6.2.1 排列教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《6.2.1 排列》教学设计

一、课标及课标分析

课程标准要求

1. 通过实例，理解排列的概念，能根据具体问题，判断是否为排列问题。
2. 能运用分步乘法计数原理推导排列的简单计算方法，解决简单的排列实际问题。
3. 提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

课标分析

排列是计数原理的重要应用，是衔接两个计数原理与组合、排列数公式的关键内容。课标要求从具体实例出发，让学生抽象出排列的本质特征——有序性与元素互异性，避免死记硬背概念。教学中需结合生活实例，让学生体会排列在实际问题中的应用，通过辨析、计算、应用三个环节，落实核心素养，为后续排列数公式与组合问题学习奠定基础。

二、教材分析

“排列”是人教A版高中数学选择性必修第三册第六章第二节第一课时内容，在计数原理知识体系中起承上启下作用。承上：基于分类加法计数原理与分步乘法计数原理，简化重复计数的繁琐过程；启下：为排列数公式、组合概念、排列组合综合应用、二项式定理学习提供理论支撑。

排列的核心是“有序”，通过具体问题抽象出排列定义，辨析排列与非排列问题，培养学生数学抽象与逻辑推理能力，是提升学生计数问题解决能力的重要载体。

三、学情分析

学生已学习分类加法、分步乘法计数原理，具备基础计数能力，能完成简单分步计数问题。但对“有序”与“无序”的区分不清晰，面对实际问题时，难以快速判断是否为排列问题；同时，用列举法、树状图解决排列问题时，易出现重复或遗漏。

授课人个案修改记录：

教学中需通过实例对比、动手列举、错题纠正，帮助学生突破难点，建立有序思考的习惯。

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：从具体实例中抽象出排列的定义，理解排列的两个核心特征：元素互异、与顺序有关。
2. 逻辑推理素养：能依据排列定义，准确判断具体问题是否为排列问题，推导简单排列的计数方法。
3. 数学运算素养：运用分步乘法计数原理、列举法、树状图解决简单排列计算问题，提升运算准确性。
4. 直观想象素养：借助树状图直观呈现所有排列情况，做到不重不漏，培养有序列举的思维。
5. 数学建模素养：将实际计数问题转化为排列模型，用排列知识解决生活中的排队、选座、赛程等问题。

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：排列的定义、排列问题的判断方法、简单排列问题的计算。
2. 难点：区分“有序”与“无序”，灵活运用排列知识解决实际问题。

六、教学过程

环节一：检查预习

展示预习问题，学生独立完成，教师巡视批改、即时纠错：

从甲、乙、丙3人中选2人分别参加上午、下午活动，共有______种选法。（答案：6）

从1、2、3、4中取3个数字排成三位数，共有______个不同三位数。（答案：24）

判断：从5人中选3人组成小组，是排列问题。（答案：×）

判断：从4个数字中选2个组成两位数，是排列问题。（答案：√）

两个排列相同的充要条件是：______完全相同，且______完全相同。（答案：元素；排列顺序）。

环节二：引入课题

1. 回顾两个计数原理：

• 分类加法计数原理：完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
• 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

2. 随机提问学生：用分步乘法计数解决多步骤问题时，存在什么不足？

教师点评：步骤多、计数重复繁琐，需要更简洁的方法，从而引入本节课——排列。

环节三：合作探究

探究1：实例分析

问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名，1名参加上午活动，1名参加下午活动，有多少种不同选法？

• 完成这件事：选2人，分上午、下午，有顺序
• 分步：第1步选上午（3种），第2步选下午（2种）
• 总数：种
• 所有排列：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙

问题2：从1，2，3，4中取3个数字排成三位数，有多少个不同三位数？

• 完成这件事：取3个数字，按百位、十位、个位排列，有顺序
• 分步：百位（4种）→十位（3种）→个位（2种）
• 总数：种

探究2：抽象定义

排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。

两个核心条件：

1. 元素互不相同
2. 与顺序有关（变换位置，结果改变）

探究3：排列相同的条件

两个排列相同元素完全相同，且排列顺序完全相同。

探究4：新知辨析（8分钟）

判断下列问题是否为排列问题，说明理由：