10.5分式方程（实际问题的巩固练习） 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版数学八年级下册 10.5分式方程 （实际问题的巩固练习） 【典型例题】 【例1】DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 【例2】绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 【例3】某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为______． 【例4】某果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则可列方程为 ． 【例5】一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间与最大航速逆流航行60km所用时间相等，则江水的流速为　　km/h． 【例6】2024年11月《中华人民共和国首届青少年三大球运动会》在长沙举行，某校为响应国家政策，课后延时服务开设了多个社团．“排球少年”社团需要添置一些排球，第一次购买花费3000元，因报名学生较多排球不够，第二次又花费3000元购买，但单价比原来上涨了25%，结果第二次购买的排球比第一次少15个． （1）求购进的两批排球单价； （2）求该社团前后两次一共购买排球的数量． 【举一反三】 【变式1】《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2】某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 【变式4】在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元． 【变式5】下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【变式6】为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知B种的单价比A种单价的2倍少5元，用400元购买A种的数量与用700元购买B种数量相等． （1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？ （2）该商铺计划共购进80个A，B两种文创饰品，购买总费用不超过2365元，且B种文创饰品的购买数量不少于A种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【巩固练习】 1.《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2.实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克．如何处理能将该容器内食盐水的含盐百分比提高到原来的倍？晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（    ） A．加入的食盐量 B．减少的食盐量 C．增加的水量 D．蒸发掉的水量 3.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，设乙队单独完成总工程共需个月，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 5.某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 6.已知从阳朔至鹿寨国道的路程为，现在高速路程缩短了，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为，则根据题意可列方程为 ． 7.，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 8.某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 9.将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 10.王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 11.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 12.甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 13.超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元？ 14.某盘山公路全长，其中上坡路段长，其余为下坡路段．周末，一位自行车爱好者进行骑行体验，他骑完全程共用了，其中在下坡路段上骑行的平均速度是上坡路段上的． （1）求该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度； （2）若建设这条公路时，某工程队承接了其中路段的建设任务，该工程队在完成的施工任务后，为保证工程如期完成，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该路段的工程，则该路段的工程原计划每天完成多少米？ 15.信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一．某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种毛尖，加工之后进行销售，现两种毛尖的进价和售价如下表： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲种毛尖 300 乙种毛尖 360 已知用10000元购进甲种毛尖的质量与用12000元购进乙种毛尖的质量相同． （1）的值为 ． （2）该茶叶店计划购进甲、乙两种毛尖共，其中甲种毛尖不少于且不超过． ①求销售完这两种毛尖的最大利润； ②五一劳动节假期期间，茶叶店让利销售，将乙种毛尖的售价每千克降低元，甲种毛尖的售价不变．为保证销售完这两种毛尖的利润的最小值不低于30750元，求的最大值． 答案解析 【典型例题】 【例1】DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 【答案】C 【例2】绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【例3】某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为______． 【答案】 【例4】某果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则可列方程为 ． 【答案】 【例5】一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间与最大航速逆流航行60km所用时间相等，则江水的流速为　　km/h． 【答案】6 【例6】2024年11月《中华人民共和国首届青少年三大球运动会》在长沙举行，某校为响应国家政策，课后延时服务开设了多个社团．“排球少年”社团需要添置一些排球，第一次购买花费3000元，因报名学生较多排球不够，第二次又花费3000元购买，但单价比原来上涨了25%，结果第二次购买的排球比第一次少15个． （1）求购进的两批排球单价； （2）求该社团前后两次一共购买排球的数量． 【答案】（1）设第一批购进的排球单价为x元，则第二批购进的排球单价为（1+25%）x元， 由题意得：， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的解； ∴第二批购进的排球单价为（1+25%）x＝1.25×40＝50， 答：第一批购进的排球单价为40元，第二批购进的排球单价为50元； （2）第一批购进的排球的数量为3000÷40＝75（个）， 则第二批购进的排球数量为75﹣15＝60（个）， 所以该社团前后两次一共购买排球的数量为：75+60＝135（个）， 答：该社团前后两次一共购买排球的数量为135个． 【举一反三】 【变式1】《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【变式2】某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式3】一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 【答案】 【变式4】在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元． 【答案】150 【变式5】下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【答案】（1）欣欣同学所列方程中的表示：八（2）班每天植树的棵树，它的等量关系是：八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数； 兰兰同学所列方程中的表示：八（1）班植树150棵所花的天数，它的等量关系是：八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数 10（棵）； （2）解：选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务． 【变式6】为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知B种的单价比A种单价的2倍少5元，用400元购买A种的数量与用700元购买B种数量相等． （1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？ （2）该商铺计划共购进80个A，B两种文创饰品，购买总费用不超过2365元，且B种文创饰品的购买数量不少于A种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）设A饰品每件的进价为x元，则B饰品每件的进价为（2x﹣5）元，根据题意列方程得， ， 整理得，100x＝2000， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解且符合题意； ∴B饰品每件的进价为2×20﹣5＝35（元）， 所以A饰品每件的进价为20元，B饰品每件的进价为35元， 答：A饰品每件的进价为20元，B饰品每件的进价为35元； （2）设购买A饰品m个，则购买B饰品（80﹣m）个，根据题意列不等式组得， ， 解得29≤m≤32， ∵m为正整数， ∴m＝29，30，31，32， ∴共有4种方案， 方案一：购买A饰品29个，购买B饰品51个； 方案二：购买A饰品30个，购买B饰品50个； 方案三：购买A饰品31个，购买B饰品49个； 方案四：购买A饰品32个，购买B饰品48个． 【巩固练习】 1.《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克．如何处理能将该容器内食盐水的含盐百分比提高到原来的倍？晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（    ） A．加入的食盐量 B．减少的食盐量 C．增加的水量 D．蒸发掉的水量 【答案】D 3.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，设乙队单独完成总工程共需个月，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 【答案】A 5.某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 【答案】A 6.已知从阳朔至鹿寨国道的路程为，现在高速路程缩短了，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 7.，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 【答案】 8.某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 【答案】 9.将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 【答案】25 10.王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 【答案】 11.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 【答案】“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，由题意得： ， 解得：， 经检验，为原分式方程的解，且符合题意， 答：“滨滨”的单价为100元． 12.甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 13.超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元？ 【答案】解：（1）设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元， 依题意得：， 解得x＝5， 经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意． 所以该种干果的第一次进价是每千克5元， 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）设超市销售这批干果的售价为每千克m元， 第一次购进3000÷5＝600（千克）， 第二次购进9000÷（1.2×5）＝1500（千克）， 根据题意得： （600+1500﹣500）m+500×0.8m﹣（3000+9000）≥（3000+9000）×25%， 解得m≥7.5． 所以超市销售这批干果的售价至少为每千克7.5元， 答：超市销售这批干果的售价至少为每千克7.5元． 14.某盘山公路全长，其中上坡路段长，其余为下坡路段．周末，一位自行车爱好者进行骑行体验，他骑完全程共用了，其中在下坡路段上骑行的平均速度是上坡路段上的． （1）求该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度； （2）若建设这条公路时，某工程队承接了其中路段的建设任务，该工程队在完成的施工任务后，为保证工程如期完成，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该路段的工程，则该路段的工程原计划每天完成多少米？ 【答案】（1）解：设该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为，则下坡路段骑行的平均速度为． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为． （2）解：设该路段的工程原计划每天完成． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：该路段的工程原计划每天完成． 15.信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一．某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种毛尖，加工之后进行销售，现两种毛尖的进价和售价如下表： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲种毛尖 300 乙种毛尖 360 已知用10000元购进甲种毛尖的质量与用12000元购进乙种毛尖的质量相同． （1）的值为 ． （2）该茶叶店计划购进甲、乙两种毛尖共，其中甲种毛尖不少于且不超过． ①求销售完这两种毛尖的最大利润； ②五一劳动节假期期间，茶叶店让利销售，将乙种毛尖的售价每千克降低元，甲种毛尖的售价不变．为保证销售完这两种毛尖的利润的最小值不低于30750元，求的最大值． 【答案】（1）解：根据题意，购进质量相等，得： 交叉相乘： 解得： 经检验：是原分式方程的解． （2）解：设购进甲种毛尖，则购进乙种毛尖，销售完这两种毛尖的总利润为元． ①由题意，得． ， 随的增大而减小． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：销售完这两种毛尖的最大利润为元． ②由题意，得． ， ， 随的增大而减小． ， 当时，有最小值， ， 解得， 的最大值为． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $