精品解析：辽宁丹东市2026年中考适应性测试 数学试卷

丹东市2026年中考适应性测试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题(本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 年月日，国家统计局发布《年国民经济和社会发展统计公报》初步核算，全国国内生产总值亿元，成功迈进万亿元的新台阶，这一成绩充分展现了我国经济的强大韧性与活力．数据用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 2026年央视春晚的舞台上多款机器人惊人亮相，动作精准，队形整齐，尽显中国科技的魅力．下列机器人简笔图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 马年的吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，某兴趣小组制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物的图片．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下图片内容后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物图片都是“骋骋”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点，向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点，若点恰好落在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 有公共顶点，的正三角形与正五边形按如图位置摆放，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，高，交于点．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于边下方点，连接、．若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（本题共5道小愿，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________ 12. 在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 13. 物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 14. 如图，一艘轮船位于灯塔北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16计算（10分） 16. 计算 （1） （2） 17. 生肖文化是中华传统文化重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． （1）求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ （2）商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 18. 为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整统计表和统计图． 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 （1）抽取的学生共有________人，________，________； （2）从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； （3）若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 19. 某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出经过、、三点的抛物线表达式； （2）求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 20. 随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块空地上修建运动场地．如图所示，为这块空地，已知空地的面积为，的长为，现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地，使在边上，点、点分别在边、边上． （1）求的边上的高； （2）为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积． 21. 已知：如图，在中，，以为直径作，交于点，与所在直线交于点，连接． （1）如图1，点在边上，当时，求的度数； （2）如图2，点在边延长线上，若，，求的长． 22. 如图，在中，，，点和点分别是边，上的动点（不与端点重合），且，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接、，将沿折叠，得到． （1）①如图1，求证：； ②如图2，连接，求证：四边形是平行四边形； （2）如图3，，当四边形为菱形时，求四边形与四边形的面积比； （3）如图4，，连接并延长，分别交于点，交于点，当的面积与四边形的面积相等时，请直接写出的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求的值及点的坐标； （2）当时，求的值； （3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； （4）点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2026年中考适应性测试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题(本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各自几何体的特点分析其主视图和俯视图即可得出答案． 【详解】解：．四棱锥：主视图是三角形，俯视图是四边形(带对角线)，两者不相同，故该选项不符合题意； ．圆锥：主视图是三角形，俯视图是圆(带圆心)，两者不相同，故该选项不符合题意； ．球：主视图和俯视图都是圆，两者相同，故该选项符合题意； ．三棱柱：主视图是矩形(带虚线)，俯视图是三角形，两者不相同，故该选项不符合题意； 2. 年月日，国家统计局发布《年国民经济和社会发展统计公报》初步核算，全国国内生产总值亿元，成功迈进万亿元的新台阶，这一成绩充分展现了我国经济的强大韧性与活力．数据用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 2026年央视春晚的舞台上多款机器人惊人亮相，动作精准，队形整齐，尽显中国科技的魅力．下列机器人简笔图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】合并同类项法则，单项式乘法法则，单项式乘多项式法则，积的乘方法则，判断各选项运算是否正确． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 5. 马年的吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，某兴趣小组制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物的图片．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下图片内容后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物图片都是“骋骋”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别编号为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的结果有1种， 则两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的概率为． 6. 如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，将点，向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点，若点恰好落在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标平移规律得到点的坐标表达式，再利用轴上点横坐标为求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：点坐标为，向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点， ， 又点在轴上，轴上所有点的横坐标为， ， 解得， 将代入点的纵坐标，得纵坐标为， 点的坐标为， 故选：A． 8. 有公共顶点，的正三角形与正五边形按如图位置摆放，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出正五边形和正三角形每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出，最后求出结果即可． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为：， 正三角形每个内角的度数为， ∴， ∵正五边形中，正三角形中， ∴， ∴， ∴． 9. 古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两， 根据题意得， 故选：B． 10. 如图，在中，，高，交于点．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于边的下方点，连接、．若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，证明得到，，则，由作图可知，平分，，得到，设，则，，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 由作图可知，平分，， ， 设，则，， ， ， 解得， ， 平分，，， ， ， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（本题共5道小愿，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解，分解到不能再分解为止. 【详解】解：. 12. 在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义、方差的定义，先根据平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的定义求解即可判断． 【详解】解：由题意得，第一组数据的平均数为， ； ∵去掉一个最高分和一个最低分后第二组数据的平均数为， ， ， 故答案为：． 13. 物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【答案】18 【解析】 【分析】设阻力和阻力臂的函数解析式为，得出，再根据阻力阻力臂动力动力臂求解即可． 【详解】解：由题意得，设和阻力臂的函数解析式为， 将代入，得， ∵阻力阻力臂动力动力臂， 动力， ∴动力为18． 14. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，，，， ， 海里， 海里， 即处与处的距离约是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据圆周角定理可得在点P的运动过程中，点Q的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点P的运动过程中，始终有， ∴如图，在点P的运动过程中，点Q的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16计算（10分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． （1）求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ （2）商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 【答案】（1）每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元 （2）该商家最少购进50枚甲种纪念币 【解析】 【分析】（1）设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元．根据用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚列出分式方程求解即可得出答案． （2）设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚．根据购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元列出不等式求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元． 根据题意得 解得： 经检验是原方程的根， ∴ 答：每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元． 【小问2详解】 解：设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚． 根据题意得 解得： ∴该商家最少购进50枚甲种纪念币． 18. 为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 （1）抽取的学生共有________人，________，________； （2）从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； （3）若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【答案】（1）200，40，20 （2）177 （3）全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人 【解析】 【分析】（1）根据参加篮球社团的人数和占比求出总人数，然后可求出参加舞蹈人数的占比，最后即可求出参加排球人数的占比． （2）根据中位数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生共有：（人） ， 则， 故答案为：200；40，20． 【小问2详解】 解：将184，172，180，179，175，176，178，172 从小到大排列为：172，172，175，176，178，179，180，184， 则中位数为：． 【小问3详解】 解：（人） 答：全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人． 19. 某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出经过、、三点的抛物线表达式； （2）求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 【答案】（1） （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）增加起跳高度后的抛物线表达式为，求出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，经过、、三点的抛物线的对称轴为直线， 顶点坐标为， ∵图像过原点， 设抛物线的函数表达式为， 把，代入中， 得， 解得， 经过、、三点的抛物线表达式为； 【小问2详解】 根据题意，抛物线形状不变， 增加起跳高度后的抛物线表达式为， 当时，， 解得，（舍去）， ， ， 答：线段的长度为． 20. 随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块空地上修建运动场地．如图所示，为这块空地，已知空地的面积为，的长为，现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地，使在边上，点、点分别在边、边上． （1）求的边上的高； （2）为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积． 【答案】（1）的边上的高为 （2）矩形的面积最大为 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，利用三角形的面积求解即可． （2）设交于点，的长为，由矩形的性质证明，由相似三角形的性质得出，再根据线段的和差得出，再根据矩形的面积公式列出关于x的二次函数，最后利用二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵空地的面积为，长为210m ∴ ∴ ∴ 答：的边上的高为120m． 【小问2详解】 解：设交于点，的长为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴拋物线开口向下， ∴当时，四边形面积最大，即 答：矩形的面积最大为． 21. 已知：如图，在中，，以为直径作，交于点，与所在直线交于点，连接． （1）如图1，点在边上，当时，求的度数； （2）如图2，点在边延长线上，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，则，由直角三角形中的两个锐角互余即可得出答案． （2）连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三线合一的性质得出，再根据正弦的定义得出，由外角的定义得出，由余弦的定义得出，再求出半径，由圆周角定理得出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：连接，， ∵，， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在Rt中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 22. 如图，在中，，，点和点分别是边，上的动点（不与端点重合），且，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接、，将沿折叠，得到． （1）①如图1，求证：； ②如图2，连接，求证：四边形是平行四边形； （2）如图3，，当四边形为菱形时，求四边形与四边形的面积比； （3）如图4，，连接并延长，分别交于点，交于点，当的面积与四边形的面积相等时，请直接写出的值． 【答案】（1） ①证明：∵将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，且， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ②证明：如下图， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①首先证明，，然后利用“”证明即可；②首先证明，结合，可证明，即可证明结论； （2）过点作于点，证明四边形为正方形，设，易得，再解得，进而可得，即可获得答案； （3）过点作于点，设，则，结合的面积与四边形的面积相等，可解得，利用勾股定理可得，，由平行四边形的性质可得，证明直线垂直平分，即可确定的长度，进一步解得；证明为等腰直角三角形，，由相似三角形的性质解得，易知；证明为等腰直角三角形，进而解得，的长度，然后计算的值即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 如下图，过点作于点， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即四边形与四边形的面积比为； 【小问3详解】 如下图，过点作于点， ∵， ∴，即， 设，则， ∵的面积与四边形的面积相等， ∴，即，解得， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分，即，且， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题综合性强，难度较大，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求的值及点的坐标； （2）当时，求的值； （3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； （4）点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），的坐标为 （2）， （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点之间的距离公式列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，①当边与抛物线有交点时，②当边与抛物线有交点时，分别画出图形，列式计算即可求解； （4）分四种情况讨论，画出图形，列出不等组，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， ∴，令，即， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，点，点， ∴，即， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ①当边与抛物线有交点时，如图1， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点G和点N关于对称轴对称， ∴，， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； ②当边与抛物线有交点时，如图2， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点M和点G关于对称轴对称， ∴， ， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； 综上，或； 【小问4详解】 解：∵对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点， ∴， 分情况讨论， 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得或， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得，不符合题意； 综上，的取值范围是或或，即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $