第2周小卷 三角形的证明及其应用综合测评卷-【全能练考卷】2025-2026学年八年级下册数学周末小卷（北师大版·新教材）

周未小卷心周小卷、单元卷、期中卷、期末卷 第2周小卷 综合测评卷 第一章 （教材P1一P9） 时间：100分钟满分：120分 重点知识 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题， 拟 线段的垂直平分线：线段垂直平分线上的，点到这条线段两个端 点的距离相等.它的逆命题也是逆定理， 角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.它的 逆命题也是逆定理， 一、选择题（本题共计10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，∠AOB=30°，点C在射线OB 上，若OC=6,则点C到OA的距离 C 量 等于 ( A.3 B.23 杯 C.33 D.12 2.(重点班重点题)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中 () A.两锐角都大于45° B.有一个锐角小于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都小于45 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB交BC于点E, 若∠B=28°，则∠AEC的度数为 A.28° B.59° C.60° D.62 B 第3题图 第4题图 4.如图，兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子，必 须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三个角的平分线的交点 5.下列叙述正确的个数是 () ①每个命题都有逆命题； ②真命题的逆命题是真命题； ③每个定理都有逆定理； ④每个定理一定有逆命题； ⑤命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题. A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为E,下列结 论不一定成立的是 A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.△BEC≌△DEC D.AB=BD 第6题图 第7题图 7.已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对 应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于 点M,点M一定在 A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心， 以相同的长（大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点 N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若AC=3,AB=5, 则BE的长为 10 A.2 6.3 5 C.8 D 齐M E 第8题图 第9题图 9.如图为一块含30°角的三角板，∠C=90°，若在直线BC或直 线AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形，则这样的P点 共有 () A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10.如图，已知∠A=10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点， 使AB=BC=CD=DE… E M 一直作下去，那么图中以 这些线段为腰长的等腰三 D 角形最多能找到 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 二、填空题（本题共计5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积是 A 0 B 第11题图 第12题图 12.[中考新角度·数学原理]小明同学在学习了全等三角形 的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以 作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB,另一把 直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P.小明说：“射 线OP就是∠AOB的平分线.”小明的作法，其理论依据是 13.如图，在△ABC中，∠A=40°，则∠B+∠C+∠ADE+∠AED= 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一 点，PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂 足为Q.若BF=2,则PE的长为 15.[中考新角度·规律探索]如图所示的螺旋形图形由一系 列的等腰直角三角形组成，在等腰直角三角形OAA,中， ∠OAA1=90°，OA=1,以OA,为直角边作等腰直角三角形 OA1A2,以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…则第4 个等腰直角三角形OA3A4的面积为 ,第n(n为正整 数)个等腰直角三角形OAn-1An的面积为 八年级·数学(BS)·下册3 三、解答题（本题共计8小题，共75分） 16.(8分)用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和， 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证：∠1=∠A+∠B. 17.(8分)如图，已知OA和OB两条公路，以及C,D两个村庄， 建立一个车站P,使车站到两个村庄距离相等，即PC=PD, 且车站P到OA,OB两条公路的距离相等. ·C •D B 18.(9分)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P,Q,R分别在AB, BC,AC上，且PB=QC,QB=RC.求证：点Q在PR的垂直平 分线上. 19.(9分)如图，AB=AC,∠BAC=120°，线段AB的垂直平分线 交BC于点D. (1)求∠ADC的度数， (2)求证：DC=2DB. 4八年级·数学(BS)·下册 20.（9分)如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE是BC的垂直 平分线， (1)求证：CD=24B (2)在AB上找一点F,使得点F到点D,E的距离相等.（尺 规作图，保留痕迹) 21.[中考新角度·阅读理解](10分)阅读材料：已知在△ABC 中，AD平分∠BAC,AD是△ABC的中线，求证：AB=AC. 如图1，小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD= ∠CAD,又AD是△ABC的中线，可得BD=CD,加上公共边 的条件AD=AD,有两条边和一个角对应相等，就下结论得到 △ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B=∠C,可证出 AB=AC成立. 如图2，小芳的方法是用角平分线的性质得到DE=DF,再用 中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以 得到结论 请你回答：小明和小芳的证明思路谁的正确？并说明理由、 E B D 图1 图2 22.（重点班重难题)(11分)如图，在△ABC中，∠ABC=60°， ∠ACB=40°，点P为∠ABC,∠ACB的平分线的交点. (1)∠BPC的度数是 (2)请问点P是否在∠BAC的平分线上？并说明理由. (3)证明：AB=PC 23.(11分)已知：在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC 于点E,F (1)如图1，∠B=∠C=30°，求∠EAF的度数 (2)如图2，AB≠AC,且90°<∠BAC<180°. ①若∠BAC=140°，则∠EAF= ;若∠BAC= n°，则∠EAF= ②当∠BAC= 时，AE⊥AF; ③若BC=a,则△AEF的周长为 图2(2).DF垂直平分线段AB, .DB=DA, .∠DAB=∠B=30°. .:∠C=40°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°- 40°=110°， ∴.∠CAD=∠BAC-∠DAB=110°-30°=80°. .·AE平分∠CAD, ∠DAE=2∠CM0=2×80°=40 23.（1)证明：如图，作DF⊥BC于点F,作DH⊥ AB于点H. BD是△ABC的角平分线，∴.DF=DH, BC·DF SABCD- 2 BC SABAD ZAB DH AB B ED (2)证明：如图，作BE⊥AC于点E. CD·BE 2 CD SABAD 40.B AD' SABCD_BC 由(1)知SA8oAB BC CD ·AB=AD （3)解：胎-品8C=4,48=6, C0=42 AD6=3 CD 2 EAD+CD3+2,即C0-2 AC=5, 5×5=2. 故答案为2. 34八年级·数学(BS)·下册 24.解：(1)AB=AC, ∠B=LACB=2(180-LA)=7×(180°- 40)=70. MN⊥AB, ∴.∠MWB=90°， ∴.∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°. 故答案为20 (2),AB=AC, ∠B=∠ACB=2(180-∠0=2×(180°- 70)=55 .MN⊥AB, .∠MNB=90°， ∴.∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35° 故答案为35. (3).AB=AC, ∠B=LACB=2(180-∠A)=2×(1I80- 120)=30°. .MN⊥AB, .∠MWB=90°， .∠NMB=90°-∠B=90°-30°=60° 故答案为60. (4)LNMB=2LA证明如下： AB=AC, ∠B=∠ACB=7(180-∠A)=90- 34a ,MN⊥AB, .∴.∠MNB=90° 六LMWB=900-∠B=90°-(90-3∠）= 分41 第2周小卷综合测评卷 BC=DC, 1.A【解析】如图，作CD⊥ △DEC中，CE=CE,∴.△BEC≌△DEC(SSS),故 OA于点D.在Rt△COD BE DE, C 中，∠A0B=30°，0C=6, C选项正确；AB不一定等于BD,故D选项错 0 A 误.故选D. CD=20C=3.故选A 7.A【解析】如图，连接AM.由 题意得MG=MH,MG⊥AB, 2.A【解析】反证法证明命题“在直角三角形 MH⊥AC,∴.AM平分∠BAC,则 中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直 M 点M在∠BAC的平分线上.故 角三角形中两锐角都大于45°.故选A. 选A. 3.B【解析】在Rt△CAE和Rt△DAE中， 8.C【解析】如图，连接AE. IAE=AE,、Rt△CAE≌Rt△DAE(HL), .∠ACB=90°，AC=3,AB= LAC =AD. 5,..BC=AB2 AC2 =4. LCAE=LDAE=7LCAB.BCAB= 由作图可知，MN是线段AB 的垂直平分线，∴.AE=BE,则AC2+CE2=AE2, 90°，∠B=28°，∴.∠CAB=90°-28°=62° ∠CM5=2∠CB=2×62=319,∠ABC= 即3+(4-BE)=BF,解得E-空故运C 9.C【解析】如图，①线段 90°-∠CAE=90°-31°=59°.故选B AB的垂直平分线交AC于 4.C【解析】猎狗到△ABC三个顶点的距离相 一点P,交直线BC于点 等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边的垂直平 P2（此时PA=PB);②以 分线的交点.故选C. 点A为圆心，AB的长为半 5.B【解析】把原命题的题设与结论交换得到 径画弧，交AC于点P3, 它的逆命题，所以①正确；真命题的逆命题不 P4,交BC于点P2(此时AB=AP);③以点B为 一定是真命题，如若a=b,则1al=Ibl,其逆命 圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点P,P2, 题为若Ial=Ibl,则a=b,它是假命题，所以② 交AC于点P。（此时BP=BA).故符合条件的 错误；定理的逆命题不一定是真命题，所以每 点有6个.故选C. 个定理不一定都有逆定理，所以③错误；每个 10.B【解析】AB=BC,∠A=10°，.∠ACB= 定理一定有逆命题，所以④正确；命题“若a= ∠A=10°，∴.∠CBD=∠A+∠ACB=20°.… b,那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b,则a= 从图中我们会发现第一个等腰三角形的底角 b”,它是真命题，所以⑤错误.综上所述，正确 是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是 的有2个.故选B. 40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是 6.D【解析】AC垂直平分BD,∴.AB=AD, 70°，第八个是80°，第九个是90就不存在了， BC=CD,故A选项正确；'BC=CD,AC⊥BD, 所以这样的等腰三角形最多能找到8个.故 ∴.AC平分∠BCD,故B选项正确；在△BEC和 选B. 11.12【解析】如图，作AH1 BC于点H..AB=AC, BC-6.BH-BC=3. 由勾股定理得AH=√AB2-BH=√52-32= 4,S6m=2×BC×AH=2x6×4=12.故 答案为12. 12.在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的 平分线上【解析】如图，过 E 两把直尺的交点P作PE⊥ OA于点E,PF⊥OB于点F.·这是两把完全 相同的长方形直尺，∴.PE=PF,∴.OP平分 ∠AOB.故答案为在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分线上、 13.280°【解析】：∠A=40°，∴.∠B+∠C= 180°-∠A=140°，∠ADE+∠AED=180°- ∠A=140°，∴.∠B+∠C+∠ADE+∠AED= 140°+140°=280°.故答案为280°. 14.√3【解析】：△ABC是等边三角形，P是 ∠ABC的平分线BD上一点，∴.∠FBQ= ∠EBP=30°，.FQ=2BF=1.在Rt△BFQ 中，BQ=√BF2-FQ=√22-12=√3.又： QF是线段BP的垂直平分线，∴.BP=2BQ= 2√3.在Rt△BPE中，∠EBP=30°，.PE= BD=5.放答案为5， 15.4;2m-2【解析】∠A=90°，0A=AA1=1, ∴.OA1=√/OA2+AA好=√2OA=√2.同理可得 0A2=V20A1=2×V2=(2)2,…,第4个等 腰直角三角形的直角边OA3=(√2)3=2√2， “第4个等腰直角三角形的面积=？×22× 2√2=4.根据规律，第n个等腰直角三角形的 直角边0An-1=(√2)n-1,第n个等腰 直角三角形0A,1A,的面积=)×(2)-1× (2)1=7×2-1=22故答案为：420 16.证明：假设∠1≠∠A+∠B. 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴.∠A+∠B=180°-∠ACB. .·∠1+∠ACB=180°， .∠1=180°-∠ACB, ∴.∠1=∠A+∠B,与假设相矛盾， .假设不成立， ∴.原命题成立，即∠1=∠A+∠B. 17.解：如图，点P即为所求. ·C ·D 0 B 18.证明：如图，连接PQ. 在△BQP和△CRQ中， PB=QC, ∠B=∠C, LQB=RC, ∴.△BQP≌△CRQ(SAS), .OP=RO, ∴.点Q在PR的垂直平分线上. 19.(1)解：.：AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=∠C=2(180-∠B4C)=7×(1809- 120)=30°. :AB的垂直平分线交BC于点D, ∴.AD=BD,.∠BAD=∠B=30°， .∠ADC=∠B+∠BAD=30°+30°=60°. (2)证明：.∠ADC=60°，∠C=30°， ∴.∠DAC=90°，∴.DC=2AD. ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- 由(1)知，AD=DB, 50°=130°. ∴.DC=2DB. 故答案为130°. 20.(1)证明：D是AB的中点， (2)解：点P在∠BAC的平分线上.理由如下： ∴.AD=BD 如图，过点P分别作 ,DE是BC的垂直平分线， 三角形三边AB,BC, .CD=BD, AC的垂线，垂足分别 CD-. 为D,E,F.PB,PC B 分别是∠ABC,∠ACB的平分线， (2)解：如图，作线段DE的 --M ∴.PD=PE,PE=PF, 垂直平分线，交AB于点F, .PD=PF, 则点F即为所求。 ∴.点P在∠BAC的平分线上. 21.解：∠BAD=∠CAD,BD=CD,AD=AD,不 (3)证明：如图，延长AP, 能证明△ABD和△ACD全等， 在线段AP的延长线上取 ∴.小明的证明思路不正确。 PG=PC,连接GC. 小芳的证明思路正确.理由如下： AP,CP分别为∠BAC, 如图，过点D作DE⊥ ∠ACB的平分线， AB于点E,作DF⊥AC E 于点F :∠PAC=2LBAC= .:AD是∠BAC的平分 2(180-LA8c-∠4C8)=7×(180- 线，∴.DE=DF .AD是△ABC的中线， 60°-40)=40，∠ACP=2∠4CB=7× .S△ABD=S△ACD, 40°=20°， *ZABXDE-2ACXDF. ∴.∠GPC=∠PAC+∠ACP=40°+20°=60°. PG=PC,∴.△PGC为等边三角形， .∴.AB=AC. ∴.∠G=60°=∠ABC,PC=CG 22.(1)解：点P为∠ABC,∠ACB的平分线的 在△ABC和△CGA中， 交点， ,∠ACB=∠CAG=40°， ∠CP=LAP-3LABc,∠GP=∠ACP ∠ABC=∠G, LAC=CA, 40s ∴.△ABC≌△CGA(AAS), ,∠ABC=60°，∠ACB=40°， .AB=CG, ∠PaC+∠PB=7∠ABC+7∠ACB-30+ ∴.AB=PC. 23.解：(1).∠B=∠C=30°， 20°=50°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30° 八年级·数学(BS)·下册35 30°=120°. .AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F ∴.∠BAE=∠B=30°，∠CAF=∠C=30°， .∴.∠EAF=∠BAC-∠BAE-∠CAF=120°- 30°-30°=60°. (2)①.·∠BAC=140°， ∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-140°=40°. .·AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F, ∴.∠BAE+∠CAF=40°， ∴.∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=140°- 40°=100° :∠BAC=n°， ∴.∠B+∠C=180°-n. ·AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F, ∴.∠BAE+∠CAF=180°-n°， ∴.∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=n° (180°-n)=(2n-180)°. 故答案为：100；(2n-180)°. ②设∠BAC=x°， 由①得∠EAF=(2x-180)°. .AE⊥AF, ∴.∠EAF=90°，即2x-180=90, 解得x=135. 故答案为135， ③：AB,AC的垂直平分线分别交BC于点 E,F, .AE=BE,AF=CF, ∴.△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+CF+ EF=BC=a. 故答案为a. 第3周小卷考点通关卷 1.B【解析】不等式是指用不等号来连接不等 关系的式子，如>，<，≥，≤，≠，则不等式有 ①②⑤⑥，共4个.故选B. 2.B【解析】“每100克内含钙≥150毫克”，就 36八年级·数学(BS)·下册 是“每100克内含钙不低于150毫克”.故 选B. 3.B【解析】a<b,∴.a+1<b+1,故A选项 正确；.a<b,∴.-a>-b,.2-a>2-b,故B 选项错误；a<b,∴.3a<3b,故C选项正确； a<6,<,故D选项正确故选B x>-1, 4.B【解析】不等式组 的解集为-1<x< lx<2 2,在数轴上表示为20分3→ 故选B. 5.D【解析】不等式m<2的正整数解为1，且只 有一个，故A选项不符合题意；.3m-2<0, m<号-3是不等式3m-2<0的-个 解，故B选项不符合题意；不等式m>2的整数 解有无数个，故C选项不符合题意；.·-2m> 4,∴.m<-2,故D选项符合题意.故选D. 6.B【解析】设他答对了x道题，根据题意，得 10x-5(19-x)>90.故选B. 7.A【解析】设护眼灯打x折销售，根据题意，得 180×0-120≥120×5%，解得x≥7，即最多 可以打7折.故选A. 8.A【解析】根据函数图象可知，不等式x+ b>0的解集是x>-1.故选A. 9.C【解析】由x-5=-3a,解得x=5-3a.由 关于x的方程x-5=-3a的解为负数，得5- 3a<0,解得a>故选C. 10.B【解标1+>a,① 解不等式①，得x> l2x-6≤0，②1 a-2.解不等式②，得x≤3.不等式组 有解，心该不等式组的解集是 a-2<x≤3，.a-2<3,解得a<5.故选B.17.解：解不等式5x-2>3(x+1),得x>2.5. 11.31【解析】设三个连续正整数中最小的数为 解不等式≤1-1，得x≤7. x,则另外两个数分别为x+1,x+2.依题意得 x+x+1+x+2<99,解得x<32,∴.x<32且 把不等式组的解集在数轴上表示出来如图 x是正整数，.x有从1到31，共31种取法， 所示： 即这样的正整数共有31组.故答案为31. 12.6【解析】设有x个孩子，则有(3x+8)个苹 3x+8>5(x-1), 0468g 果，依题意得 解得 3x+8<5(x-1)+3, 则不等式组的解集为2.5<x≤7， 5<x<6.5.又x为正整数，∴.x=6,即有 ∴.不等式组的整数解为3,4,5,6,7. 6个孩子.故答案为6. 18.解：(1)由4x-y=1, 13.3<x≤10【解析】依题意得 则y=4x-1. 3(3x+1)+1≤94， 故答案为y=4x-1. 3[3(3x+1)+1]+1>94, (2)由题意，得y≤7，即4x-1≤7， 解得3<x≤10. 解得x≤2. 故答案为3<x≤10. 故x的正整数解为1,2 14.3【解析】+2y=3k,① 19.解：任务1： 由①-②，得 2x+y=2k+2,② (1)解不等式时，从第一步开始出现错误，具 y-x=k-2.0<y-x<2,∴.0<k-2<2,解 体原因是去分母时不等式左边第二项漏乘2. 得2<k<4.k是整数，k=3.故答案为3. (2)由原不等式化为第一步的依据是不等式 15.-7<a≤-5【解析】由2x+a≤1，得x≤ 的基本性质2. 20不等式2x+a≤1只有3个正整数 故答案为：(1)一；去分母时不等式左边第二 项漏乘2；(2)不等式的基本性质2. 解，.该不等式的正整数解为1,2,3，∴.3≤ 任务2： 1“<4,解得-7<a≤-5.故答案为-7< 2 正确的解题过程： a≤-5. 去分母，得x+5-2<3x-2. 16.解：(1)-2>-1， 移项，得x-3x<-2-5+2. 合并同类项，得-2x<-5. 两边都乘-2，得x<2. (2)x>2-6, 系数化为1，得> 任务3： 1 移项，得x-2x>-6 建议：不等式左右两边乘同一个负数时，不等 号的方向要改变（言之有理即可）. 合并同类项，得2>-6. 20.解：(1)设该商场购进甲种商品x件，乙种商 两边都乘2，得x>-12. 品y件，依题意得