河南临颍县第一高级中学等学校2025-2026学年高一下学期4月测评数学试卷

高一年级4月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B D D D A A 题号 9 10 11 答案 ACD BC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【答案B 【解析】= 3+)(2+D=5+5i=1十i,所以复数x的虚部为1，故选B. (2-i)(2+i) 5 2.【答案】D 【解析】在△ABC中a=1b=万，B=4行，由正孩定理得：A-白B则snA=a0B-如5= b √2 之，因为a<b,所以 A<B,则A=30°，故选D. 3.【答案】D 【解析】对A,向量不能比较大小，所以A错误；对B,当a·b>0时a与b的夹角可以为0°，所以B错误；对C,当b=0 时，a和c可以是任意向量，所以C错误：对D,合为a的同方向单位向量，所以D正确，故选D 4.【答案】C 【解析】因为sinC=sinA十sinB十sin Asin B,由正弦定理得：c2=a2十b2十ab,所以a2+b2-c2=-ab,所以cosC= a2+b2-c2 2ab -2-，又因为0<C<x,所以C-，故进C 2ab 5.【答案D 【解析】因为复数之满足x十1|=之一3|，即复数x对应的点Z到点A(一1,0)的距离与到点B(3,0)的距离相等，即复数 之对应的点一定在线段AB的垂直平分线上，即x=1上，所以复数x可以是1十3i,故选D. 6.【答案】C 【解析1AB=O元-OA=(k-2)e,十2e,AC=2e十4e,因为A,B,C三点共线，所以存在A∈R,使AB=AAC,即 1 1k-2=2 λ= (k-2)e十2e=λ(2e十4e),因为{e,e}是平面向量的一组基底，所以 ,解得 2.故选C 2=4 k=3 7.【答案】A 【解析】因为AQ∥BC,∠CBA=180°-B=180°-30°=150°，又因为Y=75°，所以∠PBA=360°-150°-75°=135°， ∠BAP=a-B=45°-30°=15°，所以∠APB=30°.在△ABP中，∠APB=30°，∠BAP=15°，∠PBA=135°，AB=2000, 由正孩定理得nmn2PB即m=品0解得AP-200v反.在R△PaQ中，AP=20v反， AP AB ∠PQA=90°，∠PAQ=45°，所以PQ=APsin∠PAQ=2000√2Xsin45°=2000，故选A. 8.【答案】A 【解析】连接EC,EB,因为B=2F心，所以E-E方=2(EC-E市，即E序=号EB+号E式，又因 为E3=EA+AB,E心=ED+DC,AB=a,Dt=b, 所以E亦=号弦+号式-号(Ei+A)+号(E市+D心)=号(Ei+2市)+名a+号b,因为 A花-2E市所以-A正+2E市-厨+2E市=0，所以E床-}a十号私.放选A CS扫描全能王 【高一数学参考答案第1页（共5页）】 延3亿人都在用的扫描ApP 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【解析】对A,若z∈R,则m2-m-6=0,解得m=3或m=一2，所以A正确； m2-7m+12=0 对B,若复数x为纯虚数，则{ ,解得m=4,所以B错误： m2-m-6≠0 m2-71+12=6 对C,若x=6-6i,则{ 解得m=1,所以C正确； m2-m-6=-6 对D,在复平面内，复数x对应的点为Z(m2一7m十12，m2一m一6)，若复数x对应的点在直线y=x上，则有m-7m十 12=m2-m一6，解得m=3,所以D正确.综上，故选ACD. 10.【答案】BC 【解析】对A,因为A(1,2),B(一1,6)，所以AB=(-2,4),所以A错误： 对B.因为A店=（一2,4），先找一个与A垂直的向量a,不妨取a=(4,2),所以与向量A垂直的单位向量即为：日或 合，又因为1a=√+2-2厅，所以与向量花垂直的单位向量坐标为(25，)或(-25，)，所以B正确： 对C,B驴=Bi=(2,-4)=(分，-1)，设P(x,y),则(x十1y-6)=(分-1小，所以 x+1=，解得 y-6=-1 x=一立，所以p(-号5)所以C正确： y=5 对D,A花=（一2,4At=1,1),所以A证在A衣上的投影向量为.：CA心=-2+4.1,1）=1,1)，所以D错误 ACI 2 综上，故选BC. 11.【答案】ACD 【解析】由Sos(A+B-cosC=2a·sinB-S-2 sin Bsin A-sinC,则2 sin Bsin Acos B-sin Ceos B=sin Bcos C,.则 cos(A+C)cos B b sin B sin Asin2B=sin Bcos C十sin Ccos B=sin(B+C)=sinA,由于sinA≠0，所以sin2B=1,因为B∈(0，π)，所以B= 于，故A正确： 由正弦定理得白B症一2，即a-2smA:又△AC有阿解，所以2a<2,放B结： 2 由nC=反smA,则m(是-A)-厄nA,号asA+Y号nA=反nA,则s如A=osA,即anA=I,AC0x 所以A=平，则A=B=平，此时△ABC为等腰直角三角形，故C正确： 若b=2,则由余弦定理得b=a2十c2-2 accos B=a2十c2-√2ac=4,所以有a2+c2=√2ac十4≥2ac,即ac≤4十2√2，当 且仅当a=c时取等号△ABC的面积为)asinB一店ac<(4十2W2)=1十V2,故D正确，故选ACD, 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】-21 【解析】=(1十i)2=2i,所以=一2i. 13.【答案】-35 【解析】因为a=(-1,2),所以a=5,又因为c=25,若a和c的夹角为60°，所以a·c=√5×2√5×cos60°=5；因 为a=(-1,2),b=(3,-6),所以b=-3a,所以b·c=-3a·c=-15,则(2a十3b)·c=2蝎 CS扫描全能王 【高一数学参考答案第2页（共5页）】 合链3亿人都在用的扫描App (-15)=-35. 14.【答案V3 【解析】因为acos B+√3 asin B-b-c=0,由正弦定理，得sin Acos B+√3 sin Asin B-sinB-sinC=0,因为C=π-(A +B),所以sinC=sin(A+B),则sin Acos B+√3 sin Asin B-sinB-sin(A+B)=0,所以sin Acos B+√3 sin Asin B -sinB-sin Acos B-cos Asin B=0,即W3 sin Asin B-sinB-cos Asin B=0,又因为sinB>0,所以v3sinA-1- c0sA=0,即sin(A-晋)=号因为0<A<,所以-若<A-晋<爱，则A-吾=吾，所以A=受：因为△ABC的 面积为B,所以sinA=厅，即c=厅，所以bc=4:因为M为BC的中点，所以应=专(A花+A心，所以A亦 子(A+A衣+2A.AO=十(G十+c)≥子(26c+bc)=子c=3,所以AM尽，当且仅当=c时取等号，所以 AM的最小值为√3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案11)-兰(2)3@ 130 【解析】(1)由题意可得a一2b=(4,-5),a十b=(2入，3入)十(-1,4)=(2以-1,31十4)，…3分 2 因为(a-2b)⊥(a+b),所以4(2λ-1)-5(3λ+4)=0→1= 7…6分 (2)2aC=(2,8),…7分 因为b∥(2a-c),所以8-4m十8=0→m=4,… …9分 所以C=(6,一2)，… …10分 6 所以cos(a,c)=Ta1d=√13X2√0 a·c 3√/130 130 …12分 即向量a与c的夹角的余弦值为330 130 13分 16.【答案】1)x=- +或= 1 3 2 (2)3=1,202= 【解析】(1)x2+x十1=0，因为△=1-4=-3<0，所以x=一1士 2 …4分 所以x=一 +或x= 13 2 21: ……6分 (2)0因为=-+号-(-之+)=+是-=-之-， ………………………………9分 所以=(+)=（合+）（支+）=(-名)(-支+)=+是=1…12分 因为2=1，所以=2=gg=()2=2=- ……15分 17.【答案11A2-a+2b.A0--2a+3b(2)29 【解析】1)因为BD=D元=E式， 所以AE=AB+B2=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=-AB+2Ad=一a+2b:… …3分 AC=AB+BC=AB+3BD=AB十3(AD-AB)=-2AB+3AD=-2a+3b:…6分 (2)因为AB=1,AD=1,∠BAD=号， 即a=1,b=1,a,b=号，所以a…b=1X1Xcos号= 1 …8分 AD.AC=b·(-2a十3b)=-2a·b+3b2=-1十3=2，… CS扫描全能王 【高一数学参考答案第3页（共5页）】 过3亿人都在用的扫描APp AC2=AC=(-2a十3b)2=4a2-12a.b+9b=4-6+9=7,所以AC1=√7，…12分 所以os∠DAC-osA市，Ad=Ai.AG 2_2 ………15分 AD1·|AC11X77 18.【答案11)详见解析(2)专 【解析101D由余弦定理得，0sA=+。5c-86.+ 2bc 2bc -=4a, 整理可得(2a-C)2=4b,……3分 2a-C=2b或2a-C=-2b,………5分 若2a一C=-2b,则a十h=分<c,显然不可能，…6分 .2a-c=2b,即2a-2b=c………7分 (2:△ABC的面积为3，∴3=之absinC,即ab=C 由余弦定理，得c2=a2+-2abc0sC-(a-b)2+2a6(1-c0sC)=千十2ab6(1-cosC,…1分 ab-sin cn sin C …12分 c=22,sin C=2(1-cos C)........ …14分 .sinC=4(1-cosC)2=1-cosC,整理得(5cosC-3)(cosC-1)=0, :C∈(0，π)，.cosC≠1，且sinC>0, osc=是sinC=-cosC=告 17分 19.【答案D号(253》m(o,2) 【解析】(l)因为m=(2b,c),n=(tanA十tanC,tanC),m∥n, 所以2 btan C=c(tanA十tanC),……………1分 cos c-c(sin 4+sin C) 所以2 sin C c05A7osC,…" ……2分 sinCsin Aco Asin Csin Csin (AC 由正弦定理得：2 sin B sin C cos Acos C cos Acos C =sin C-sin B cos Acos C' 因为sinB>0,sinC>0,cosC≠0，化简得：cosA=立， ……3分 因为0<A<,所以A=号… …4分 (2)(0D由正弦定理nA一nB一snC=2R(R为△ABC外接圆的半径)， 得a=2 Rsin A=-2Rsin号=5R,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,…5分 所以bc=4 sin Bsin C转化为：4R2 sin Bsin C=4 sin Bsin C,解得R=l,…6分 所以a=√5，b=2sinB,c=2sinC, 所以b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin(A+B)]=2[sinB+sin(B+号)] =2(smB叶合s如B+号osB）=2(号snB+9asB)=25n(B+吾)： ………7分 因为△ABC是钝角三角形，且A=号，则B或C为纯角，且B十C-受 当B为纯角时，则受<B<行，所以写<B+晋<号，则sn(B+若)∈（分，号）， 所以b十c∈(3,3)：… 织 CS扫描全能王 【高一数学参考答案第4页（共5页）】 对3亿人都在用的扫描App 当C为钝角时，则0<B<晋，所以吾<B+吾<晋，则sim(B+否)∈（分，）： 所以b+c∈(5,3). 综上，b十c∈(W3,3); …10分 (因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=否， 因为SAAN+SAeD=SAc,所以号AB·ADsin∠BAD+号AC·ADsin∠CAD=号AB·ACsin∠BAC, 即之·AD叶b·AD-c,所以AD=5,产 在△ABC中，由余弦定理，得a2=b+c2-2 becos A, 再由a=B,A=号，得3=十2-c=(b什c)2-3bc,…12分 所以bc=b+c)-3 3 …13分 (b+c)2-3 所以AD=5×产=X。 31 ………14分 令b十c=t,由(i)知，t∈(3,3)， 所以AD=号(-是)e63, ……15分 令f0-(t-2）,因为f)在E5,3)上单调递增，… ……16分 所以f)∈(o,2),则ADe(0,2) ………17分 CS扫描全能王 【高一数学参考答案第5页（共5页）】 延3亿人都在用的扫描App机密★启用前 7 高一年级4月测评 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 目啟 符合题目要求的、 1若一法则复数：的虚部为 A.i B.1 C.-i D.-1 2.在△ABC中，a=1,b=√2，B=45°，则A= A.45° B.30°或150° C.45°或135° D.30° 3.下列关于平面向量描述正确的是 A.若|a|<|bl,则a<b B.若a·b>0,则向量a与b的夹角为锐角 靼 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若a为非零向量，则合与a的方向相同 4.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinC=sinA十sinB+ sin Asin B,则C= A晋 B晋 c D.晋 5.若复数z满足|z+1|=|x一3|，则复数之可以是 A.2+i B.-1+i C.2-i D.1+3i 6.设{e1,e2}为平面向量的一组基底，且OA=2e,十e2,OB=ke1十3e2,O心=4e1十5e2,若A, B,C三点共线，则= A.1 B.2 C.3 D.4 【高一数学第1页（共4页）】 霸国 7.太行山在河南的最高峰一济源斗顶，远近闻名，如图，某校高一 年级数学实践小组为了测其高度，在山脚A测得山顶P的仰角为 a,沿倾斜角为B的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P 的仰角为y,若a=45°，B=30°，y=75°，a=2000m,则山高|PQ1为 (图中的点A,B,P,C,Q均在同一个铅直平面内) A.2000m B.2000√2m C.1000m D.1000√2m 8.如图，在四边形ABCD中，A它=2Ei,B京=2FC,设AB=a,DC=b, 则E京= B号a+ C.je+zb D.a+io 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中；有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数x=(m2-7m+12)+(m2-m-6)i,其中m∈R,则 A.若z∈R,则m=3或m=一2 B.当m=3或m=4时，复数z为纯虚数 C.若z=6-6i,则m=1 D.在复平面内，复数x对应的点在直线y=x上，则m=3 10.已知A(1,2),B(一1,6)，C(2,3),则 A.向量AB=(2,一4) B,与向量A垂直的单位向量坐标为(25，得)或(-2，-)》 C若驴=i,则P(-合5) D.AB在AC上的投影向量的坐标为（√2，W2) 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且os(A士B=2a·sinB-S,下列说法正 cos(A+C) b 确的是 A,B=牙 B.若b=2且△ABC有两解，则2<a≤2，√2 C.若sinC=√2sinA,则△ABC为等腰直角三角形 D.若b=2,则△ABC面积的最大值为1十√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若z=（1十i)2,则z= 13.已知向量a=（一1,2)，b=(3,一6)，|c=2√5，若a和c的夹角为60°，则(2a+3b)·c= 14.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acos B+√3 asin B一b一c=0, △ABC的面积为√3，M为BC的中点，则AM的最小值为 【高一数学第2页（共4页）】 器®m 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(2,3),b=(一1,4)，c=(m+2,一2)，m∈R. (1)当(a一2b)⊥(a十b)时，求实数入的值： (2)当b∥(2a一c)时，求向量a与c的夹角的余弦值. 16.（本小题满分15分) (1)求方程x2十x十1=0在复数范围内的解； (2)若=-号+，求2和2即， 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，点D,E在边BC上，且BD=DE=EC.设AB=a,AD=b. (1)用a,b表示AE,AC; (2)若AB=1,AD=1,∠BAD=S,求cos∠DAC. 【高一数学第3页（共4页）】 屬®思 18.(本小题满分17分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知5c一8 bcos A=4a. (1)证明：2a一2b=c (2)若△ABC的面积为3，c=2√2，求sinC. 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(2b,c),n=(tanA十tanC, tanC),且m∥n. (1)求角A; (2)若bc=4 sin Bsin C,△ABC是钝角三角形. (i)求b+c的范围； (i)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围， 【高一数学第4页（共4页）】 翻®肚