专题09 条件概率、全概率、贝叶斯概率应用8大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题09 条件概率、全概率、贝叶斯概率应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01条件概率的计算 题型02乘法公式的应用 题型03条件概率性质的应用 题型04条件概率与独立事件、互斥事件的判断 题型05利用全概率公式求概率 题型06利用贝叶斯公式求概率 题型07条件概率与全概率公式的综合应用 题型08概率与马尔科夫链 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 理解“在事件A发生的条件下事件B发生”的本质；能准确识别条件与目标事件；掌握缩小样本空间法和公式法两种计算方式 高频基础考点，常在选择题或填空题中出现，重点考查对条件概率定义的理解和计算的准确性 全概率公式 能识别“由因导果”的适用场景（结果事件由多个互斥原因导致）；会合理划分完备事件组并正确运用公式 核心考点，常出现在解答题中，重点考查样本空间的合理划分和公式的熟练运用 贝叶斯公式 理解“由果溯因”的本质（已知结果求原因）；能区分全概率与贝叶斯的应用场景；掌握先验概率与后验概率的关系 难度较高，常在压轴小题或解答题中出现，考查逆向思维和公式灵活运用能力 概率与事件的关系 准确区分独立、互斥、对立三个概念；掌握独立事件判定方法；理解互斥事件与条件概率的内在联系 易混概念辨析题，常在选择题中出现，需清晰理解三者的定义及相互关系 条件概率与全概率的综合应用 能将实际问题转化为概率模型，综合运用条件概率、乘法公式、全概率公式解决问题 综合型题目，常在解答题中出现，考查实际情境下的概率建模能力和公式综合运用能力 概率与马尔科夫链 理解马尔科夫链的核心思想（未来只与当前状态有关）；能建立状态转移关系；会利用递推求n步后的概率 难度较高，常作为拓展内容或压轴题出现，重点考查从实际问题中抽象出递推模型的能力 知识点01 条件概率 1、条件概率：一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B). 条件概率的性质： 设，则 （1） （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则. 2．乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则. 注意： （1）当时，A与B相互独立的充要条件是，根据乘法公式代入 有，但是要注意成立的前提条件是 （2）对任意事件A，B，都有 知识点02 全概率公式 1、全概率公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，i＝1,2，…，n 2、贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，，有， 条件概率强调样本空间受限，全概率是由原因推结果的分解求和，贝叶斯是由结果推原因的概率修正。 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 1、定义法：分别求P(A)和P(AB)，得. 2、缩小样本空间法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n( A)，再求在事件A发生的条件下事件B包 含的基本事件数，即n( AB)，得. 易｜错｜点｜拨 1、条件概率 成立的前提是，若 A 不可能发生则无意义。 2、 与含义不同，计算时注意谁在前谁在后。 3、是“在 A 发生条件下 B 的概率”，不是 ，后者是两者同时发生的概率，一般更小。 【典例1】（25-26高三下·江西赣州·期中）某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 【典例2】（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·天津·期中）某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为__________；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________. 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·月考）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 题型二 乘法公式的应用 易｜错｜点｜拨 1、乘法公式中，每一步的条件是“前面所有事件已发生”，不能随意调换顺序。 2、事件不独立时必用条件概率，若事件之间相互影响，必须用条件概率计算，不能直接乘边缘概率。 3、多事件时，每一步都要考虑前面所有事件的影响，不能只依赖前一个事件。 4、验证概率非零，每一步的条件概率必须满足“前面事件概率 > 0”，否则公式无效。 【典例1】（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【变式1】（25-26高二下·四川德阳·月考）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 题型三 条件概率性质的应用 答｜题｜模｜板 用集合关系拆解复杂事件 1、若事件可分解为多个互斥子事件的并，先拆解再分别求概率后相加。 2、 发生而 不发生，可写成，常转化为。 3、直接求困难时，用计算。 【典例1】（多选）（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2026·陕西榆林·三模）对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（25-26高三下·山东青岛·月考）对于随机事件，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 题型四 条件概率与独立事件、互斥事件的判断 答｜题｜模｜板 1、判断互斥：看两事件能否同时发生。若 且 ，则互斥（此时一定不独立）。 2、判断独立：验证 是否成立，或验证 是否成立。成立则独立（此时一定不互斥）。 【典例1】（2026·上海·二模）已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高二下·山西晋中·月考）已知，是两个随机事件，，下列命题错误的是（    ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 【变式1】（多选）（25-26高二下·吉林四平·月考）若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则相互独立 B．若，，，则相互独立 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 【变式2】（多选）（25-26高三下·四川成都·月考）已知随机事件，满足：，，则（   ） A．事件与互为对立事件 B．如果，那么 C．如果事件，互斥，那么 D．如果事件，相互独立，那么 题型五 利用全概率公式求概率 答｜题｜模｜板 用全概率公式的步骤： 1、按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件； 2、求与； 3、代入全概率公式，求出目标事件的概率. 易｜错｜点｜拨 1、 ​ 必须两两互斥（不可能同时发生），且它们的和事件必须覆盖整个样本空间（所有可能原因都考虑到了）。 2、的计算，在每个原因内部计算 B 的概率时，要基于该原因下的实际情况，不能混用其他原因的信息。 3、全概率公式中每个 ，否则对应项无意义。 4、全概率常用于“由因推果”，若题目是“已知结果求原因”，则需用贝叶斯公式。 【典例1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·江苏淮安·月考）长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·甘肃·二模）某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【变式2】（2026·上海静安·二模）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 题型六 利用贝叶斯公式求概率 答｜题｜模｜板 贝叶斯公式有着重要的实际意义，一件事由“因”推出“果”容易，但是贝叶斯公式是在做逆运算，它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式的过程如下： 1、A的多种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； 2、在A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即已知； 3、未知，需要使用全概率公式计算得到； 4、求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 易｜错｜点｜拨 1、分清先验与后验：是实验前的“先验概率”，是得知结果 B 后的“后验概率”，二者含义不同。 2、完备性检验：原因组 必须互斥且覆盖所有可能，缺一个则分母不全。 3、条件概率方向：贝叶斯公式是“交换条件”，已知求 ，不能把两者弄反。 【典例1】（25-26高二下·全国·课后作业）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【变式1】（25-26高三·全国·三轮复习）在，，三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人，如果此人患流感，求此人选自地区的概率. 【变式2】（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 题型七 条件概率与全概率公式的综合应用 答｜题｜模｜板 全概率公式与贝叶斯公式关系密切，全概率常用于“由因推果”，若题目是“已知结果求原因”，则需用贝叶斯公式。 【典例1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同. (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率. 【典例2】（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 【变式1】（25-26高二下·江苏淮安·月考）某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试学生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试． (1)求面试号码为2的是A校学生的概率； (2)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． (3)求前四个面试中有两个是A校学生的条件下，B校学生最后一个面试的概率． 【变式2】（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 题型八 概率与马尔科夫链 答｜题｜模｜板 把全概率公式与过程的马尔科夫性（无记忆性）结合: 当前状态的概率只与上一步状态有关，因此可以按上一步的所有可能情况对当前概率进行分解。方法步骤： 1、状态定义：将问题可能处的情形定义为若干个状态，确保每个时刻必处于其中某一状态，且互斥。 2、找出从当前状态到下一状态的概率（转移概率），通常用树状图或表格列出，保证从同一状态出发的概率和为1。 3、设第 n 步处于各状态的概率，根据转移关系写出递推式。 4、递推式通常会与数列有关，可根据数列的方法求通项跟求和。 易｜错｜点｜拨 1、无记忆性：马尔可夫链的核心是“下一步只与当前状态有关，与之前历史无关”，适用时才能用。 2、转移概率恒定：通常假设转移概率与时间 n 无关（齐次马尔可夫链），若题目中概率会变则不能直接用。 3、状态完备性：所有可能状态必须穷举，且每一步必须转移到其中某一状态（不能遗漏或卡死）。 4、初值确定：递推需从第0步（或第1步）的初始概率出发，若题目未给则需假设。 【典例1】（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【典例2】（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【变式1】（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 【变式2】（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点. (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 2．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 3．（25-26高二下·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 2．（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·黑龙江·期中）下列命题中的真命题有（    ） A．已知随机事件相互独立，则 B．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C．若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种 D．已知，若，则 4．（多选）（25-26高二下·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邢台·二模）甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. (1)求甲队第2局获胜的概率； (2)求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 2．（25-26高三下·上海·月考）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 3．（2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 4．（25-26高二下·辽宁大连·月考）甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)，若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的数学期望； (2)时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 5．（2026·四川凉山·二模）袋子中有若干个大小相同的小球，其中3个白球，个黑球. (1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.若第1次摸到白球的概率为，求在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2)将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为，若，求的最大值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 条件概率、全概率、贝叶斯概率应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01条件概率的计算 题型02乘法公式的应用 题型03条件概率性质的应用 题型04条件概率与独立事件、互斥事件的判断 题型05利用全概率公式求概率 题型06利用贝叶斯公式求概率 题型07条件概率与全概率公式的综合应用 题型08概率与马尔科夫链 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 理解“在事件A发生的条件下事件B发生”的本质；能准确识别条件与目标事件；掌握缩小样本空间法和公式法两种计算方式 高频基础考点，常在选择题或填空题中出现，重点考查对条件概率定义的理解和计算的准确性 全概率公式 能识别“由因导果”的适用场景（结果事件由多个互斥原因导致）；会合理划分完备事件组并正确运用公式 核心考点，常出现在解答题中，重点考查样本空间的合理划分和公式的熟练运用 贝叶斯公式 理解“由果溯因”的本质（已知结果求原因）；能区分全概率与贝叶斯的应用场景；掌握先验概率与后验概率的关系 难度较高，常在压轴小题或解答题中出现，考查逆向思维和公式灵活运用能力 概率与事件的关系 准确区分独立、互斥、对立三个概念；掌握独立事件判定方法；理解互斥事件与条件概率的内在联系 易混概念辨析题，常在选择题中出现，需清晰理解三者的定义及相互关系 条件概率与全概率的综合应用 能将实际问题转化为概率模型，综合运用条件概率、乘法公式、全概率公式解决问题 综合型题目，常在解答题中出现，考查实际情境下的概率建模能力和公式综合运用能力 概率与马尔科夫链 理解马尔科夫链的核心思想（未来只与当前状态有关）；能建立状态转移关系；会利用递推求n步后的概率 难度较高，常作为拓展内容或压轴题出现，重点考查从实际问题中抽象出递推模型的能力 知识点01 条件概率 1、条件概率：一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B). 条件概率的性质： 设，则 （1） （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则. 2．乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则. 注意： （1）当时，A与B相互独立的充要条件是，根据乘法公式代入 有，但是要注意成立的前提条件是 （2）对任意事件A，B，都有 知识点02 全概率公式 1、全概率公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，i＝1,2，…，n 2、贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，，有， 条件概率强调样本空间受限，全概率是由原因推结果的分解求和，贝叶斯是由结果推原因的概率修正。 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 1、定义法：分别求P(A)和P(AB)，得. 2、缩小样本空间法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n( A)，再求在事件A发生的条件下事件B包 含的基本事件数，即n( AB)，得. 易｜错｜点｜拨 1、条件概率 成立的前提是，若 A 不可能发生则无意义。 2、 与含义不同，计算时注意谁在前谁在后。 3、是“在 A 发生条件下 B 的概率”，不是 ，后者是两者同时发生的概率，一般更小。 【典例1】（25-26高三下·江西赣州·期中）某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 【答案】/ 【详解】评委团中至少要有2名男教练，共有种， 其中评委团有2名女教练有种， 所以评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为. 【典例2】（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 【变式1】（25-26高三上·天津·期中）某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为__________；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________. 【答案】 【分析】本题包含两个概率计算问题，均需利用组合数及概率相关知识求解，第一个问题通过对立事件间接计算至少有一名女志愿者的概率；第二个问题利用条件概率公式，在给定前提条件下特定事件的概率. 【详解】记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·月考）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，， 故. 题型二 乘法公式的应用 易｜错｜点｜拨 1、乘法公式中，每一步的条件是“前面所有事件已发生”，不能随意调换顺序。 2、事件不独立时必用条件概率，若事件之间相互影响，必须用条件概率计算，不能直接乘边缘概率。 3、多事件时，每一步都要考虑前面所有事件的影响，不能只依赖前一个事件。 4、验证概率非零，每一步的条件概率必须满足“前面事件概率 > 0”，否则公式无效。 【典例1】（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 【典例2】（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【答案】0.68 【分析】结合题意，设出事件，根据条件概率的计算公式，直接求解即可. 【详解】设事件表示对此建筑构件第一次打击后没有受损，事件表示对此建筑构件第二次打击后没有受损， 则表示对此建筑构件实施两次打击且没有受损， 由题可知：，，故. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二下·四川德阳·月考）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对A：由，故，故A正确； 对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误； 对C：，， 成立的条件为，故C错误； 对D：，若，则， 成立的条件为，为相互独立事件，故D错误. 【变式2】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式与概率性质，逐项判断. 【详解】对于A：由条件概率公式及知，故A错误； 对于B：当事件包含事件时，有，此时，故正确； 对于C：由条件概率性质，故C错误； 对于D：由条件概率公式可知，故D错误； 故选：ACD. 题型三 条件概率性质的应用 答｜题｜模｜板 用集合关系拆解复杂事件 1、若事件可分解为多个互斥子事件的并，先拆解再分别求概率后相加。 2、 发生而 不发生，可写成，常转化为。 3、直接求困难时，用计算。 【典例1】（多选）（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 【典例2】（多选）（2026·陕西榆林·三模）对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 【变式1】（多选）（25-26高三下·山东青岛·月考）对于随机事件，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：因为，， 所以； 选项B：因为，， 所以； 选项C：因为，， 所以； 选项D：因为，， 所以. 【变式2】（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 题型四 条件概率与独立事件、互斥事件的判断 答｜题｜模｜板 1、判断互斥：看两事件能否同时发生。若 且 ，则互斥（此时一定不独立）。 2、判断独立：验证 是否成立，或验证 是否成立。成立则独立（此时一定不互斥）。 【典例1】（2026·上海·二模）已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】事件和独立的定义是，根据每个选项的条件，结合条件概率公式以及概率的基本性质，判断是否能推出. 【详解】选项A，，则，并不能推出，所以事件和不一定独立，A错误. 选项B，，，. ，. . ，即和独立，B选项正确. 选项C，，又，，和不一定独立，C错误. 选项D，，，. 又，，可得，也不能推出和独立，D错误. 【典例2】（多选）（25-26高二下·山西晋中·月考）已知，是两个随机事件，，下列命题错误的是（    ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 【答案】BC 【分析】对于A，结合相互独立事件、条件概率公式，即可判断；对于B，由题意可得，结合，从而可得，即可判断；对于C，结合对立事件及条件概率公式，即可判断；对于D，结合互斥事件及条件概率公式求解即可. 【详解】对于A，因为，且与互斥，所以， 所以, 又因为, 所以，故A正确； 对于B，因为，则， 所以, 只有当，即时，，即，故B错误； 对于C，因为，是对立事件， 所以，互斥，即，则, 根据条件概率公式，，故C错误； 对于D，因为，是互斥事件， 所以， 所以，故D正确. 【变式1】（多选）（25-26高二下·吉林四平·月考）若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则相互独立 B．若，，，则相互独立 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 【答案】ABD 【分析】事件相互独立的定义为，条件概率公式为，对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即相互独立，故A正确. 对于B，由，，，可得，即相互独立，故B正确. 对于C，，又，. ，所以不相互独立，故C错误. 对于D，当相互独立时，也相互独立，所以，因此，故D正确． 【变式2】（多选）（25-26高三下·四川成都·月考）已知随机事件，满足：，，则（   ） A．事件与互为对立事件 B．如果，那么 C．如果事件，互斥，那么 D．如果事件，相互独立，那么 【答案】BD 【详解】选项A：如果事件与事件互为对立事件，则， 但，，； 选项B：如果，则，即； 选项C：如果事件，互斥，则； 选项D：如果事件，相互独立，则事件与，事件与也分别相互独立， 即，， 因此. 题型五 利用全概率公式求概率 答｜题｜模｜板 用全概率公式的步骤： 1、按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件； 2、求与； 3、代入全概率公式，求出目标事件的概率. 易｜错｜点｜拨 1、 ​ 必须两两互斥（不可能同时发生），且它们的和事件必须覆盖整个样本空间（所有可能原因都考虑到了）。 2、的计算，在每个原因内部计算 B 的概率时，要基于该原因下的实际情况，不能混用其他原因的信息。 3、全概率公式中每个 ，否则对应项无意义。 4、全概率常用于“由因推果”，若题目是“已知结果求原因”，则需用贝叶斯公式。 【典例1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用频率估计概率，再由全概率公式计算可得. 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 【典例2】（25-26高二下·江苏淮安·月考）长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 【变式1】（2026·甘肃·二模）某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【答案】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 【变式2】（2026·上海静安·二模）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 【答案】 【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件， 依题意，，，， 由全概率公式得， 所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是. 题型六 利用贝叶斯公式求概率 答｜题｜模｜板 贝叶斯公式有着重要的实际意义，一件事由“因”推出“果”容易，但是贝叶斯公式是在做逆运算，它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式的过程如下： 1、A的多种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； 2、在A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即已知； 3、未知，需要使用全概率公式计算得到； 4、求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 易｜错｜点｜拨 1、分清先验与后验：是实验前的“先验概率”，是得知结果 B 后的“后验概率”，二者含义不同。 2、完备性检验：原因组 必须互斥且覆盖所有可能，缺一个则分母不全。 3、条件概率方向：贝叶斯公式是“交换条件”，已知求 ，不能把两者弄反。 【典例1】（25-26高二下·全国·课后作业）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式，条件概率公式及贝叶斯公式可得. 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品， 则，，，， 由贝叶斯公式可知． 故选：B. 【典例2】（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【答案】 【分析】首先根据题意写出各事件的概率，再根据全概率公式求解；第二个小题根据贝叶斯概率公式求解. 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件， 该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为； ， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. 【变式1】（25-26高三·全国·三轮复习）在，，三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人，如果此人患流感，求此人选自地区的概率. 【答案】 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设事件为“选取的人患流感”， 用，，分别表示选取的人来自，，地区， 则，，， ，，， 由全概率公式得， 由贝叶斯公式得. 【变式2】（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 题型七 条件概率与全概率公式的综合应用 答｜题｜模｜板 全概率公式与贝叶斯公式关系密切，全概率常用于“由因推果”，若题目是“已知结果求原因”，则需用贝叶斯公式。 【典例1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同. (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示“第i次摸到的是黑球”（，2，3），利用概率乘法公式计算； （2）利用概率乘法公式计算. 【详解】（1）设事件表示“第i次摸到的是黑球”（，2，3）. 由题意可知，， 根据乘法公式可得， 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为. （2）设事件表示“第三次才摸到黑球”，则， 因为，，， 根据概率乘法公式可得 ， 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为. 【典例2】（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）从参赛的8支球队随机选4支进入A组，其余4支进入B组，共有种分组情况， 甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为. 设事件E为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则， 即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为. （2）解法一：记事件M为“甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则，， 所以， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 解法二：记事件M为“甲、乙、丙中有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 【变式1】（25-26高二下·江苏淮安·月考）某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试学生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试． (1)求面试号码为2的是A校学生的概率； (2)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． (3)求前四个面试中有两个是A校学生的条件下，B校学生最后一个面试的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出面试号码为的样本空间中样本点个数，再求出面试号码为的学生来自A校的事件所含样本点个数即可. （2）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求出概率. （3）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）已知6名学生全都来自A、B、C三所学校，A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为． 则来自A校3人、B校1人、C校2人， 面试号码为的学生有个不同结果，面试号码为的学生来自A校的事件有3个不同结果， 所以面试号码为的学生来自A校的概率为. （2）依题意，名学生按编号的试验有个基本事件， 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，可分为两种互斥情况， 一是校学生的最大编号为，二是校学生的最大编号为且B校学生编号不小于5. 校学生的最大编号为的事件有个基本事件； 而校学生的最大编号为且B校学生编号不小于的事件有个基本事件， 所以校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为； （3）记“前4个面试有两个A校学生”为事件M，“B校学生最后一个面试”为事件N， 则，， 所以在前四个面试中有两个是校学生的条件下， 校学生最后一个面试的概率为. 【变式2】（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 题型八 概率与马尔科夫链 答｜题｜模｜板 把全概率公式与过程的马尔科夫性（无记忆性）结合: 当前状态的概率只与上一步状态有关，因此可以按上一步的所有可能情况对当前概率进行分解。方法步骤： 1、状态定义：将问题可能处的情形定义为若干个状态，确保每个时刻必处于其中某一状态，且互斥。 2、找出从当前状态到下一状态的概率（转移概率），通常用树状图或表格列出，保证从同一状态出发的概率和为1。 3、设第 n 步处于各状态的概率，根据转移关系写出递推式。 4、递推式通常会与数列有关，可根据数列的方法求通项跟求和。 易｜错｜点｜拨 1、无记忆性：马尔可夫链的核心是“下一步只与当前状态有关，与之前历史无关”，适用时才能用。 2、转移概率恒定：通常假设转移概率与时间 n 无关（齐次马尔可夫链），若题目中概率会变则不能直接用。 3、状态完备性：所有可能状态必须穷举，且每一步必须转移到其中某一状态（不能遗漏或卡死）。 4、初值确定：递推需从第0步（或第1步）的初始概率出发，若题目未给则需假设。 【典例1】（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 【典例2】（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 【变式1】（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得； （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. 【变式2】（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点. (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由全概率公式得到递推公式即可求解； （2）由全概率公式得到递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）（1）证明：设跳动次后，该质点落在“区”的概率为， 则 所以跳动次后，该质点落在“区”的概率为，为定值 （2）时， 时， 所以 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.. 所以 所以 当时，，也满足上式 所以跳动次后，该质点落在点的概率 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【答案】/0.5 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 3．（25-26高二下·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【答案】 【详解】已知， ， ， ． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 【答案】/ 【详解】在第一个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为， 在第二个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为， 从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球， 则这两个球都是黄球的概率为. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，又，所以， 从而有，所以、互相独立，充分性成立； 当、互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“、互相独立”的充要条件. 2．（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 3．（多选）（25-26高二上·黑龙江·期中）下列命题中的真命题有（    ） A．已知随机事件相互独立，则 B．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C．若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种 D．已知，若，则 【答案】AC 【分析】根据条件概率公式和相互独立事件的乘法公式即可判断A；根据互斥事件的定义即可判断B；先分组再分配进而课判断C；根据条件概率公式即可判断D. 【详解】对于A，当随机事件相互独立时，， ，故A正确； 对于B，依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球， 事件“至少有一个黑球”包括“1黑1红”与“2黑”两个基本事件， 而“至少有一个红球”包括“1黑1红”与“2红”两个基本事件， 故两个事件不是互斥事件，故B错误； 对于C，想要恰有两个空盒，可先从编号为1，2，3，4的盒子中选出2个空盒子， 有种方法， 再将3个相同的球放入剩下的2个盒子， 每个盒子至少一个球（因为如果有一个盒子为空，就是三个空盒，不符合题意）， 分配方式有或共2种， 故恰有两个空盒的放法共有种，故C正确； 对于D，因为， 由，可得， 但题日没有提供或的其他信息，无法直接推出，故D错误. 故选：AC. 4．（多选）（25-26高二下·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 5．（2026·河北邢台·二模）甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. (1)求甲队第2局获胜的概率； (2)求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可求解. 【详解】（1）记事件第局甲队胜，， . （2）记事件“比赛不超过4局且甲队获胜”，比赛结束时的局数， 则； ， 所以 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由全概率公式求解； （2）由全概率公式得出的递推公式，进而求出的通项公式，由数列的单调性确定的范围. 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 2．（25-26高三下·上海·月考）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】(1) (2)①；②方案二 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为、是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率 为， 方案二中取到红球的概率 为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 3．（2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知， ． 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为． （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由，得， 所以p的取值范围为． 4．（25-26高二下·辽宁大连·月考）甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)，若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的数学期望； (2)时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【答案】(1) (2)，，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用二项分布概率公式计算相应概率，再代入离散型随机变量公式计算求解； （2）用分类讨论方法求条件概率； （3）利用全概率公式求出递推关系，结合概率单调性证明结论． 【详解】（1）的可能取值为1，3，5，， ，， ． （2）当时，， 故乙最终获胜，则， 当时，，， 故只有最后两场甲全赢才能最终获胜，故， 当时，，， 最后两场甲至少赢一场才能最终获胜，故， 当时，， 故甲最终获胜，故． （3）证明：结合（2），由全概率公式得： ， ， 当时，， 又 ， ， ． 5．（2026·四川凉山·二模）袋子中有若干个大小相同的小球，其中3个白球，个黑球. (1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.若第1次摸到白球的概率为，求在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2)将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）由古典概率公式求出，再利用条件概率公式求解. （2）利用对立事件的概率公式，结合组合计数问题列出不等式求解. 【详解】（1）由第1次摸到白球的概率为，得，解得， 所以在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率. （2）从个位置中选3个放白球，共种， 三个白球都不相邻：先排个黑球，产生个空隙，选3个空隙放白球，共种， 因此三个白球都不相邻的概率为，而， 则，而，整理得，解得，又 所以的最大值为4. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $