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 若一个数的倒数是﹣2，则这个数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出这个数，再求这个数的相反数即可． 【详解】解：一个数的倒数是﹣2，则这个数为， 所以这个数的相反数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，0的相反数是0；乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 2. 如图，是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若移走一个有编号的小正方体，几何体的左视图不发生变化，则移走的小正方体编号是（ ） A. ④ B. ③ C. ② D. ① 【答案】B 【解析】 【分析】左视图是从几何体的左侧向右侧观察所得的投影，其列数对应几何体的排数（前后方向），每列的高度取决于该排中最高的正方体层数，解题时需分析移走编号正方体后，各排最高层数是否发生变化． 【详解】解：由图可知，该几何体共有前、中、后三排，左、中、右三列，上、中、下三层． 左视图是从左侧看到的图像， 因为③号正方体左侧还有其他正方体， 则只有③号正方体移走后左视图不发生变化． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则，逐个计算判断即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、与的指数不同，不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意． 4. 文化和旅游部数据中心测算显示，2026年春节假期全国国内出游5.96亿人次，国内出游总花费8034.83亿元．将8034.83亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿． 5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC=∠CBF， ∴∠C=∠ABC， ∴AB=AC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确， 在△CDE与△DBF中， ， ∴△CDE≌△DBF， ∴DE=DF，CE=BF，故①正确； ∵AE=2BF， ∴AC=3BF，故④正确． 故选A． 6. 若，则的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可确定 的值，然后将 的值代入已知式子中，即可确定 的值，代入到所求代数式中，根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，，， ，， ， ，即， ， ． 7. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差公式得出各数据以及各数据出现的次数，然后根据平均数、众数、中位数、方差的定义依次计算判断即可． 【详解】解：根据方差公式可得，这组数据中， 出现 次，出现 次， 出现 次， 出现 次，出现次数最多， 众数是，故B正确，不符合题意； 按从小到大的顺序排列为：6，6，6，6，8，9，9，10，10，10， 中位数是，故C错误，符合题意； 总样本容量为， 平均数为，故A正确，不符合题意； 方差 ，故D正确，不符合题意． 8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共 丈（ 丈 尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售 尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有 尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售 尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设绫布有 尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又 绫布和罗布各出售 尺共收入文， 可列方程． 9. 已知四边形 为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段 运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则 的值是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】当点Q运动到点D处时，如图，作，求解，，可得此时，可得，当点P运动到点C处时，点Q在 上，如图，可得，可得，作的延长线于M，可得此时，，从而可得答案． 【详解】解：当点Q运动到点D处时，如图，作， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴此时， ∴， 当点P运动到点C处时，点Q在 上，如图， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 作的延长线于M， ∵ ， ∴， ∴， ∴此时， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；若，则．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与 轴交点位置确定 、 、的符号及相互关系，再结合特殊点的函数值及不等式性质逐一判断． 【详解】解： 抛物线开口向上，  ，  抛物线与 轴交于正半轴，  ，  对称轴，  ，  ，故正确；  对称轴，，  ，  ，故正确；  ，，，  ，， 当 时，，且，  ，即，  ， 即，故正确；  对称轴，  ，  ，  ， ，  ，故错误． 综上所述，正确的结论只有，共 个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】a≥1 【解析】 【详解】不等式组变形为 由不等式组无解，则a≥1. 故答案为a≥1. 点睛：不等式组无解，即x>a与x<b无交集，在数轴上即画出的两弧无交集，可知数轴上a点在b点右边或重合.则a≥b. 12. 如图所示的运算程序中，若开始输入 的值是 ，第 次输出的结果是，第 次输出的结果是 ，依次继续下去，第次输出的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得前几次输出的结果，发现规律为从第 次开始， ， ， ，每次 个数循环， 进而根据规律求解即可． 【详解】解：当开始输入 的值是 时， 根据运算程序可知，第 次输出的结果是， 第 次输出的结果是 ， 第 次输出的结果是 ， 第 次输出的结果是 ， 第 次输出的结果是 ， 第次输出的结果是 ， 发现规律：从第 次开始， ， ， ，每次 个数循环， ， 第次输出的结果与第 次输出的结果一样，是 ． 13. 如图，反比例函数的图象过的斜边中点 ，交直角边 于点 ，若的面积是 ，则 的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】过 点作 轴的垂线交 轴于 点，可得到的面积和四边形的面积相等，通过面积转化，可求出 的值． 【详解】过 点作 轴的垂线交 轴于 点， ∵的面积和的面积相等． ∴的面积和四边形的面积相等且为 ． 设 点的横坐标为 ，纵坐标就为， ∵ 为 的中点． ∴， ∴四边形的面积可表示为：， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 14. 如图，四边形 是边长为 的菱形，对角线 和 的长度分别是关于 的一元二次方程的两个实数根， 于点 ，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，，再根据完全平方公式的变形求出 的值，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可． 【详解】解： 四边形 是边长为 的菱形， ，，，， ， ， 对角线 和 的长度分别是关于 的一元二次方程的两个实数根， ，， ，， ， ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， ， ，即， ． 15. 如图， ， 与 相切于点 ，与分别交于点，与的延长线交于点 ，连接，延长交 于点 ，若 的半径为 ，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用切线性质和等腰三角形性质，结合全等三角形证明相关角为直角，设未知数用勾股定理列方程求出线段长度，得到的长；再通过三角函数求出角度，证明为等边三角形，分别计算和扇形的面积，最后将阴影部分面积转化为，计算得出结果． 【详解】解：连接 ，作，垂足为 ， ∵ 与 相切于点 ， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， 在中，， 在中，， ∵ 在 上， 为圆心， ∴ ， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ， 在中，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ， ． 16. 在如图所示的三角形纸片 中，，，．将三角形纸片 进行以下操作：折叠三角形纸片 使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕 ；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边 交于点H，当直线经过点B时， 的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明 是  的中位线 ，求出，，及，再证明，得出，，设 ，则 ，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， 垂直平分 ，  ∴， ，  ∵，即，  ∴ ， ∵E 是  的中点 ， ∴， ∴D是  的中点， ∴ 是  的中位线 ， ∴，， 在 中， ， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∴，， ∵ 直线经过点 B ， ∴，  在 中，， ∵，， ，  ∴ ， ∴， ∴， 设 ，则 ， 在 中，， ∴，  解得：， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则化简原式，再根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则求出 的值，代入化简结果计算即可得到最终值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 18. 如图， 为 边 上一点． （1）在图 中，用尺规作 ，使 与 的边 相切于点 ，且与边 也相切；（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明在图 中进行尺规作图，请根据作图痕迹说明． 【答案】（1）作图见解析 （2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）作 平分 ，过点 作交 于点 ，以点 为圆心， 为半径作 即可； （2）根据作图知， 为 的直径，继而得到，根据等角的余角相等可得结论． 【小问1详解】 解：如图，作 平分 ，过点 作交 于点 ，以点 为圆心， 为半径作 ，过点 作于点 ， ∵于点 ，且 为 的半径， ∴ 切 于点 ， ∵ 平分 ，，， ∴， ∴点 到 的距离为 ，即为 的半径， ∴ 为 的切线， 则 即为所作； 【小问2详解】 解：由作图知：， 的垂直平分线交 于点 ， 的半径是 ， ∴， 为 的直径， ∴， ∴， ∴． 19. DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成如下四组： A： ，B： ，C： ，D： ． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】 （1）50，83.5 ， （2）补全频数分布直方图如下： （3）估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人 （4） 【解析】 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （2）根据（1）所得B组学生人数补全频数分布直方图即可； （3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （4）画出树状图，根据树状图解答即可． 【详解】（1）， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为25第和第26个数据的平均数， ∴中位数分， C组对应圆心角的度数为， 故答案为：50，83.5，； （2）略 （3）， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人． （4）画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 【点睛】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 20. 如图是某商场的自动扶梯，其中 为从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点 处时，测得天花板上日光灯 的仰角为 ，此时他的眼睛 与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端 后又沿（）向正前方走了，发现日光灯 刚好在他的正上方，已知自动扶梯 的坡度为， 的长度是． （1）求图中 到一楼地面的高度； （2）求日光灯 到一楼地面的高度．（ ，结果精确到） 【答案】（1） 到一楼地面的高度为 （2）日光灯 到一楼地面的高度为 【解析】 【分析】（1）过点 作于，设，然后在中，根据坡度的概念结合勾股定理列方程求解； （2）过点 作于 ，交于 ，过点 作于 ，交于，由题意可得，四边形、是矩形，，然后在中，利用锐角三角函数解直角三角形． 【小问1详解】 解：过点 作于， 设， ∵ 的坡度为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即，   解得 ，即． 答： 到一楼地面的高度为． 【小问2详解】 解：如图，过点 作于 ，交于 ，过点 作于 ，交于， 则，四边形、是矩形，， ∴，，，     由（1）知， ∴， ∴，    在中，， ∴， ∴． 答：日光灯 到一楼地面的高度为． 21. 政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 【答案】（1）甲、乙工程队各需要6天，12天 （2）乙至少施工4天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程即可解答； （2）设乙工程队施工a天，则甲需施工天，由题意得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程得： 解得： 经检验是原方程的解， 则乙：（天） 答：甲、乙工程队单独完成这项工程各需要6天，12天； 【小问2详解】 解：设乙工程队施工a天，则甲需施工天， 由题意得， 解得：， 答：乙工程队至少施工4天． 22. 如图， 与 轴交于点和点，与 轴交于 ，点 的纵坐标为 ． （1）求 的半径； （2）若 于 ，交 轴于 ，求证：； （3）在（2）的条件下求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点 作于 ，连接，由垂径定理可求得 的长，在中，根据勾股定理即可求得半径长； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等结合等角的余角相等证明 ，从而可证得，由全等的性质即可得证； （3）过点 作 于，连接，在中，利用勾股定理可求得的长，从而可得的长，证明 ，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， 如图，过点 作于 ，连接， ， 点 的纵坐标为 ， ． 在中， ， 即 的半径为 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点 作 于，连接，则四边形 是矩形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， 解得 ， ． 23. 中 ，，，将 绕点 按逆时针方向旋转得到，点 的对应点是点 ，连接 、． （1）如图1，求的值； （2）如图2，当点 恰好落在 的中线的延长线上时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，求 的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得 的长，根据旋转的性质可得，，从而证明，进而得解； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，结合，根据等边对等角等量代换可得，由旋转可知，，可证得，即可得证； （3）先证明，根据对应边成比例列式可计算出的长，进而可得的长，由平行可证明，根据对应边成比例列式可计算出 的长． 【小问1详解】 解：在 中， ，，， ， 由旋转可知，，，旋转角， ， ， ， 【小问2详解】 证明：是 的中线， ， ， ， ， ， 由旋转可知，， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可得，， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， 由旋转可知，， ，解得． 24. 如图1，已知抛物线的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）如图2，连接 ， 为线段 下方抛物线上的一个动点，过点 作轴交 于点M，作轴交 于点 ，求的边 上的高的最大值； （3）如图3，连接 、 ，在抛物线上是否存在一点 ，使得，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线经过的点以及对称轴，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线 的解析式，再设出点 的坐标，进而表示出与的长度，得到，是等腰直角三角形， 的长度，过点 作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一可得的长，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）分点 在 上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点 的坐标． 【小问1详解】 解： 抛物线的图象与 轴交于 、 两点， 点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线 ， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线 解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线 解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点 作于，则点是 的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边 上的高的最大值为． 【小问3详解】 解：当 点位于 上方时，在 上取一点D，使得，连接 并延长交抛物线于点 ， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线 解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线 解析式为， 联立，解得或， ； 当 点位于 下方时，如图，作轴，作于点 ，与抛物线的交点为 ，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点 与点 重合， ， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $