专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线(12大题型+题型突破+期中复习讲义)2025-2026学年北师大版八年级数学下册)

专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握直角三角形的性质、勾股定理及逆定理，会用 HL 判定全等。 2.理解并运用线段垂直平分线的性质与判定，知道三角形外心的特点。 3.理解并运用角平分线的性质与判定，知道三角形内心的特点。 1.能利用互余、勾股、HL快速解直角三角形计算与证明 2.能熟练使用垂直平分线、角平分线性质进行线段相等、角相等推导 3.能规范书写几何证明，逻辑严谨、步骤完整 4.能进行分类讨论、多解判断，避免漏解 1.选择填空：秒解性质类基础题，不丢分 2.计算题：熟练用勾股、30° 角、距离相等快速求边长 3.证明题：掌握垂直平分线、角平分线高频证明模板 4.综合题：能结合等腰、全等、直角三角形快速破题 题型01.直角三角形的性质 题型02.直角三角形的判定 题型03.互逆命题与互逆定理 题型04.HL判定直角三角形全等 题型05.HL与全等综合应用 题型06.含30角的直角三角形 题型07.线段垂直平分线性质与判定 题型08.线段垂直平分线尺规作图 题型09.角平分线性质与判定 题型10.角平分线性质实际应用 题型11.直角三角形折叠问题 题型12.直角三角形动点问题 题型13.直角三角形最值问题 解答题7题 知识点01:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点02:线段的垂直平分线 定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点03:角平分线 定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 题型01.直角三角形的性质 【典例】在中，，，则______． 【跟踪专练1】如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，垂足为D．若，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02.直角三角形的判定 【典例】在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【跟踪专练1】．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有______个． 【跟踪专练2】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为______度． 【跟踪专练3】在中，，、的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 题型03.互逆命题与互逆定理 【典例】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【跟踪专练1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练3】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 题型04.HL判定直角三角形全等 【典例】．如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 【跟踪专练1】如图，为线段上的点，，，，若根据“”判定，还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【跟踪专练3】在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 题型05.HL与全等综合应用 【典例】如图，已知，是的两条高线，，，则___________度． 【跟踪专练1】如图，，．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【跟踪专练3】如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 题型06.含30角的直角三角形 【典例】如图，在中，，，则______． 【跟踪专练1】在中，，，线段，则线段（　　） A．10 B．5 C． D．20 【跟踪专练2】如图，在中，，若，则的长为____． 【跟踪专练3】如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 题型07.线段垂直平分线性质与判定 【典例】如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的周长为_________． 【跟踪专练1】如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【跟踪专练2】如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则___． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 题型08.线段垂直平分线尺规作图 【典例】如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”） 【跟踪专练1】如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，与线段交于点，在直线上取一点，连接，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 【跟踪专练2】如图，在中，，为的中点，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为__________． 【跟踪专练3】如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧相交于点，连接交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型09.角平分线性质与判定. 【典例】如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么__________． 【跟踪专练1】若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 【跟踪专练2】如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积为__________． 【跟踪专练3】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 题型10.角平分线性质实际应用 【典例】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． . 【跟踪专练1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【跟踪专练2】如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是____． 【跟踪专练3】如图，的两直角边、的长分别是9、12．其三条角平分线交于点，将分为三个三角形，则等于（    ） A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4 题型11.直角三角形折叠问题 【典例】如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 【跟踪专练1】如图，有一张长方形纸片，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点A，B分别落在、上，当点恰好落在边上时，线段的长为 ________________；当点E运动到点C时，若边与边相交于点P，则线段的长度为 __________________ ． 【跟踪专练2】如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接将沿BD折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为______ ． 【跟踪专练3】小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【跟踪专练4】如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为______． 题型12.直角三角形动点问题 【典例】如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【跟踪专练1】如图，已知，点是上一定点，点是射线上一动点，和的平分线，交于点，则_____． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练3】在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 题型13.直角三角形最值问题 【典例】如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为____________． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【跟踪专练4】如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 【跟踪专练5】如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 解答题 1．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 2．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 3．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 5．如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 6．为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 7．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握直角三角形的性质、勾股定理及逆定理，会用 HL 判定全等。 2.理解并运用线段垂直平分线的性质与判定，知道三角形外心的特点。 3.理解并运用角平分线的性质与判定，知道三角形内心的特点。 1.能利用互余、勾股、HL快速解直角三角形计算与证明 2.能熟练使用垂直平分线、角平分线性质进行线段相等、角相等推导 3.能规范书写几何证明，逻辑严谨、步骤完整 4.能进行分类讨论、多解判断，避免漏解 1.选择填空：秒解性质类基础题，不丢分 2.计算题：熟练用勾股、30° 角、距离相等快速求边长 3.证明题：掌握垂直平分线、角平分线高频证明模板 4.综合题：能结合等腰、全等、直角三角形快速破题 题型01.直角三角形的性质 题型02.直角三角形的判定 题型03.互逆命题与互逆定理 题型04.HL判定直角三角形全等 题型05.HL与全等综合应用 题型06.含30角的直角三角形 题型07.线段垂直平分线性质与判定 题型08.线段垂直平分线尺规作图 题型09.角平分线性质与判定 题型10.角平分线性质实际应用 题型11.直角三角形折叠问题 题型12.直角三角形动点问题 题型13.直角三角形最值问题 解答题7题 知识点01:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点02:线段的垂直平分线 定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点03:角平分线 定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 题型01.直角三角形的性质 【典例】在中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，在直角三角形中，两个锐角互余，根据，，即可解答． 【详解】解：在中， ∵，， ∴; 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角形的外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，垂足为D．若，则的长为________． 【答案】12 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型02.直角三角形的判定 【典例】在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 【跟踪专练1】．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有______个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形， 则①正确； ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， 则②正确； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形． 则③不正确； 设，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形． 则④不正确． 正确的有2个． 故答案为：2． 【跟踪专练2】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为______度． 【答案】/15度 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键． 【跟踪专练3】在中，，、的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用，准确分析判断是解题的关键． 根据知识点准确分析判断即可． 【详解】选项:，仅表示是等腰三角形，不一定有直角，故排除； 选项: 设，，，则，解得，，，，均为锐角，无直角，故排除； 选项: ，，，，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，故排除； 选项: ，，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，且为斜边． 故选． 题型03.互逆命题与互逆定理 【典例】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 【跟踪专练1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 【跟踪专练3】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 题型04.HL判定直角三角形全等 【典例】．如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，添加的条件为 ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，为线段上的点，，，，若根据“”判定，还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件判断直角三角形全等，熟记两个直角三角形全等的判定定理“”是解决问题的关键． 由题中条件，可知由“”判定，还需要添加的一个条件是两个直角三角形中的一组对应直角边相等，结合选项中的条件逐项验证即可得到答案． 【详解】解：，， 和均为直角三角形， ，且是和的斜边， 若根据“”判定，还需要添加的一个条件是两个直角三角形中的一组对应直角边相等， A、当时，不是两个直角三角形中的一组对应直角边相等，无法由“”判定，不符合题意； B、当时，无法由“”判定，不符合题意； C、当时，且是和的直角边，可以由“”判定，符合题意； D、当时，是的直角边、是的斜边，无法由“”判定，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 【跟踪专练3】在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 题型05.HL与全等综合应用 【典例】如图，已知，是的两条高线，，，则___________度． 【答案】40 【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，． 【详解】解：∵，是的两条高线， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，，．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．先由，证明，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，则． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【分析】连接，根据可证，利用全等三角形的性质可知，再根据的周长和的周长，可得，即可得到的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型06.含30角的直角三角形 【典例】如图，在中，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为：6 【跟踪专练1】在中，，，线段，则线段（　　） A．10 B．5 C． D．20 【答案】B 【分析】利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”即可直接求解 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 是的斜边，是角所对的直角边， ∴ 【跟踪专练2】如图，在中，，若，则的长为____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等腰三角形的性质和求出底角为，再由求出，证明，最后利用含角的直角三角形性质得． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 题型07.线段垂直平分线性质与判定 【典例】如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的周长为_________． 【答案】26 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，进而得到的周长等于，据此解答即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为 ， 故答案为：26． 【跟踪专练1】如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则___． 【答案】 【分析】由垂直平分线性质可得，，所以，，然后通过三角形内角和定理求得，则有，最后通过角度和与差即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 题型08.线段垂直平分线尺规作图 【典例】如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”） 【答案】＞ 【分析】作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案． 【详解】解：∵， ∴半径长度， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法． 【跟踪专练1】如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，与线段交于点，在直线上取一点，连接，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形，根据作图可知：，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，， ∴； 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，，为的中点，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线的尺规作图和性质，勾股定理，等面积法．熟练掌握等面积法的应用是解题关键． 利用勾股定理求出，则，进而求，再利用的面积求解即可． 【详解】解： ， ， 为的中点， ， ， ， 由作图轨迹可知， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧相交于点，连接交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，等腰三角形的性质，根据作图可知，三线合一，得到，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故选项C正确；其它选项均条件不足，都不能成立； 故选C． 题型09.角平分线性质与判定. 【典例】如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵点是平分线上一点，，，且， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 【答案】A 【详解】解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上， ∴O为三条角平分线的交点． 【跟踪专练2】如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积为__________． 【答案】5 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，，即， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 【跟踪专练3】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 题型10.角平分线性质实际应用 【典例】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． . 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 【跟踪专练1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是____． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，的两直角边、的长分别是9、12．其三条角平分线交于点，将分为三个三角形，则等于（    ） A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4 【答案】C 【分析】根据勾股定理先求出斜边的长，然后利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是9、12、15，所以面积之比就是3：4：5． 【详解】解：的两直角边、的长分别是9、12， ， 过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O为三角形三条角平分线的交点， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD ＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．解题的关键是明确三个三角形的高相等． 题型11.直角三角形折叠问题 【典例】如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据长方形的性质得出直角和平行线，根据直角的性质得出，然后利用翻折的性质以及角的和差求出，最后利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，有一张长方形纸片，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点A，B分别落在、上，当点恰好落在边上时，线段的长为 ________________；当点E运动到点C时，若边与边相交于点P，则线段的长度为 __________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，根据折叠可得：，，，，，根据等腰三角形的判定得出，从而证明，根据勾股定理求出； 先证明，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 在长方形中，，，，， ∴， 根据折叠可得：，，，，， ∴， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ∴； 如图，当点E运动到点C处时， ∵， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 故答案为：；． 【跟踪专练2】如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接将沿BD折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为______ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点D作于点F，先由勾股定理求出，设，则，由折叠性质得，进而得，再证明和全等得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： ， 在中，， 由勾股定理得：， 为直线上一个动点， 设，则， 由折叠性质得：， 是的平分线， 又于点F，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 即的长为 故答案为： 【跟踪专练3】小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【跟踪专练4】如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，点到直线的距离，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 如图，过点作交于点，通过已知条件结合折叠的性质可证明为等边三角形，得到，进而得到，根据直角三角形两个锐角互余得到；再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理求出的长度，即为点到的距离． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由翻折可知，， 是边的中点， ， 又∵， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ，即点到的距离为， 故答案为：． 题型12.直角三角形动点问题 【典例】如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【答案】8或10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，分点E在上和在延长线上两种情况讨论． 由得到对应边，然后分两种情况：①当点E在延长线上与②点E在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴．又， ∴． ∵， ∴． ∴当时，， 分两种情况： 情况一： 当点E在延长线上时，    ，    ． 情况二： 点E在延长线上时， ， ∴  ． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，已知，点是上一定点，点是射线上一动点，和的平分线，交于点，则_____． 【答案】/45度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，即可求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 由，可以得出是等腰三角形，故越大，就越大．当点D与点A重合时，取最大值．计算出此时的值，对比选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴越大，就越大， 当点D与点A重合时，取最大值，即取最大值，如图， 此时， ∵， ∴， ∴，即点C为斜边的中点， ∴， ∴点D运动过程中，，只有选项A符合． 故选：A． 【跟踪专练3】在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； （3）解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型13.直角三角形最值问题 【典例】如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形、勾股定理等知识．作点关于的对称点，连接，作，垂足为，利用勾股定理求得，利用三角函数求得，将转化为，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， 当共线时，有最小值，最小值为的长． 在中，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，当点与重合时，的边长最长，根据角所对的直角边是斜边的一半可得，，再由勾股定理可得答案．利用勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图所示，当点重合且点在上时，等边的边长最长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴在中，， ∴等边的边长的最大值为． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，构造，使得，，当且仅当点A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，再利用面积计算求值即可． 【详解】如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴当的值最小时，最小值为． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 【跟踪专练4】如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 【跟踪专练5】如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．由勾股定理可得的长，过点作于，由垂线段最短可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 在等腰中，，， ，点是的中点， ， 由垂线段最短可知，， 的最小值为． 故答案为：． 解答题 1．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 2．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 3．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 4．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①15；②不变，100度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合已知条件证明点A在线段的垂直平分线上； （2）①根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求出四边形的周长； ②通过三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，求出的度数，判断其是否随点P的运动而变化． 【详解】（1）证明：∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D， ∴． ∴点A在线段的垂直平分线上； （2）解：①∵线段的垂直平分线分别与，交于点E，M， ∴． ∵线段的垂直平分线分别与，交于点F，N， ∴． ∴四边形的周长为． ∵，， ∴四边形的周长为； ②的度数不变．理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的度数不变，为． 6．为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 7．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $