第27章 相似 章末复习-【金牌导学案】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

该初中数学课件聚焦相似章末复习，系统梳理了平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定、位似及应用等核心知识，通过知识点分块与例题结合，构建从基础概念到实际应用的知识网络。 其亮点在于分层设计与素养导向，基础巩固夯实概念，综合提升通过电阻并联几何模型等创新题培养数学思维，中考链接结合广东真题强化应用意识。这种设计让学生逐步提升，教师可精准教学，有效巩固知识。

 第二十七章　 金牌导学案 相似 1 基础巩固 2 综合提升 金牌导学案 金牌导学案 相似章末复习 3 中考链接 平行线分线段成比例 1．如图，AB∥CD∥EF， ，且BC＝9，则BE的长为（　　） A．6 B．13 C．15 D．17 C 相似章末复习 基础巩固 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知 AE＝2， ，则EC的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 A 相似章末复习 基础巩固 相似三角形的性质 3．如图，△ADE∽△ABC，且 ＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为　　　　． 4. 如图，△ABC∽△ACD，若∠A＝63°，∠ACD＝45°，则∠ACB的度数为　　　　． 4∶9 72° 相似章末复习 基础巩固 相似三角形的判定 5. 如图，下列条件不能判定△ADB与△ABC相似的是（　　） 6．如图，在△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是（　　） A．△ABD B．△CDF C．△BCD D．△ACE A C 相似章末复习 基础巩固 相似三角形的判定与性质 7．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝6，EF＝3， BG⊥AE，垂足为G.若BG＝8，则△EFC的面积为 　　　　． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长 为　　　　． 6 4 相似章末复习 基础巩固 相似三角形的应用 9．如图，王华把一面很小的镜子水平放置在离树底（点B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢（点A）.已知DE＝4米，王华目高CD＝1.6米，则树的高度AB为（　　） A．4.8米 B．3.2米 C．8米 D．20米 B 相似章末复习 基础巩固 10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝60 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝10 m，则树高AB为（　　） A．5 m B．6.5 m C．7 m D．7.5 m B 相似章末复习 基础巩固 位似 11．如图，△ABC经过位似变换得到△A1B1C1，点O是位似中心，且OB＝BB1，则△A1B1C1与△ABC的面积比是（　　） A．2∶1　　 B．3∶1 C．4∶1　　 D．6∶1 C 相似章末复习 基础巩固 12．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2），以原点O为位似中心，相似比为1∶2，将线段AB缩小后得到线段DE，则端点D的坐标为（　　） A.（2，1） B.（2，2） C.（1，1） D.（1，2） C 相似章末复习 基础巩固 13．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，那么BF ∶FC的值为（　　） A．2∶3　　 B．2∶5 C．3∶5　　 D．5∶7 A 相似章末复习 综合提升 14．如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE与对角线AC交于点F， ，CD＝10，则BE的长为（　　） B 相似章末复习 综合提升 15.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相于点O，OD＝2OA，OC＝2OB， （1）求证：△AOB∽△DOC. 相似章末复习 综合提升 （2）若AC平分∠BCD，求证：AB2＝AO·AC. 相似章末复习 综合提升 16.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边BC，AC上的点，AD与BE相交于点F，且BD＝CE.求证： （1）△ABD≌△BCE. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°. 又BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE(SAS). 相似章末复习 综合提升 （2）AE2＝EF·EB. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠CBA＝60°. 由(1)得△ABD≌△BCE， ∴∠BAD＝∠CBE. ∴∠BAC－∠BAD＝∠CBA－∠CBE. ∴∠FAE＝∠ABE. 又∠FEA＝∠AEB，∴△FAE∽△ABE. ∴ . ∴AE2＝FE·EB. 相似章末复习 综合提升 17.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.求证： （1）CD是⊙的切线． 证明：连接OD，∵BC为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°. ∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COD＝∠COB. 又OD＝OB，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS). ∴∠ODC＝∠OBC＝90°，即OD⊥CE. ∴CD是⊙O的切线． 相似章末复习 综合提升 （2）AD·BC＝OB·BD. 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠OBC＝90°. 由(1)知∠BAD＝∠COB， ∴△ABD∽△OCB. ∴ . ∴AD·BC＝OB·BD. 相似章末复习 综合提升 18. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为E.连接BD. （1）求证：CE是⊙O的切线． 证明：连接OD， ∵AD平分∠EAC，∴∠OAD＝∠EAD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠ODA＝∠EAD. ∴OD∥AE. ∴∠ODC＝∠E＝90°. ∴OD⊥CE. ∴CE是⊙O的切线． 相似章末复习 综合提升 （2）求证：△CDB∽△CAD. 证明：由(1)得OD⊥CE， ∴∠CDB＋∠ODB＝90°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ODA＋∠ODB＝90°. ∴∠CDB＝∠ODA. ∵∠ODA＝∠CAD，∴∠CDB＝∠CAD. 又∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD. 相似章末复习 综合提升 解：由(2)得△CDB∽△CAD， ∴CA＝9. ∴AB＝CA－BC＝6. ∴⊙O的半径为3. 相似章末复习 综合提升 19.创新题 请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？ 相似章末复习 综合提升 我们可以利用公式 求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图1，在直线l上任取两点A，B，分别过点A，B作直线l的垂线，并在这两条垂线上分别截取AC＝R1，BD＝R2，且点C，D位于直线l的同侧，连接AD，BC，交于点E，过点E作EF⊥直线l，垂足为F，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R. 图1 相似章末复习 综合提升 任务： （1）上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是什么： 依据1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； 依据2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 两组角对应相等的两个三角形相似 相似三角形的对应边成比例 相似章末复习 综合提升 （2）如图2，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，请在图3中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长． 图2 图3 ∟ E M F N 解：如图，线段EF的长表示R. 在AB上取点M，使BM＝3， 在CD上取点N，使CN＝6， 连接CM，BN交于点E，过点E作EF⊥BC于点F， 则线段EF的长表示R. 相似章末复习 综合提升 （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图4，作△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC＝R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD＝R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2.他的方法是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 图4 小明的方法正确．理由：∵∠C＝90°，∴CA⊥BC. 由题意可知DB＝R，AC＝R1，CE＝R1＋BE， 相似章末复习 综合提升 20.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作DP∥BC交AC的延长线于点P. （1）求证：DP是⊙O的切线． 证明：连接OD， ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝ ∠BAC＝45°. ∴∠BOD＝2∠BAD＝90°. ∵DP∥BC，∴∠ODP＝∠BOD＝90°. ∴DP⊥OD. ∴DP是⊙O的切线 相似章末复习 综合提升 （2）求证：△ABD∽△DCP. 证明：∵DP∥BC， ∴∠ACB＝∠P，∠BCD＝∠CDP. ∵∠ACB＝∠ADB，∠BCD＝∠BAD， ∴∠ADB＝∠P，∠BAD＝∠CDP. ∴△ABD∽△DCP. 相似章末复习 综合提升 （3）若BD＝3，AC＝4，求PC的长． 相似章末复习 综合提升 1.（2019·广东） 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF. （1）求证：ED＝EC. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠D， ∴∠BCD＝∠D. ∴ED＝EC. 相似章末复习 中考链接 （2）求证：AF是⊙O的切线． 证明：连接OA，OB，OC， ∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC. 又OB＝OC，∴OA⊥BC. ∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠F. ∴∠ACD＝∠CAF＋∠F＝2∠F. 又∵∠ACD＝2∠BCD，∴∠BCD＝∠F. ∴AF∥BC. ∴OA⊥AF. ∴AF是⊙O的切线． 相似章末复习 中考链接 （3）若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长． 解：∵∠ABE＝∠CBA，∠BAE＝∠BCD＝∠ACB， ∴△ABE∽△CBA. ∴ . ∴AB2＝BC·BE＝25. ∴AB＝5. 连接AG，∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB. ∵G是内心，∴∠DAG＝∠GAC. ∴∠BAG＝∠BGA. ∴BG＝AB＝5. 相似章末复习 中考链接 2.（2016·广东） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF， 与直径BC的延长线交于点F. （1）求证：△ACF∽△DAE. 证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 又∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°. 又OA＝OC，∴△OAC是等边三角形．∴∠AOC＝∠OAC＝60°. ∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°.∴∠CAF＝∠AFC＝30°. 又∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°.∴∠D＝∠DEA＝30°. ∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC.∴△ACF∽△DAE. 相似章末复习 中考链接 相似章末复习 中考链接 （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线． 证明：过点O作OM⊥EF于点M， ∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF， ∴△OAF≌△OBE(ASA). ∴OE＝OF. 又∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°. ∴∠OEB＝∠OEM. 又OB⊥DE，OM⊥EF，∴OM＝OB. ∴EF是⊙O的切线． 相似章末复习 中考链接 3.（2021·广东） 如图，边长为1的正方形ABCD中，E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长． 解：延长BF交CD于H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝90°. 由折叠得EF＝EA，∠EFB＝∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EFH＝90°. ∵E是AD的中点，∴ED＝EA＝EF. 又EH＝EH，∴Rt△EDH≌Rt△EFH(HL).∴∠DEH＝∠FEH. 又∵∠AEB＝∠FEB，∴∠HEB＝90°.∴∠DEH＋∠AEB＝90°. ∵∠ABE＋∠AEB＝90°.∴∠DEH＝∠ABE. 又∠D＝∠EAB，∴△DHE∽△AEB. 相似章末复习 中考链接 4.（2023·广东） 如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E，连接CA′. （1）求证：AA′⊥CA′. 证明：∵点A关于BD的对称点为A′， ∴AE＝A′E，AA′⊥BD. ∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC. ∴OE∥A′C. ∴AA′⊥CA′. 相似章末复习 中考链接 （2）以点O为圆心，OE为半径作圆． ①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′＝CA′； 证明：如图2，设⊙O与CD相切于点F，连接OF， 并延长交AB于点G，∴OF⊥CD，OF＝OE. ∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD＝ BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝ AC. ∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB. ∴∠GAO＝∠GBO. ∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA). ∴OG＝OF. ∴OG＝OE. 由(1)知AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO. ∵∠EAB＋∠GBO＝90°，∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°. ∴3∠EAO＝90°. ∴∠EAO＝30°. 由(1)知AA′⊥CA′，∴tan ∠EAO＝ . ∴tan 30°＝ . ∴AA′＝ CA′. 相似章末复习 中考链接 ②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O积． 解：如图3，设⊙O切CA′于点H，连接OH，∴OH⊥CA′. 由(1)知AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′. ∴△COH∽△CAA′△AOE∽△ACA′. 相似章末复习 中考链接 感谢聆听 $