6.2.2 排列数 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学教学设计聚焦排列数的定义、公式及应用，通过回顾排列定义，改编旧问题（从4个数取3排三位数到9数取5排五位数），以问题驱动引出排列数公式需求，搭建新旧知识学习支架。 特色在于任务驱动探究（如排列数概念、公式的分层探究），注重概念辨析（排列与排列数的实例对比）和多解法训练（例2三种解法）。通过归纳推导公式培养数学思维，实例应用强化数学眼光，助力学生逻辑与应用能力提升，为教师提供清晰教学路径。

第六章 计数原理 6.2.2 排列数   一、教学目标 1.能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数； 2.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数； 3.通过排列数的计算和应用，培养学生的逻辑思维能力和创新能力，让学生感受到数学在生活中的重要性，增强学生的数学应用意识.   二、教学重难点 重点：排列数公式． 难点：排列数公式的探究及解决排列问题时“顺序”的确定．   三、教学过程 （一）创设情境 回顾：上节围绕两个情景问题展开的研究，给出排列的定义．简单回顾一下： 师生活动：教师带领学生回顾排列的定义，一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.回顾完排列的定义之后，教师在初始上节课中的问题，并对齐进行改编如下： 原问题：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 改编：若从1，2，3，…，9这9个数中，每次取出5个排成一个五位数，共可得到多少个不同的三位数？ 思考：元素个数增加，用计数原理和列举法得到排列的个数就越来越烦琐了，是否有计算排列个数的公式呢？ 设计意图：教师提出问题，带领学生回顾排列的定义，并由上节课排列的问题变形，引导学生思考，为讲解本节课的排列数的概念做铺垫． （二）探究新知 任务1：排列数的概念 探究：请你根据上节课所学知识，尝试完成下列问题： 1.从6个不同的元素中，任取2个，按一定的顺序排成一列，有多少不同的排法？ 2.从6个不同的元素中，任取3个，按一定的顺序排成一列，有多少不同的排法？ 3.从6个不同的元素中，任取4个，按一定的顺序排成一列，有多少不同的排法？ 师生活动：教师提出问题，组织学生合作探究，然后以小组为单位进行展示汇报，时间2分钟． 答：1.6×5=30种；2.6×5×4=120种；3.6×5×4×3=360种． 【概念形成】 我们从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号. 思考：如何排列数符号来表示刚刚的探究问题？ 答：1.6×5=30种；2.6×5×4=120种；3.6×5×4×3=360种． 思考：排列与排列数相同吗？ 答：“一个排列”是一种排法，不是数；“排列数”是不同排列的个数是，一个自然数. 如：从4个不同的元素a，b，c，d中任取2个元素的排列有ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc，每一个叫一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数. 任务2：排列数公式 探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号(m≤n)是多少？ 师生活动：教师带领学生合作探究，可以让学生先从m=2开始探究，再让m=3，逐步发现规律，进而归纳出的计算公式. 答：排列数可以按一次填2个空位得到：=n(n-1)； 排列数可以按一次填3个空位得到：=n(n-1)(n-2)； 排列数可以按一次填m个空位得到：=n(n-1)(n-2)....(n-m+1)，，且. 【概念形成】 排列数公式：=n(n-1)(n-2)....(n-m+1)，，且. 思考：你能说一下排列数公式有什么特点吗？ 答：公式中是个连续正整数的连乘积； 连乘积中最大因数为，后面依次减1，最小因数是(－＋1). 任务3：全排列公式 探究：若排列数公式中，此时的排列数是多少呢? 答：从个不同元素中取出m个元素的一个排列称为个元素的一个全排列，； 全排列数为：； 正整数到的连乘积称为的阶乘，用表示，即. 此外，我们规定. （三）应用举例 例1：计算：（1）；（2）；（3）；（4）. 解：根据排列数公式可得： （1）； （2）； （3）； （4）. 思考：观察上述例题，可以发现：，，即，观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？ 答：. 思考：你能证明这个结论吗？ 答： . 例2：用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法1：可使用前面学过分步解决问题方法处理 第一步：百位除了0，剩下九个数选一个，有种取法. 第二步：选出十位和个位，剩下九个数选两个，有种取法. 根据分步乘法计算原来，所求的三位数的个数为：= 9×9×8=648. 解法2：可使用前面学过分步解决问题方法处理 第一步：选出每一位都没有0的三位数，有种取法. 第二步：选出有一位是0的三位数（百位不可为零）. 当十位或个位为0时，只需从剩下九个数选出两个放入百和个位，各有种取法. 根据分类加法计算原来，所求的三位数的个数为： = 9×8×7+9×8+9×8=64. 解法3：可使用前面学过分步解决问题方法处理 第一步：选出三个数进行排列，有种取法. 第二步：排除第一步中百位为0的排列，百位为0，十位和个位从非0的九个数取两个排列，有种取法. 根据特殊情况排除法，所求的三位数的个数为： = 10× 9×8−9×8=648. 思考：对于上述有限制条件的排列问题，你的体会是什么？ 答：1、特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排； 2、合理分类，准确分步； 3、不重不漏，步骤完整； 4、适当考虑“正难则反”. 例3：六人站一横排，其中甲和乙要求站在两端，分别有多少种不同的站法？ 解法1：先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法； 再让其他4个人在中间4个位置全排列，有种站法； 根据分步乘法计数原理，共有＝48种站法． 解法2：先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有种站法； 再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有种站法； 根据分步乘法计数原理，共有＝48种站法． 例4：求证：． 证明：． 总结：排列数的化简与证明技巧 ；；；． 设计意图：巩固学生在课堂上所学的知识和技能，促进知识的内化与应用. （四）随堂练习 1.福厦高铁全线共设个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这个站间准备不同的火车票的种数为(    ) A. B. C. D. 解：火车票是要分出发站与到达站，是有顺序的，故不同的火车票的种数为：．故选：． 2.一场文艺汇演中共有 2个小品节目､ 2个歌唱类节目和 3个舞蹈类节目，若要求 2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有 ( ) 解：先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序； 再排2个小品节目，共有 种不同的演出顺序.根据分步乘法计数原理可知，共有 120×20 =2400 种不同的演出顺序.故选：． 3．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了个互动节目如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为． A. B. C. D. 解：增加个互动节目后，一共有个节目，这个节目的不同排法有种， 而原有的个节目对应的不同排法共有种， 所以不同的排法有种． 故选：． 4.某班上有 55 名同学相约周末去公园拍照，这 55 名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有 ( ) A. B. C. D. 解：设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素，丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站，则共有=16种； ②丁、戊在 甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法，甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站，则该种情况共有种；则总共有 16 + 24 = 40 种不同安排方法故选：C. 5.名男生和名女生站成一排． 甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ 男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ 甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 解：分两步，先排甲有种， 再排其他人，有种， 根据分步乘法原理知共有种排法； 分三步： 捆绑法，先将女生甲与女生乙捆绑在一起，有种， 将女生甲和女生乙看成整体，与其他人除去男生甲和男生乙排列，有种， 插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空共有个空位置，有种， 所以根据分步乘法原理可知共有种； 人共有种排法， 其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法. 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固组合的概念，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $