21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 【导学案】　 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养目标 1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积. 2.能利用根与系数的关系求代数式的值,增强综合应用知识解决问题的能力. ◎重点:一元二次方程的根与系数的关系的推导、运用. 【预习导学】 知识点一：一元二次方程的根与系数的关系   阅读课本,回答下列问题.(阅读时,尝试自己找出当二次项系数不为1时,x1,x2与系数a,b,c之间的关系,并完成x1+x2=-,x1x2=的推导过程) 1.以x1,x2为根的方程(x-x1)(x-x2)=0的一般形式是　,  若x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,那么x1,x2与p,q之间的关系是x1+x2= ,x1x2= .  2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有根. (1)根据求根公式表示出方程的根. (2)若用x1,x2表示方程的两个根,请你求出x1+x2,x1x2与系数a,b,c的关系. 　　归纳总结　若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=　　　　,x1x2=　　　　,即一元二次方程两个根的和等于　,  两个根的积等于 .  【合作探究】 任务驱动一：根与系数的关系 1.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)2x2+5x=0;(2)4x2+1=7x;(3)3x2-x=2. 变式演练　 1.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是 .  2.已知α,β是方程x2-3x+2=0的两根,求下列各式的值: (1)+;(2)α2+αβ+β2; (3)α2+αβ-3α. 3.已知关于x的方程x2-3ax-3a-6=0. (1)求证:方程恒有两个不相等的实根. (2)若x1,x2是该方程的两个实数根,且(x1-1)·(x2-1)=1,求a的值. 任务驱动二：根与系数关系的应用 2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值. 变式演练　 1.已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+1=0,如果方程的两根之和等于两根之积,求k的值. 2.已知关于x的一元二次方程x2+mx-6=0. 　　(1)小明在解方程x2+mx-6=0时,得到一个根为x=-3,求m的值. (2)在(1)的条件下,设x1,x2是该方程的两个根,求x1+x2-2x1x2的值. 方法归纳交流　应用根与系数的关系的前提是Δ .  　　3.(应用意识)已知平行四边形ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根. (1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形? (2)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少? 变式演练　 若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根为x1,x2(x1≠x2). (1)求k的取值范围. (2)若x1,x2是一个矩形的两条边长且矩形对角线的长为,求k的值. 参考答案 【预习导学】 知识点 1.x2-(x1+x2)x+x1x2=0　-p　q 2.(1)答:x=. (2)答:x1+x2=+==-; x1x2=×===. 归纳总结 -　　一次项系数与二次项系数的比的相反数　常数项与二次项系数的比 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)x1+x2=-,x1x2=0; (2)x1+x2=,x1x2=; (3)x1+x2=,x1x2=-. 变式演练　1.7 2.解:根据题意得α+β=3,αβ=2. (1)+==; (2)α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=32-2=7; (3)α2+αβ-3α=α(α+β)-3α=3α-3α=0. 3.解:(1)证明:∵Δ=b2-4ac=(-3a)2-4×(-3a-6)=9a2+12a+24=(3a+2)2+20>0, ∴方程恒有两个不相等的实根. (2)由根与系数的关系得x1+x2=3a,x1x2=-3a-6. ∵(x1-1)(x2-1)=1, ∴x1x2-(x1+x2)+1=1, ∴-3a-6-3a+1=1, 解得a=-1. 故a的值是-1. 任务驱动二 2.解:设方程的另一个根是x1,则2x1=-, ∴x1=-. 又∵x1+2=-,∴-+2=-,∴k=-7. 变式演练　 1.解:设方程的两根为x1,x2,根据题意得Δ=(2k-1)2-4(k2+1)≥0,解得k≤-, x1+x2=-(2k-1)=1-2k,x1x2=k2+1. ∵方程的两根之和等于两根之积,∴1-2k=k2+1,解得k1=0,k2=-2,而k≤-,∴k=-2. 2.解:(1)∵x=-3是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的解, ∴(-3)2-3m-6=0, 解得m=1. (2)∵m=1, ∴一元二次方程为x2+x-6=0, ∴x1+x2=-=-1,x1x2==-6, ∴x1+x2-2x1x2=-1-2×(-6)=-1+12=11. 方法归纳交流 ≥0 3.解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD. ∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根, ∴Δ=(-m)2-4-=m2-2m+1=0, 解得m1=m2=1, ∴当m为1时,四边形ABCD是菱形. (2)将x=2代入x2-mx+-=0中,得4-2m+-=0, 解得m=. ∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根, ∴AB+AD=m=, ∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2×=5. 变式演练　 解:(1)根据题意得Δ=(-3)2-4k>0, 解得k<, 即k的取值范围为k<. (2)根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=k. ∵+=()2, ∴(x1+x2)2-2x1x2=7, 即32-2k=7, 解得k=1, 而k<, ∴k的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$