6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理的应用，通过复习定理公式及变形，结合实际测量问题（如不可到达点距离、高度等）导入，引入仰角、方向角等术语，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点是结合现实情境例题（如测量河对岸距离、彬塔高度），用表格总结解题方法，培养“用数学眼光观察、思维思考、语言表达”素养。例题推理严谨，练习贴近生活，助力学生提升应用能力，教师可直接用于教学，提高效率。

6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 复习回顾 余弦定理 变形 已知两边和一角，解三角形 已知三边求角，解三角形 正弦定理 （其中是外接圆的半径） 已知一边及其对角和另一边（或角），解三角形 变形 1. 2. 3.. 用于边角关系的化归（齐次式） 【引入】在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，通常需要借助经纬仪、卷尺等测量工具. 解决这类问题，我们常常遇到“不可到达”的困难，也会碰到一些专有名词和术语： ②仰角和俯角:——与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角; 目标视线在水平视线上方时叫仰角, 目标视线在水平视线下方时叫俯角. ③方向角:——从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角. ①基线 ——根据测量的需要而确定的线段叫做基线; 北偏东30° 南偏东45° 问题导入 例题分析-长度问题 解：如图，在两点的对岸选定两点，测得， ，，，. 在和中，由正弦定理，得 于是，在中，由余弦定理可得 例9：如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离. 类 型 图 形 方 法 求A，B两点间的距离 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB A，B两点间可视，但有一点不可达 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB A，B两点都不可达 测得CD＝a,∠BCD, ∠BDC,∠ACD,∠ADC， ∠ACB,在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB A，B两点间不可达或不可视 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距 40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________m.  【答案】20 m 练习-长度问题 例题分析-高度问题 例10：如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 解：如图，选择一条水平基线，使三点在同一条直线上. 在两点用测角仪器测得的仰角分别是，，， 测角仪器的高是. 那么，在中，由正弦定理，得 所以，这座建筑物的高度为 高度问题概括 练习-高度问题 135° C D A B （咸阳）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°,∠BDC＝135°,CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　） A.30 m B.20 m C.20 m D.20 m D 20 15° 60° 例题分析-角度问题 例11：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 北 A 20 B C 7 解：根据题意，画出示意图.由余弦定理，得 于是，. 由正弦定理，得：于是， 由于，所以. 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行. 练习-角度问题 “一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的三点进行测量.已知，，于处测得水深，于处测得水深，于处测得水深，则. 【答案】： 习题巩固-角度 如图，两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的两点，测得，，，那么此时两点间的距离是多少？ 解：由正弦定理得： 米)， 米). 在中，由余弦定理得， . ∴两点间的距离是. 巩固习题-高度 珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的. 这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化. 由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”. 攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度. 2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作. 在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（sin 70°≈0.94）（　　） A. 10米 B. 9.72米 C. 9.40米 D. 8.62米 【答案】C 巩固习题-角度 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（－1） n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 【答案】缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数． 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 $