1.4 垂直平分线 复习讲义-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

期中培优：垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线的作图问题复习讲义 期中培优：垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线的作图问题复习讲义 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 【知识点解析】 一、核心原理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点的轨迹为该线段的垂直平分线（性质的逆用，为判定铺垫），本质是垂直平分线为到线段两端等距点的集合。 二、解题思路 1. 找垂直平分线：在图形中标注已知的线段垂直平分线（或由垂直+平分条件判定出垂直平分线）； 2. 定等距点：确定垂直平分线上的目标点（如交点、顶点、动点）； 3. 用性质得结论：直接推出该点到线段两端点的距离相等，实现线段的等量代换，结合三角形全等、等腰三角形性质等求解边/角。 关键：见垂直平分线，立即联想“线上点到两端点等距”，实现边的转化。 【例题分析】 例1．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得出，再根据线段垂直平分线的性质，得出，进一步得出，最后根据角的和差关系，进行解答即可． 【详解】解：，， ． 由题意可知，垂直平分， ， ， ． 例2．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，P，D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由等积法可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴． 例3．（24-25八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】 如图，连接，，根据等腰三角形三线合一性质推出是的垂直平分线，得，继而得到当点、、三点共线时，的最小值是的长，证明是等边三角形，再结合线段的中点可推出，，最后根据勾股定理得即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴是边上的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线时，的最小值是的长， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴． 例4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，等腰的底边，面积为，点是边上的一个动点，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】如图作于，连接，由垂直平分线段，推出，推出， 可得当共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：如图作于，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时，最小值就是线段的长， ∵， ∴， 根据垂线段最短， ∴当时最小， ∴的值最小为． 例5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，若，，则的长为__________． 【答案】18 【分析】先求出，再根据勾股定理求出，由线段垂直平分线的性质得到，得出． 【详解】解：， ， ， ， 垂直平分， ， ． 例6．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，为边上的中垂线，，，则的周长为___________ 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，进行线段的等量代换，将的周长转化为是正确解答本题的关键． 【详解】解：为边上的中垂线 的周长 的周长 ． 【变式训练】 变式1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接交于点D，则的长为（   ） A．4 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据作图可知是的垂直平分线，从而得到，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在 中，，，， ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ． 变式2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作法得，， 垂直平分， ，故①正确； ，， ， 由作法得平分， ， ， ， 在中，， ， ，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ，    ， ， 垂直平分线段，故④正确． 故正确的个数有3个． 变式3．（25-26九年级下·吉林长春·月考）在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得的长及，进而推导出为中点，利用勾股定理求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线 ，， 在中， ， 在中， 的周长 变式4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 【答案】18 【分析】连接，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵点D是中点且于点D， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点E是中点且于点E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式5．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，的面积为16，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】10 【分析】根据连接，，根据等腰三角形的性质和面积可求得和，然后由线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短可推出，进而即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵的面积为16，，，点为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P为线段上的一动点， ∴， ∴周长， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时周长取得最小值，最小值为． 变式6．（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长为，推出，结合，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ，即， ， ． 考点二 垂直平分线的判定 【知识点解析】 一、核心原理 判定线段的垂直平分线有两个核心依据，二者等价： 1. 定义法：一条直线既垂直于某线段，又平分该线段（即垂直+平分，双重条件），则这条直线是该线段的垂直平分线； 2. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（性质逆定理）；若两个点均满足到线段两端等距，则过这两点的直线为该线段的垂直平分线（两点定一线）。 二、解题思路 方法1：定义法（直接判定，适用于有垂直+平分条件） 1. 证垂直：证明直线与线段的夹角为90°（可通过勾股定理、全等三角形、直角三角形性质等）； 2. 证平分：证明直线平分线段，即直线与线段的交点为线段中点； 3. 下结论：同时满足垂直+平分，故该直线为线段的垂直平分线。 方法2：判定定理法（两点定线，适用于有等距点条件） 1. 找两个等距点：在图形中找到两个不同的点，分别证明这两个点到目标线段的两个端点距离相等； 1. 定直线：根据“两点确定一条直线”，推出过这两个点的直线为该线段的垂直平分线； 1. 延伸应用：可结合定义法验证，或直接用性质推后续边/角关系。 关键：判定需抓“双重条件（定义法）”或“两点等距（定理法）”，缺一不可。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 例2．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在等腰三角形中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点． (1)求证：； (2)求证：过点，的直线垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，根据全等三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定可得出点在线段的垂直平分线上，同理得出点在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ，， 又， ， ； （2）证明：连接， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 过点，的直线垂直平分线段． 例3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 例4．（25-26八年级下·河南郑州·月考）如图，已知在等腰直角三角形中，，平分，与相交于点，延长到，使， (1)延长交于，证明：垂直平分； (2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）容易证明，则，结合对顶角相等可得，即．结合平分可证明，则，命题得证； （2）连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，则，由勾股定理可得，因此． 【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）解：如图，连接， ∵，是边的中点， ∴，即垂直平分， ∴， 由（1）可知，， 在中，， ∴． 【变式训练】 变式1．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接． (1)证明垂直平分线段； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形角的性质求出的度数，结合作图得到，再由尺规作图的性质得出平分，进而证明，得到，最后结合推出为中点，从而证明垂直平分 （2）设，利用直角三角形角的性质表示出、的长度，再由垂直平分得到，结合勾股定理表示出，再根据列方程求解的长度． 【详解】（1）证明：在中， ∵，， ∴ 由作图可知：，平分， ∴ 在和中， ， ∴（）． ∴，即 ∵， ∴，即为的中点． ∴垂直平分线段 （2）解：设， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知垂直平分， ∴， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 变式2．（25-26八年级下·山东青岛·月考）如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 即． ，， ． 又， ， ． 又， ， ． （2）证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 变式3．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，可得； （2）由得，由得，进而证明，推出，进而即可证明垂直平分． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，连接并延长，交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 变式4．（25-26八年级上·山东青岛·开学考试）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分． 考点三 垂直平分线的作图问题 【知识点解析】 一、核心原理 依托圆的性质和垂直平分线的判定定理，以线段两端点为圆心、大于线段一半长度为半径作弧，两弧的交点到线段两端点距离相等，过两交点的直线即为线段的垂直平分线，本质是用尺规作等距点，两点定垂直平分线。 二、解题思路（尺规作图，三步标准化） 1. 定圆心与半径：以目标线段的两个端点、为圆心，取大于的长度为半径（半径必须大于线段一半，否则两弧无交点）； 2. 作弧找交点：分别以、为圆心作弧，两弧在线段的两侧各交于一个点，记为、； 3. 作直线得结果：用直尺连接点、，直线即为线段的垂直平分线（直线与的交点即为的中点）。 作图关键：半径大于线段一半、两侧各有一个交点，确保直线唯一且垂直平分线段。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广东茂名·月考）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． (2)在（1）所作图中连接，若，，是直角，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧分别交于、两点；作直线，直线与的交点即为点； （2）由作图得，由勾股定理得，从而可求出的周长． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， 直线是线段的垂直平分线， ，故点即为所求． （2）解：由（1）可知． ，，，， ∴由勾股定理得：， 的周长． 例2．（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 【答案】图见详解 【分析】明确点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点． 【详解】解：点P到A、C两点的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， 点P到、的距离相等， 点在的角平分线上， 点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点， 如图即为所求， 例3．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在中， (1)在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接两个交点，得到线段的垂直平分线，找到这条垂直平分线与线段的交点，该交点即为点； （2）连接，依题得，先利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求： （2）解：连接， 依题得， 中，，，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作图—垂直平分线的作图步骤，逐步作图即可； （2）延长到点E，使，连接，先推导出，得到，进而推导出，得到，可证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所作； （2）解：如图，延长到点E，使，连接， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级上·重庆开州·期中）如图，在中，． (1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)根据（1）中作图，若，证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）按要求先作线段的垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明，从而得出结论． 【详解】（1）解：如图，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于两点，过交点作直线，交于点，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，连接． （2）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． ∵在中，， ∴， ∴，即 ∴． 变式3．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）解：边的中垂线，如图1即为所求； （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线的作图问题复习讲义 期中培优：垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线的作图问题复习讲义 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 【知识点解析】 一、核心原理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点的轨迹为该线段的垂直平分线（性质的逆用，为判定铺垫），本质是垂直平分线为到线段两端等距点的集合。 二、解题思路 1. 找垂直平分线：在图形中标注已知的线段垂直平分线（或由垂直+平分条件判定出垂直平分线）； 2. 定等距点：确定垂直平分线上的目标点（如交点、顶点、动点）； 3. 用性质得结论：直接推出该点到线段两端点的距离相等，实现线段的等量代换，结合三角形全等、等腰三角形性质等求解边/角。 关键：见垂直平分线，立即联想“线上点到两端点等距”，实现边的转化。 【例题分析】 例1．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（24-25八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 例4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，等腰的底边，面积为，点是边上的一个动点，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则的最小值为_____． 例5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，若，，则的长为__________． 例6．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，为边上的中垂线，，，则的周长为___________ 【变式训练】 变式1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接交于点D，则的长为（   ） A．4 B．7 C． D． 变式2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（25-26九年级下·吉林长春·月考）在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 变式4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 变式5．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，的面积为16，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为________． 变式6．（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 考点二 垂直平分线的判定 【知识点解析】 一、核心原理 判定线段的垂直平分线有两个核心依据，二者等价： 1. 定义法：一条直线既垂直于某线段，又平分该线段（即垂直+平分，双重条件），则这条直线是该线段的垂直平分线； 2. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（性质逆定理）；若两个点均满足到线段两端等距，则过这两点的直线为该线段的垂直平分线（两点定一线）。 二、解题思路 方法1：定义法（直接判定，适用于有垂直+平分条件） 1. 证垂直：证明直线与线段的夹角为90°（可通过勾股定理、全等三角形、直角三角形性质等）； 2. 证平分：证明直线平分线段，即直线与线段的交点为线段中点； 3. 下结论：同时满足垂直+平分，故该直线为线段的垂直平分线。 方法2：判定定理法（两点定线，适用于有等距点条件） 1. 找两个等距点：在图形中找到两个不同的点，分别证明这两个点到目标线段的两个端点距离相等； 1. 定直线：根据“两点确定一条直线”，推出过这两个点的直线为该线段的垂直平分线； 1. 延伸应用：可结合定义法验证，或直接用性质推后续边/角关系。 关键：判定需抓“双重条件（定义法）”或“两点等距（定理法）”，缺一不可。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 例2．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在等腰三角形中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点． (1)求证：； (2)求证：过点，的直线垂直平分线段． 例3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 例4．（25-26八年级下·河南郑州·月考）如图，已知在等腰直角三角形中，，平分，与相交于点，延长到，使， (1)延长交于，证明：垂直平分； (2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 【变式训练】 变式1．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接． (1)证明垂直平分线段； (2)若，求的值． 变式2．（25-26八年级下·山东青岛·月考）如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 变式3．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 变式4．（25-26八年级上·山东青岛·开学考试）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 考点三 垂直平分线的作图问题 【知识点解析】 一、核心原理 依托圆的性质和垂直平分线的判定定理，以线段两端点为圆心、大于线段一半长度为半径作弧，两弧的交点到线段两端点距离相等，过两交点的直线即为线段的垂直平分线，本质是用尺规作等距点，两点定垂直平分线。 二、解题思路（尺规作图，三步标准化） 1. 定圆心与半径：以目标线段的两个端点、为圆心，取大于的长度为半径（半径必须大于线段一半，否则两弧无交点）； 2. 作弧找交点：分别以、为圆心作弧，两弧在线段的两侧各交于一个点，记为、； 3. 作直线得结果：用直尺连接点、，直线即为线段的垂直平分线（直线与的交点即为的中点）。 作图关键：半径大于线段一半、两侧各有一个交点，确保直线唯一且垂直平分线段。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广东茂名·月考）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． (2)在（1）所作图中连接，若，，是直角，求的周长． 例2．（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 例3．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在中， (1)在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求线段的长． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 变式2．（25-26八年级上·重庆开州·期中）如图，在中，． (1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)根据（1）中作图，若，证明：． 变式3．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $