21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【金牌导学案】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数的关系，通过课前预习利用求根公式推导得出两根之和与积的结论，搭建起与求根公式、判别式的知识支架，为课堂学练奠定基础。 其亮点在于采用分层检测设计，从基础计算到综合应用（如矩形边长与对角线问题），结合推理能力培养和模型意识渗透，学生能提升解题与实践能力，教师可通过清晰的教学路径提高教学效率。

 第二十一章　 金牌导学案 一元二次方程 1 课前预习 2 课堂学练 金牌导学案 金牌导学案 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 3 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 课前预习 1．【例】设x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则 x1＋x2＝　　　　，x1·x2＝　　　　． 一元二次方程的根与系数的关系 2.若方程2x2＋6x－1＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2等于（　　）　　　　　　　　　　　　　　　 A．6 B．－6 C．3 D．－3 3．已知x1，x2是一元二次方程x2－8x＋3＝0的两个根，则x1x2＋x1＋x2的值为　　　　． 2 D　 11 课堂学练 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 4.【例】已知x1，x2是一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根，求下列各式的值： 课堂学练 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 5.已知x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根，求下列各式的值： （1）（x1＋3）（x2＋3）.　 （2）（x1－x2）2. 解：由条件得x1＋x2＝5，x1x2＝6. (1)(x1＋3)(x2＋3)＝x1x2＋3(x1＋x2)＋9＝6＋3×5＋9＝30. (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝52－4×6＝1. 课堂学练 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 6．【例】已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2－1＝0有实数根． （1）求m的取值范围． 一元二次方程的根与系数的关系与根的判别式综合运用 解：(1)由题意得Δ＝(2m－1)2－4(m2－1)≥0， 解得m≤ . 课堂学练 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且 ＝9，求m的值． 课堂学练 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 7.已知关于x的方程x2－（2m－1）x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2. （1）求m的取值范围． （2）若（x1＋1）（x2＋1）＝3，求m的值． 解：(1)由题意得Δ＝[－(2m－1)]2－4m2≥0，解得m≤ . (2)由条件得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2. ∵(x1＋1)(x2＋1)＝3，∴x1x2＋x1＋x2＋1＝3. ∴m2＋2m－1＋1＝3，解得m1＝1，m2＝－3. ∵m≤ ，∴m＝－3. 课堂学练 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 8.一元二次方程x2－10x＋9＝0的两根分别是x1，x2，则x1·x2的值是（　　）　 　　　　　　　　　　　　　　　 A．－9 B．－10 C．9 D．10 9.设x1，x2是方程x2－x－2＝0的两根，则4x1＋ x1x2＋4x2＝（　　）　　　　　　　　　　　　　　　 A．－3 B．－2 C．2 D．3 C　 C　 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 10.已知关于x的一元二次方程x2＋6x＋（2m＋1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围． 解：(1)由题意得 Δ＝62－4(2m＋1)＝36－8m－4＝32－8m≥0， 解得m≤4. 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 （2）如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1x2－x1－x2＞8，求m的取值范围． (2)由条件得x1＋x2＝－6，x1·x2＝2m＋1. ∵2x1x2－x1－x2＞8， ∴2(2m＋1)＋6＞8， 解得m＞0. 由(1)可得m≤4， ∴m的取值范围是0＜m≤4. 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 11.已知关于x的一元二次方程x2－（m＋5）x＋3m＋6＝0的两根是一个矩形的两邻边的长． （1）求证：方程总有两个实数根． (1)证明： ∵Δ＝[－(m＋5)]2－4×1×(3m＋6) ＝m2－2m＋1＝(m－1)2≥0， ∴方程总有两个实数根． 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 （2）当矩形的对角线长为5时，求m的值． (2)解：设矩形的两边长分别为a，b， 则a＋b＝m＋5，ab＝3m＋6. ∵a2＋b2＝52， ∴(a＋b)2－2ab＝25. ∴(m＋5)2－2(3m＋6)＝25. 整理得m2＋4m－12＝0. 解得m1＝－6，m2＝2. ∵a＋b＝m＋5＞0，∴m的值为2. 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 （3）当m为何值时，矩形为正方形？ (3)解：由题意得 Δ＝[－(m＋5)]2－4×1×(3m＋6) ＝m2－2m＋1＝(m－1)2＝0， 解得m＝1. 当m＝1时，矩形为正方形． 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 12.（2024·内江）已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2. （1）填空：x1＋x2＝　　　　，x1x2＝　　　　． 解：(1)由条件得x1＋x2＝p，x1x2＝1， p 1 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 (3)由条件得 x1＋x2＝p，x1x2＝1. ∵ ＝2p＋1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1. ∴p2－2＝2p＋1， ∴p2－2p－3＝0， 解得p＝－1或p＝3. 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 ∴一元二次方程x2－px＋1＝0为x2＋x＋1＝0或x2－3x＋1＝0. 当p＝－1时，Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，不合题意，舍去； 当p＝3时，Δ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，符合题意． ∴p＝3. 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 13.已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2＝0有两个实数根x1和x2. （1）求m的取值范围． 解：(1)由题意得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0， 解得m≤ . 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 分层检测 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 感谢聆听 $