期中培优：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用 专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

期中培优：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 期中培优：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 考点目录 整式的混合运算 乘法公式在几何图形中的应用 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26七年级下·广西桂林·月考）先化简，再求值：，其中，． 例2．（25-26八年级上·广东中山·期中）计算下列各题： (1)． (2)先化简，再求值：，其中 例3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中，． 例4．（2026·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 变式1．（25-26七年级下·浙江绍兴·月考）先化简，再求值． ，其中． 变式2．（25-26七年级下·安徽宣城·月考）先化简，再求值其中，． 变式3．（25-26七年级下·四川成都·月考）先化简，再求值：，其中，． 变式4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中，． 考点二 乘法公式在几何图形中的应用 例1．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读材料：若a满足，求的值． 解：设，，则， ∵，∴ 根据上述材料所提供的方法解决以下问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，在长方形中，，．，分别为，延长线上的一点，．以，为边作长方形，以为边作正方形，以为边作正方形．已知长方形的面积为，求阴影部分的面积． 例2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积． (1)请用图1中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系． (2)利用第（1）中的结论：若，求的值； (3)如图2所示，是线段的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (4)若实数满足，求代数式的值． 例3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【课本回顾】 (1)用不同的代数式表示图1中草坪（阴影部分）的面积． ①可以得到等式：______； ②若，，则______； 【自主探究】 (2)小林在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，请你利用（1）中得到的等式解决这个问题． 【拓展应用】 (3)图2是某小区的休闲规划用地示意图：在正方形空地中开发一个长方形区域种花，种花区域的面积为220，，，分别以、为边开发正方形区域，种植草坪，开发长方形区域为儿童活动区，求整个休闲区的面积． 例4．（25-26七年级下·江西吉安·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： (1)若x满足，则的值为 ． (2)若，求的值． 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 变式1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图，直接写出代数式，，之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： (2)已知，，求的值； (3)如图3，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 变式2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：； 例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 变式3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）【情境重现】如图，课本第页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，根据乘法公式，直接写出的值______； (2)填空： ①若，则______； ②若，则______； (3)如图，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 期中培优：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 考点目录 整式的混合运算 乘法公式在几何图形中的应用 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26七年级下·广西桂林·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；8 【分析】根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后合并得最简结果，再把，的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 例2．（25-26八年级上·广东中山·期中）计算下列各题： (1)． (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）先去小括号，合并同类项，再按照多项式除以单项式的法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， 当时，原式． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果，值为 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将、代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 例4．（2026·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、单项式乘多项式、多项式除以单项式把原式化简，由得，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 变式1．（25-26七年级下·浙江绍兴·月考）先化简，再求值． ，其中． 【答案】，1 【分析】先根据平方差公式以及完全平方公式，单项式乘以多项式的法则将式子展开，然后合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 变式2．（25-26七年级下·安徽宣城·月考）先化简，再求值其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 变式3．（25-26七年级下·四川成都·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】运用多项式乘以多项式以及完全平方公式计算括号内的运算，然后再进行除法运算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 变式4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内的整式的乘法运算，合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 考点二 乘法公式在几何图形中的应用 例1．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读材料：若a满足，求的值． 解：设，，则， ∵，∴ 根据上述材料所提供的方法解决以下问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，在长方形中，，．，分别为，延长线上的一点，．以，为边作长方形，以为边作正方形，以为边作正方形．已知长方形的面积为，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，得出，，再根据完全平方公式变形求证，即可求解 （2）根据题意得出，，，同（1）的方法计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵长方形的面积为， ∴ ∵， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∴ 答：阴影部分的面积为763 例2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积． (1)请用图1中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系． (2)利用第（1）中的结论：若，求的值； (3)如图2所示，是线段的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (4)若实数满足，求代数式的值． 【答案】(1) (2)13 (3) (4) 【分析】（1）根据4个小方块的面积与大正方形的面积相等求解即可； （2）根据（1）中的结论，利用完全平方公式的变形求解即可； （3）设，，依题意，，连接，根据，即可求解； （4）设，，根据，得出，，利用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：设，，依题意，， 连接， ∴阴影部分面积为： ， ∴； （4）解：设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 例3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【课本回顾】 (1)用不同的代数式表示图1中草坪（阴影部分）的面积． ①可以得到等式：______； ②若，，则______； 【自主探究】 (2)小林在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，请你利用（1）中得到的等式解决这个问题． 【拓展应用】 (3)图2是某小区的休闲规划用地示意图：在正方形空地中开发一个长方形区域种花，种花区域的面积为220，，，分别以、为边开发正方形区域，种植草坪，开发长方形区域为儿童活动区，求整个休闲区的面积． 【答案】(1)（1）①；②17； (2)50 (3)961 【分析】（1）①整个阴影的面积可以看成是拼接后边长为的正方形的面积即为，同时，也可以看成最大正方形的面积减去空白图形的面积即为，根据面积相等性质求解即可； ②根据公式变形求解即可； （2）设，则，，根据公式变形求解即可． （3）设，则，，整个休闲区的面积为，且，求解即可． 【详解】（1）①解：整个阴影部分的面积可以看成是拼接后边长为的正方形的面积即为，同时，也可以看成最大正方形的面积减去空白图形的面积即为，根据题意，得； ②解：，，， 则； （2）解：设，则，， 故， 故，即． （3）解：设，则， 因为正方形空地， ， ， ，， ， 整个休闲区的面积为， 且， 故整个休闲区的面积为． 例4．（25-26七年级下·江西吉安·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： (1)若x满足，则的值为 ． (2)若，求的值． 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3)20 【分析】（1）仿照例题，设，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，令，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ， 由条件可得， ， ； （2）解：设， 则， 由条件可得， ， ， ． （3）解：，正方形边长为， ， 令， ， ∵长方形的面积是24 ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积 ． 变式1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图，直接写出代数式，，之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： (2)已知，，求的值； (3)如图3，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示图的面积即可； （2）根据（1）的结论即可求出的值； （3）根据，，，求出的值，再根据求出的值，最后由可得答案． 【详解】（1）解：∵图整体上是边长为的正方形，则面积为， 又∵图中阴影部分是边长为的正方形，则面积为，四个空白长方形的面积和为， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵正方形、的边长分别为、，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积之和为． 变式2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：； 例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从而得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即； （3）解：，， ，，， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，且，， 阴影部分的面积为：． 变式3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）【情境重现】如图，课本第页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，根据乘法公式，直接写出的值______； (2)填空： ①若，则______； ②若，则______； (3)如图，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为，求的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（）根据完全平方公式的变形运算解答即可求解； （）①根据完全平方公式的变形运算解答即可求解；②根据完全平方公式的变形运算解答即可求解； （）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，，进而求出的值即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：①∵，， ∴． ②∵，， ∴． （3）解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴，即， ∵阴影部分面积为， ∴， 整理得，， ，得， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $