精品解析：贵州六校联盟2026届高三下学期4月高考实用性联考卷（三）数学试卷

数 学 试 卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1. 样本数据1，2，2，3，3，3，4，4，4，4的第一四分位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为共有10个数据，所以 ， 所以第一四分位数是第3个数2. 2. 已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】因为点在抛物线上，将其代入,可得， 则，故. 3. 已知 是不共线向量，且，则以下选项正确的是（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理逐项判断求解即可得. 【详解】对A：，不存在实数，能使得， 故与不共线，故三点不共线，故A错误； 对B：，不存在实数，能使得， 故与不共线，故三点不共线，故B错误； 对C：， 不存在实数，能使得，故与不共线， 故三点不共线，故C错误； 对D： ，故， 又线段与线段有公共点，所以三点共线，故D正确. 4. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以，又， 所以，所以， 所以. 5. 已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于 ，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则 可能相交，故错误； 对于 ，过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确； 对于C，若 ，则 或 ，故 错误； 对于，若， 如果或，则不能判断 ，故错误. 6. 高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 108 B. 120 C. 126 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】分只有一个班去区域甲以及有两个班去区域甲进行讨论，结合排列数与组合数性质计算即可得. 【详解】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲， 剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：； 第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲， 剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：； 故共有种方法. 7. 已知函数的最小正周期为，且 ，则函数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦型函数周期公式代入计算可得，再利用诱导公式及二倍角公式化简可得，结合范围及二次函数性质计算即可得解. 【详解】，且 ，则， 则 ， 由，则当时，取最小值， 即的最小值为. 8. 已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 函数在定义域内单调递减 D. 的最小值为 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，可判定A错误，利用叠加法，求得的解析式，列出方程，可判定B错误；结合二次函数的性质，可判定C错误，D正确. 【详解】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的 得0 分) 9. 已知角与角的顶点为原点，始边与轴的正半轴重合，角为第三象限角，且，角的终边与角的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（ ） A. 角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合三角函数的定义可判断ABD；根据终边的对称关系可判断C. 【详解】对于A：由，且为第三象限，得，， 故角的终边与单位圆的交点为错误； 对于和：因为角的终边与角的终边关于轴对称，即为第四象限角， 所以角的终边与单位圆的交点为，则，， 又，所以正确， ，正确； 对于C：由于角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，不一定等于，故C错误. 10. 设 ，则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算即可判断 【详解】对于A： ，A正确; 对于B： ，故B正确; 对于C：因为， 所以 ，故 C 错误; 对于 D： ，故 D 正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限，则下列说法中正确的是（ ） A. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 直线斜率的取值范围为 C. 若，的内切圆的半径分别为，则的取值范围为 D. 的最小值为9 【答案】AC 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离公式计算可判断A；利用双曲线的性质可求得直线斜率的取值范围判断B；设直线的倾斜角为，，设的内切圆的圆心分别为的内切圆与各边切于D，G，H，计算可得，进而可判断C；利用双曲线的焦半径公式计算可判断D. 【详解】对于A. 设，双曲线的渐近线方程为， 设到直线的距离为， 设到直线的距离为, 则，故A正确； 对于B . 因为直线与双曲线的右支交于两点，根据图象与双曲线的性质， 可知直线的斜率的取值范围为，故B错误； 对于C. 设直线的倾斜角为，因为渐近线的倾斜角分别为，所以. 设的内切圆的圆心分别为的内切圆与各边切于D，G，H， 的内切圆与切于，设， 根据圆的切线的性质，可知， 所以，所以， 所以，解得，所以， 所以在直线上，同理可得也在直线上，且. 由几何关系可得， 所以. 因为，所以，所以， 令，由对勾函数性质可知在上单调递减， 在上单调递增，所以，所以， 所以，故C正确; 对于D. 由双曲线的焦半径公式可知 ， 则 ，根据， 所以，故错误. 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 13. 一个质点在 轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点出发，移动五次后到达点的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到质点向右移动4次，向左移动1次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，质点从原点出发，移动五次后到达点， 可得质点向右移动4次，向左移动1次，所以概率为 . 14. 已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设球心为，在中，利用勾股定理计算可得，设出外接球，在中利用勾股定理计算可得；利用等面积法可计算出内切圆的半径，则可利用勾股定理求出，则可由得解. 【详解】如图，设球心为，外接球的半径为，的内切圆圆心为， 则、、三点共线，连接、， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得, 即，整理得， 设内切圆的半径为，则有， 故， 由是内切圆上一点，则， 在直角中，由勾股定理得， 即， 则， 当且仅当、、三点共线且在、之间时等号成立. 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的外接圆半径为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与二倍角公式计算可得，可求角； （2）利用正弦定理可得，进而可得，利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 在的内角中，有， 由正弦定理及二倍角公式得 ， 又 ，. ，即. 【小问2详解】 由(1)及正弦定理得，，. 由余弦定理得，. 16. 某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况， 从某社区随机调查了 1200 位居民(其中出生月份在 6~8 月的有 400 人). 每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:若骰子朝上点数为奇数，则回答问题 1 :你的出生月份是 6 月、7 月或 8 月吗？若骰子朝上点数为偶数， 则回答问题 2: 你对该政策的落实是否感到满意?调查结束后，统计得到回答 “是” 的居民共有 620 人. 调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题， 并假设所有居民都如实回答了自己的问题. （1）试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例； （2）从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答“是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，确定回答问题2的人数及问题2中回答“是”的人数即可. （2）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 因为骰子朝上点数为奇数、偶数的概率各为 ， 所以估计回答问题 1 和问题 2 的居民各有 人. 由题意，出生月份在 月的比例为 ， 从而回答 “是” 的居民中回答问题 1 的应为 人， 所以回答 “是” 的居民中回答问题 2 的为 (人)， 故估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 . 【小问2详解】 由(1)知，该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 ， 设事件 A 表示居民回答 “是”，事件 B 表示居民所抛骰子是偶数点朝上. 回答 “是” 的概率为 . 回答 “是” 且点数是偶数的概率为 . 因此，所求条件概率为 ， 故已知居民回答 “是” 的条件下，他所抛骰子是偶数点朝上的概率约为 . 17. 如图，在四棱锥中，. （1）证明:平面平面； （2）若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 【答案】（1） 作，垂足为，连接. 在中，由，解得. ，四边形是平行四边形， ，则，，即. ，又平面，平面. 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，连接.利用已知可得，利用勾股定理和逆定理可证，利用线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，. 如图2，以为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，， ， 设平面、平面的法向量分别为， 由，取，得. 由，取，得. 因为平面与平面所成二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为， 所以， 解得或46. 当时，，此时为钝角，不符合题意； 当时，，此时为锐角，符合题意， 故. 18. 已知函数. （1）求的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明: ，. 【答案】（1） （2） （3）由（1）知，，故， 当且仅当时，等号成立，故当时，， 取，，， 则， 故，，，， 所以 ， 即. 【解析】 【分析】（1）求导后结合导数可得该函数单调性，即可得其最值； （2）由题意可得对任意恒成立，当时，符合题意，令 ，利用导数分及可讨论该函数单调性，结合函数单调性分析即可得解； （3）结合（1）中所得，当时，，取，合理放缩可得，再左右分别求和即可得证. 【小问1详解】 ， 由题得， 当时，，所以，在上单调递增； 当时，令， 则 ，则在上单调递减， 则，所以在上单调递减， 所以，所以的最大值为； 【小问2详解】 由 ，整理得， 当时，，符合题意； 令 ，则 ， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以； ① 当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ② 当时，， ， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减，则当时，，不符合题意； 综上，实数的取值范围是； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率等于分别为的左、右焦点，为上任意一点，当线段的中点在轴上时，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于另一个点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于两点. （i）求证：直线与的交点在一条定直线上； （ii）平面上点，使得直线的斜率成等比数列.求证：、、三点共线. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 当直线的斜率为0时，由题知， 因为，所以， 联立和：，解得，则交点； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，有， 因为直线过椭圆内一定点，所以直线与椭圆恒有交点， ，，则， 设，则直线， 即①，同理②， ②①得 ，则； 综上可知，直线与的交点在定直线上； （ii）证明如下： 设直线的方程为，， 由（i）可得，，， 因为点，且、、成等比数列，所以， 故， 即有 ， 故， 整理得，故； （法一）设点到直线的距离为，则， 所以、、三点共线； （法二）直线的斜率 ，因为， 所以 ， 所以、、三点共线； （法三）向量， ， 则， ， 故，故， 又两个向量有公共点，所以、、三点共线. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，则，利用通径公式可得，即可表示出，结合离心率计算即可得解； （2）（i）若直线的斜率为0，可计算出交点坐标；若直线的斜率不为0，可设的方程为，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，再表示出直线、，联立并利用韦达定理求出交点坐标即可得证；（ii）表示出直线的斜率后，利用等比数列性质结合（i）中所得韦达定理可得；（法一）可利用点到直线距离公式证明点在直线上；（法二）可利用斜率证明，从而得到、、三点共线；（法三）可表示出向量、后，利用共线定理得到，从而得到、、三点共线. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则，则，即， 从而轴，则，， 又离心率，则，故， 由，所以，故，则， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 试 卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1. 样本数据1，2，2，3，3，3，4，4，4，4的第一四分位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 2. 已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知 是不共线向量，且，则以下选项正确的是（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若，则 6. 高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 108 B. 120 C. 126 D. 144 7. 已知函数的最小正周期为，且 ，则函数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 函数在定义域内单调递减 D. 的最小值为 2 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的 得0 分) 9. 已知角与角的顶点为原点，始边与轴的正半轴重合，角为第三象限角，且，角的终边与角的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（ ） A. 角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 B. C. D. 10. 设 ，则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限，则下列说法中正确的是（ ） A. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 直线斜率的取值范围为 C. 若，的内切圆的半径分别为，则的取值范围为 D. 的最小值为9 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 13. 一个质点在 轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点出发，移动五次后到达点的概率为_____. 14. 已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的外接圆半径为，求的值. 16. 某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况， 从某社区随机调查了 1200 位居民(其中出生月份在 6~8 月的有 400 人). 每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:若骰子朝上点数为奇数，则回答问题 1 :你的出生月份是 6 月、7 月或 8 月吗？若骰子朝上点数为偶数， 则回答问题 2: 你对该政策的落实是否感到满意?调查结束后，统计得到回答 “是” 的居民共有 620 人. 调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题， 并假设所有居民都如实回答了自己的问题. （1）试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例； （2）从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答“是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率. 17. 如图，在四棱锥中，. （1）证明:平面平面； （2）若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 18. 已知函数. （1）求的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明: ，. 19. 已知椭圆的离心率等于分别为的左、右焦点，为上任意一点，当线段的中点在轴上时，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于另一个点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于两点. （i）求证：直线与的交点在一条定直线上； （ii）平面上点，使得直线的斜率成等比数列.求证：、、三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $