浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={0,1},B={-1,0,1,2},则A∩B=(). A.{-1,0,1} B.{0,1 C.{-1,0} D.1) 2.如果空间两条直线a与b没有公共点，那么a与b() A.共面 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线 3.函数f(x)=sin(2x+乙)的最小正周期是() 6 3π A.2π B. C.π D. 2 2 4.己知平面，B,直线m,mca,则“∥B”是“m∥B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知平面向量a=(-1,2),b=(1,m,若a⊥b,则川b=() 5 A. B.2 c.5 D.5 2 6.已知函数f(x) 3,x≤-1 ,则不等式f(x)<1的解集为() -x2+6x+1,x>-1 A.(-0,-1) B.(6,+o0) C.(-0,0)U(6,+0) D.(-1,0)U(6,+o) 7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法假设二维空 高一数学学科试题第1页（共4页） 间中有两个点A(x,y),B(x2,2),O为坐标原点，定义余弦相似度为c0s(A,B)=cos<OA,OB> (其中<OA,OB>为向量OA,OB的夹角)，余弦距离为1-cos(A,B).已知M(cosa,sina), 3 N0,),若M,N的余弦距离为}，则sin(子-2a)=() 4、24 8、17 17 4 C. D. 25 25 25 25 8.已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x-2),且当x∈[0,2]时，f(x)=e-1若 a=f(-3),b=f(4),c=f(1og27),则a,b,c的大小关系为() A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.b<c<a 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若复数z=-1-2i,则下列结论正确的是() A.z的虚部为-2i B.z的共轭复数为-1+2i C.|z5 D.,=1+3 “1-i2 10.已知函数f(x)=2sin(2x- -1，则() Af0)=f经 B)的单调递增区间为[k红-受：k红+ 5z(k eZ) 12 C.f(x)的值域为[-3，] D.x= 是fx)图象的一条对称轴 12 11.己知正四棱台ABCD-AB,C,D,上底面的边长为√2，下底面的边长为2√2，且高为3，则下列 说法正确的有() A.该四棱台的体积为14 B.若E为CC,的中点，则AC,∥平面BDE C.该四棱台的侧面积为3√19 D.该四棱台的外接球表面积为20π 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数y=x-1+,1的定义域是 3-x 高一数学学科试题第2页（共4页） 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c若A=T, =4,a=2,则△ABC外接圆的 面积为 1,(x≥ 2 14.已知函数f(x)= 向量e,e2,e是平面内三个不同的单位向量，其中向量e,e2 -1,(x<) 相互垂直，且满足f(e·e2)+f(e2·e)+f(ee)=1,则(W3e+e)e的取值范围 是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分)己知△ABC中的内角A，,B,C所对的边为a,b,c,asin B=V3 bcosA. (1)求角A: 2)若a=2,c-号求△C的时长 16(本小题15分)已知函数f)=sin6x+)+coxl水7，满足f了=1， (1)求p的值： (2)若f(a)= 2,且a∈(0，m),求csa. 17.(本小题15分)如图，在菱形ABCD中，己知AB=2,∠DAB=60°，点E,F分别是AB, AD的中点，点G为BC的四等分点（BG=号BC,设AB=aD=6. (1)用向量a,b表示EG,FG: (2)判断EF,EG是否垂直？用向量的方法证明你的结论： (3)点P为线段CD上的一个点，求AP·AB的取值范围. D C G B 高一数学学科试题第3页（共4页） 18.(本小题17分)如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为 正三角形，PB=PC=3,点E在PB上. (1)若E为中点，求证：PD∥平面AEC: (2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值： (3)若PE:EB=2:1,在棱PC上是否存在一点F,使DF∥平面AEC?并证明你的结论. D 2,8)=2+2 19（本小题17分)已知函数f)=2”-2, 2 (1)求证：[g(x)-f(x订=1： (2)设函数h(x)=g(2x)-2mf(x),其中m∈R ()当m=2时，求函数h(x)在区间[-1,2]上的最大值和最小值： ()若函数h(x)在(0,2)上有两个零点x,x2,且x+x2=2,求实数m的值. 高一数学学科试题第4页（共4页）2025学年第二学期杭州北斗联盟联盟期中 联考 高一年级数学学科参考答案 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 序号 2 3 4 6 8 答案 B D C A A D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小 题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分 序号 9 10 11 答案 BC BCD ABD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[1,3)U(3,+∞) 13.2元 14.[3,2] 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 15.解：(1)由正弦定理得：sin Asin B=V3 sin BcosA...3分 ,sinB≠0 .tanA=√3 ..5分 :0<A<π .7分 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA,得： 4=(b+cy2-3bc,又bc=8, b+c=2W5. ...11分 故△ABC的周长为a+b+c=2+2V3. ...13分 16解0：/3=sm写+0+co号-1 π 1 ∴.sin(5+p)= 2 .2分 3 :7+p=2kr+T或T+0=2kπ 3 63 5π，keZ :0=2kr-严或0=2kx+T,keZ 5分 6 水0=-石 …….7分 6 f)=-sin(x-石+cosr=V -sinx- 6 2C0Sx+COSx 1 (2) ...10分 -sinx+ 2 2cosr=sin(x+ 6 ÷fa)=5 即sina+马=5 11分 2 6 2 rae(0,x)∴a+T∈( ，7π)， 666 ππ ∴.a+ ,或+ π2π 63 63 …….13分 a=7,或a=T,故cosa= V3 6 2 ,或cosa=0.…15分 17.解：(1)根据向量三角形法则： EG=EB+BG=}B+BC=a+方 .2分 4 2 FG=FA+AB+BG =0+亚+c=+a+6=a- 41 ..4分 (2F=EA+-a+方 2 2 4 48 8 已知d=l=2,∠D4B=60,a-6=2,a2=6=4 际而=0 .EF与EG不垂直，故EF与EG不垂直.9分 (3)设Dp=tDCt∈[0，] AP=AD+DP=b+ta 11分 :.AP.AB=(b+ta).a=b.a+ta'=4t+2 .13分 :t∈[0，]，AP.AB的最大值为6，最小值2 AP.AB∈[2,6] 15分 18.解：(1)连接BD交AC于点O,连接OE, 因为ABCD是正方形，所以O为BD中点，....·.2分 所以在△PBD中，OE为中位线，OE/PD........4分 又：PD文平面AEC,OEc平面AEC,∴.PD∥平面AEC.7分 (2)当F是棱PC中点时，BF∥平面AEC.....8分 证明如下：取PE中点M,连接FM,DM,则 FM//CE, ,FM丈平面AEC,ECC平面AEC, ∴.FM∥平面AEC..12分 在△BDM中，E为BG中点，O为BD中点，OE//DM DM丈平面AEC,EOc平面AEC,所以DM∥平面AEC;..15分 DMOMF=F,所以平面DFG∥平面AEC; DFC平面DFG,∴.DF∥平面AEC. ….17分 19.解：由平方差公式： [g(x)]2-[f(x]=[g(x)-f(x)][g(x)+f(x)】.....2分 g(x)-f(x)=2,g(x)+f(x)=2*,....3分 因此代入得[g(x)-f(x)g(x)+f(x)]=2-x.2=2°=1 故[g(x)]2-[f(x)]=1得证. ……….4分 (2)()核心思路：换元后求二次函数在指定区间的最值。 当m=2时，令1=2-2，h0)=2-21+1 ..6分 t=2-2x单调递增，当x∈[-1,2]时： 酯1时，子当x2附1三的 ,因此1e2 315 ..7分 4 二次函数0=2-21+1开口向上，对称轴为=2 最小值在对称轴处取得，h(2)=-1, ………8分 最大值M-=!,故最大值为 41 8 .9分 (ii)先求满足题意的m的取值范围 15 方法一：转化为方程-+1=0在t∈(0，子)有两个不等根…10分 △>0 eo,5 b 根的分布 2a .12分 h(0)>0 9p0 解出√2<m< 257 120 ….13分 方法二：分参转化为有两个交点m=1+.1(0,15.…10分 2 257 .12分 解出V2<m< 257 120 ……13分 再根据x,+x2=2求出m的值 P一mt+1=0韦达定理+6=2m 442=2 1=2-2,12=2-2, …….14分 4+12=2-21+25-25=(2+2)1- 1 25）=2m 又￥+=2，得到2”+20= 3 ①..15分 46=(21-229-2)=2*8-2-8-1+1」 2-。2*n=2, 两边同乘2+得，(2+)2+1-(22+22)=2·2+，x1+x2=2, 代入整理得9=(22+22)=(2+2)2-22+ 整理得9=(2+22)2-8② ………….16分 结合0@得(8m'=17,求出m 3W17 ,满足题意。…17分