专题1.3 相交线与平行线 中的易错题集 期中复习讲义 2025-2026学年人教版数学 七年级下册

专题1.3 《相交线与平行线》中的易错题集 【易错点攻坚】 类型一 相交线与平行线相关概念 【例1-1】（25-26七年级下·北京·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．内错角相等，两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义、平行线的判定定理以及关于平行和垂直的公理、性质，逐一判断各选项即可 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等，但不是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，表述正确，原命题是真命题，符合题意； C、只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，原命题是假命题，不符合题意； D、正确的命题是“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项缺少“平面内”的前提条件，命题不成立. 原命题是假命题，不符合题意 【例1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 【例1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知线段的长为10，点A，B到直线l的距离分别为6和4，则符合条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解：在线段的两旁可分别画一条满足条件的直线； 作线段的垂线，将线段分成6，4两部分， 所以符合条件的直线有3条， 故选：C． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数． 【变式1-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个角的和是平角，那么这两个角是邻补角 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据邻补角定义，平行线的判定与性质，点到直线距离的定义，逐一判断各命题真假即可． 【详解】解：∵ 两个角的和是平角时，这两个角不一定有公共顶点和公共边，不一定是邻补角， ∴ A是假命题； ∵ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，形成的同位角都为，满足两直线平行的判定条件， ∴B是真命题； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论， ∴C是假命题； ∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离，不是垂线段本身， ∴D是假命题． 【变式1-2】（25-26七年级下·黑龙江·月考）下列命题是真命题的个数有（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④过点P作线段的垂线，垂足一定在线段上； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查平面内垂直与平行的基础性质，只需逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：① 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，故①是真命题； ② 一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，并非一定相等，故②是假命题； ③ 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题未说明被截的两条直线平行，故③是假命题； ④ 过点P作线段的垂线，垂足可能在线段的延长线上，不一定在线段上，故④是假命题； ⑤只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，命题未说明点在直线外，若点在已知直线上无法作出平行线，故该命题是假命题； 综上，真命题只有1个． 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）如图，直线、、相交于点O，的对顶角是______，的邻补角是______． 【答案】 / 或 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角的定义，熟练掌握邻补角及对顶角的定义是解题的关键；因此此题可根据邻补角及对顶角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 【变式1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）同一平面内，已知线段长为． （1）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有________条； （2）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有________条． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数． （1）根据点到直线的距离，即可求解． （2）根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：（1）如图，在线段的两旁可分别画一条满足条件的直线； 如图，作线段的垂线，将线段分成为和两部分． 则符合条件的直线共有条， 故答案为：； （2）同理（1），如图，在线段的两旁可分别画一条满足条件的直线； 如图，与线段相交，分别画一条满足条件的直线； 故答案为：． 类型二 “三线八角”识别 【例2】（25-26七年级下·广东河源·月考）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法． 【详解】解：A．与是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意； B．与是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意； C．与是对顶角，因此选项C不符合题意； D．与是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 【详解】解：A选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，都在被截直线的上方，在截线的右侧，符合同位角的位置关系，所以和是同位角，故A选项符合题意； B选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故B选项不符合题意； C选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的右侧，在截线的左侧，所以和不是同位角，故C选项不符合题意； D选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故D选项不符合题意； 故选：A ． 【变式2-2】（25-26七年级下·山东泰安·月考）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：由内错角的定义可知：只有选项D中的与是内错角． 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东日照·期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的定义，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角，据此判断即可． 【详解】解：选项①②③中，∠1和∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； ④中，∠1和∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：B． 【变式2-4】（25-26七年级下·甘肃兰州·月考）如图，直线与直线相交于点，点为平面上一点，连接，下列说法中，①和是同位角；②和是内错角；③和是对顶角；④和是同旁内角；⑤和互为补角．正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角．同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：①和是同位角，说法正确； ②和不是内错角，说法错误； ③和不是对顶角，说法错误； ④和是同旁内角，说法正确； ⑤和互为补角，说法正确 结论一定正确的有①④⑤共3个； 故选：B． 类型三 漏解 【例3-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）与在同一平面内，且与的两边分别平行，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用平行线的性质求解，当两个角的两边分别平行时，两个角相等或互补，分情况讨论即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当与开口方向相同时，如图， ∵的两边分别与的两边平行， ∴，， ∴； 当与开口方向相反时，如图， ∵的两边分别与的两边平行， ∴，， 又， ∴， ∴ 综上，的度数为或． 【例3-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键． 依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为， 分两种情况讨论如下： ①当直线在直线之间时，如图1所示： 此时与之间的距离是：； ②当直线在直线外时，如图2所示： 此时与之间的距离是：， 综上所述：与之间的距离是或． 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，且的两边与的两边满足一边互相平行，另一边互相垂直，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，涉及了分类讨论思想．如图①，求出，由平行线的性质推出；如图②，求出，由对顶角的性质得到，由平行线的性质推出，求出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图②，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，已知，如果的一边与的一边互相平行，且的另一边与的另一边互相垂直，那么的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，三角形的内角和定理和外角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分两种情况讨论，利用平行线的性质以及三角形的内角和定理和外角定理即可求解． 【详解】解：①如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴； ②如图： 由题意得：， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：C． 类型四 平行线的判定与性质 【例4-1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，，求证：． 根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程． 证明：（已知）， （   ）． （   ）， 又（已知）， ______（   ）． ______． ____________（   ）， 即． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行；；；；等式的性质 【分析】根据平行线的判定和性质进行证明． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （内错角相等，两直线平行）． ． （等式的性质）， 即． 【例4-2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）完成推理填空： 如图，已知，平分，，求的度数． 解：（已知）， （______________________）， （______________________）， ， 平分（已知）， ___________（______________________）， 又（已知）， （______________________）， ， ____________________． 【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义；垂线的定义；50；25． 【分析】先证明得到，则可求出的度数，由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义得到的度数，则可求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 又（已知）， （垂线的定义）， ， ∴． 【变式4-1】（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，点E，G分别在，上，于点F，，，求证： 解：， ∴____________（            ） ． ， ∴____________=____________．（                ） ．（                ） ∴____________=____________（            ） ． 【答案】见详解 【分析】先理解垂线的定义得，故，结合，故由同角的余角相等得，最后根据平行线的性质与判定进行分析，即可作答． 【详解】解：， ∴（垂线的定义） ． ， ∴．（同角的余角相等） ．（两直线平行 ，同位角相等） ∴（等量代换） ． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南信阳·月考）某篮球架及侧面示意图如图所示．若于点．求的度数． 由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ， ①（___________）（如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （②___________）． ， ， （③___________）， 于点， （④___________）， ， ⑤___________（平角的定义）． 【答案】①；②两直线平行，同旁内角互补；③两直线平行，内错角相等；④垂直定义；⑤ 【分析】根据平行线的判定和性质及平角的定义补全解题过程即可． 【详解】解：过点作平行于， ， （如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （垂直定义）， ， （平角的定义）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 《相交线与平行线》中的易错题集 【易错点攻坚】 类型一 相交线与平行线相关概念 【例1-1】（25-26七年级下·北京·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．内错角相等，两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【例1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 【例1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知线段的长为10，点A，B到直线l的距离分别为6和4，则符合条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个角的和是平角，那么这两个角是邻补角 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 【变式1-2】（25-26七年级下·黑龙江·月考）下列命题是真命题的个数有（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④过点P作线段的垂线，垂足一定在线段上； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）如图，直线、、相交于点O，的对顶角是______，的邻补角是______． 【变式1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）同一平面内，已知线段长为． （1）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有________条； （2）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有________条． 类型二 “三线八角”识别 【例2】（25-26七年级下·广东河源·月考）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是同旁内角 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·山东泰安·月考）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东日照·期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【变式2-4】（25-26七年级下·甘肃兰州·月考）如图，直线与直线相交于点，点为平面上一点，连接，下列说法中，①和是同位角；②和是内错角；③和是对顶角；④和是同旁内角；⑤和互为补角．正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 类型三 漏解 【例3-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）与在同一平面内，且与的两边分别平行，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【例3-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【变式3-1】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，且的两边与的两边满足一边互相平行，另一边互相垂直，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-2】（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，已知，如果的一边与的一边互相平行，且的另一边与的另一边互相垂直，那么的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 类型四 平行线的判定与性质 【例4-1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，，求证：． 根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程． 证明：（已知）， （   ）． （   ）， 又（已知）， ______（   ）． ______． ____________（   ）， 即． 【例4-2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）完成推理填空： 如图，已知∠D=∠DOB=90°，平分，，求的度数． 解：（已知）， （______________________）， （______________________）， ， 平分（已知）， ___________（______________________）， 又（已知）， （______________________）， ， ____________________． 【变式4-1】（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，点E，G分别在，上，于点F，，，求证： 解：， ∴____________（            ） ． ， ∴____________=____________．（                ） ．（                ） ∴____________=____________（            ） ． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南信阳·月考）某篮球架及侧面示意图如图所示．若于点．求的度数． 由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ， ①（___________）（如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （②___________）． ， ， （③___________）， 于点， （④___________）， ， ⑤___________（平角的定义）． 学科网（北京）股份有限公司 $