21.2.4根与系数的关系 导学案 2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），从二次项系数为1的方程实例切入，引导学生观察根与系数的联系，再通过小组讨论结合求根公式推导一般形式下的关系，构建从特殊到一般的学习支架，衔接此前的求根公式知识。 资料突出自主探究与逻辑推导，学生通过自研教材和小组合作推导定理，培养抽象能力与推理意识，即时训练与检测涵盖直接计算、逆向构造方程、含参问题等，解析详尽，助力提升运算能力与应用意识，贴合新课标核心素养。

三联教育集团 八年级上导学案 使用时间：2025年 月 日 制作人：高有清 21.2.4一元二次方程根与系数的关系（原卷版） 姓名: 班级: 小组:________ 1、 学习目标 1. 准确表述一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能用数学符号表示. 2. 熟练运用韦达定理求两根和、积及基本对称式，解决含参方程问题. 二、重、难点 重点：熟练运用韦达定理求两根和、积及基本对称式，解决含参方程问题； 难点：导学生通过计算多个方程实例，自主发现根与系数关系，并完成代数推导. 三、学习指导流程 （一）根与系数的关系 1.自研教材第15页以及第16页例2上面的内容，完成以下任务. 思考1：二次项系数为1的情况 若方程 （ 为根）展开为一般形式，根与系数的关系是什么？ 将左边展开得： 对比 ，得： 一次项系数： 常数项： （1）将方程化为一般形式之后，一次项系数p=___________,常数项q=__________. 2.小组讨论：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？为什么？ （1）由求根公式可知， 两根分别为x1=______________________，x2=_________________________. （2）两根之和x1+x2=______________. （3）两根之积x1x2=_________________. 3.总结： （1）两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数。即： （2）两个根的积等于常数项与二次项系数的比。即： 即时训练： 1. 对于一元二次方程，其两个根的和与积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知一元二次方程 的两根为 和 ​，下列结论中正确的是（ ） A. ​， B. ​， C. ， D. ， （二）跟与系数关系的应用 1.自研教材第16页练习以上的内容，完成以下任务. 即时训练： 1.不解方程，求下列方程两根的和与积. ①x2-3x=15； ②5x2-1=4x2+x 四、学习检测： 1.对于一元二次方程，其两根之和与两根之积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知一元二次方程的两根为和，则该方程的一般形式（二次项系数为1）为（ ） A. B. C. D. 3.若方程的两根之和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.方程的两根之和为______，两根之积为______. 5.已知两根之和为，两根之积为，则对应的一元二次方程（二次项系数为1）为______. 6.不解方程，求下列方程两个根的和与积： (2) ; (4) . 21.2.4一元二次方程根与系数的关系（解析版） 姓名: 班级: 小组:________ 2、 学习目标 3. 准确表述一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能用数学符号表示. 4. 熟练运用韦达定理求两根和、积及基本对称式，解决含参方程问题. 二、重、难点 重点：熟练运用韦达定理求两根和、积及基本对称式，解决含参方程问题； 难点：导学生通过计算多个方程实例，自主发现根与系数关系，并完成代数推导. 三、学习指导流程 （一）根与系数的关系 1.自研教材第15页以及第16页例2上面的内容，完成以下任务. 若方程 （ 为根）展开为一般形式 ，根与系数的关系是什么？ 将左边展开得： 对比 ，得： 一次项系数： 常数项： （1）将方程化为一般形式之后，一次项系数p=-（+）,二次项系数q=x1x2. 2.小组讨论：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？为什么？ 思考2：一般形式（）的情况 对于方程 （），根的和与积如何用系数表示？ （1）由求根公式可知， 两根分别为x1=，x2=. （2）两根之和x1+x2=. （3）两根之积x1x2=. 3.总结： （1）两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数。即： （2）两个根的积等于常数项与二次项系数的比。即：= 即时训练： 1. 对于一元二次方程，其两个根的和与积分别是（ B ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知一元二次方程 的两根为 和 ​，下列结论中正确的是（ A ） A. ​， B. ​， C. ， D. ， （二）跟与系数关系的应用 1.自研教材第16页练习以上的内容，完成以下任务. 即时训练： 1.不解方程，求下列方程两根的和与积. ①x2-3x=15； ②5x2-1=4x2+x 解：①化为一般式：； ，，； 两根之和：； 两根之积：. ②化为一般式； ，，； 两根之和：； 两根之积：. 四、学习检测： 1.对于一元二次方程，其两根之和与两根之积分别为（ A ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知一元二次方程的两根为和，则该方程的一般形式（二次项系数为1）为（ A ） A. B. C. D. 3.若方程的两根之和为，则的值为（ A ） A. B. C. D. 4.方程的两根之和为2，两根之积为. 5.已知两根之和为，两根之积为，则对应的一元二次方程（二次项系数为1）为 6.不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1) ; (2) . 解：（1）化为一般形式： ，， 两根之和： 两根之积： （2）化为一般形式： ，， 两根之和： 两根之积： 今日之事今日毕 日积月累成大器 学科网（北京）股份有限公司 $