6.2.2 排列数 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理

6.2.2 排列数

1.能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数；

2.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数；

3.通过排列数的计算和应用，培养学生的逻辑思维能力和创新能力，让学生感受到数学在生活中的重要性，增强学生的数学应用意识.

重点：排列数公式．

难点：排列数公式的探究及解决排列问题时“顺序”的确定．

（一）创设情境

回顾：上节围绕两个情景问题展开的研究，给出排列的定义．简单回顾一下：

师生活动：教师带领学生回顾排列的定义，一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.回顾完排列的定义之后，教师在初始上节课中的问题，并对齐进行改编如下：

原问题：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

改编：若从1，2，3，…，9这9个数中，每次取出5个排成一个五位数，共可得到多少个不同的三位数？

思考：元素个数增加，用计数原理和列举法得到排列的个数就越来越烦琐了，是否有计算排列个数的公式呢？

设计意图：教师提出问题，带领学生回顾排列的定义，并由上节课排列的问题变形，引导学生思考，为讲解本节课的排列数的概念做铺垫．

（二）探究新知

任务1：排列数的概念

探究：请你根据上节课所学知识，尝试完成下列问题：

1.从6个不同的元素中，任取2个，按一定的顺序排成一列，有多少不同的排法？

2.从6个不同的元素中，任取3个，按一定的顺序排成一列，有多少不同的排法？

3.从6个不同的元素中，任取4个，按一定的顺序排成一列，有多少不同的排法？

师生活动：教师提出问题，组织学生合作探究，然后以小组为单位进行展示汇报，时间2分钟．

答：1.6×5=30种；2.6×5×4=120种；3.6×5×4×3=360种．

【概念形成】

我们从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号.

    思考：如何排列数符号来表示刚刚的探究问题？

答：1.6×5=30种；2.6×5×4=120种；3.6×5×4×3=360种．

思考：排列与排列数相同吗？

答：“一个排列”是一种排法，不是数；“排列数”是不同排列的个数是，一个自然数.

如：从4个不同的元素a，b，c，d中任取2个元素的排列有ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc，每一个叫一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数.

任务2：排列数公式

探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号(m≤n)是多少？

师生活动：教师带领学生合作探究，可以让学生先从m=2开始探究，再让m=3，逐步发现规律，进而归纳出的计算公式.

答：排列数可以按一次填2个空位得到：=n(n-1)；

排列数可以按一次填3个空位得到：=n(n-1)(n-2)；

排列数可以按一次填m个空位得到：=n(n-1)(n-2)....(n-m+1)，，且.

【概念形成】

排列数公式：=n(n-1)(n-2)....(n-m+1)，，且.

思考：你能说一下排列数公式有什么特点吗？

答：公式中是个连续正整数的连乘积；

连乘积中最大因数为，后面依次减1，最小因数是(－＋1).

任务3：全排列公式

探究：若排列数公式中，此时的排列数是多少呢?

答：从个不同元素中取出m个元素的一个排列称为个元素的一个全排列，；

全排列数为：；

正整数到的连乘积称为的阶乘，用表示，即.

此外，我们规定.

（三）应用举例

例1：计算：（1）；（2）；（3）；（4）.

解：根据排列数公式可得：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

思考：观察上述例题，可以发现：，，即，观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？

答：.

思考：你能证明这个结论吗？

答：

.

例2：用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?

解法1：可使用前面学过分步解决问题方法处理
 第一步：百位除了0，剩下九个数选一个，有种取法.

第二步：选出十位和个位，剩下九个数选两个，有种取法.

根据分步乘法计算原来，所求的三位数的个数为：= 9×9×8=648.

解法2：可使用前面学过分步解决问题方法处理
 第一步：选出每一位都没有0的三位数，有种取法.

第二步：选出有一位是0的三位数（百位不可为零）.

当十位或个位为0时，只需从剩下九个数选出两个放入百和个位，各有种取法.

根据分类加法计算原来，所求的三位数的个数为：

               = 9×8×7+9×8+9×8=64.  

解法3：可使用前面学过分步解决问题方法处理
 第一步：选出三个数进行排列，有种取法.

第二步：排除第一步中百位为0的排列，百位为0，十位和个位从非0的九个数取两个排列，有种取法.

根据特殊情况排除法，所求的三位数的个数为：

                = 10× 9×8−9×8=648.

思考：对于上述有限制条件的排列问题，你的体会是什么？

答：1、特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排；

2、合理分类，准确分步；

3、不重不漏，步骤完整；