4.5 三角形的中位线讲义2025-2026学年浙教版八年级数学下册

4.5三角形的中位线 讲义 基础知识梳理 1. 三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有 3 条 中位线。 2. 三角形中位线定理（核心） 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言（微软公式格式）： 在 中，若 分别是 中点，则. 3. 中位线与中线的区别 中位线：连两边中点，平行且等于第三边一半 中线：连顶点与对边中点，平分面积 4. 重要结论 ①三条中位线把原三角形分成 4 个全等小三角形 ②中位线三角形周长 = 原三角形周长的 一半 ③中位线三角形面积 = 原三角形面积的 ④顺次连接四边形各边中点，得到 平行四边形（中点四边形） 技巧总结归纳（解题直接用） 见中点，连中点，优先用中位线 求线段长：用 证平行：中位线天然平行第三边 求周长：中位线周长 = 原周长一半 求面积：中位线面积 = 原面积 四边形中点：直接得平行四边形 最值问题：转化为定点到定点距离，用三角形三边关系 多中点问题：连对角线，构造两组中位线 典例精讲 题型一 利用中位线求线段长度 典例 1如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 技巧点拨：中位线平行第三边，直接用同位角相等。 变式 1如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 题型二 中位线与面积问题 典例 2如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】由，可得，，结合、分别是、的中点，可得，进一步可得答案． 【详解】解：连接．    ∵的面积为24，， ∴，， 、分别是、的中点， ，，， ． 技巧点拨：中点连线形成的三角形面积 = 原三角形面积 。 变式 2（如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：∵，，．点F是中点， ∴， ∵把线段沿射线方向平移到，点D在上， ∴是的中位线， ∴， ∴线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是． 题型三 与中位线有关的证明题 典例 3如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 【分析】（1）根据题意可知分别为的中位线，再利用中位线的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形； （2）利用中位线定理可知，，再代入计算周长即可． 【详解】（1）证明：分别是边的中点， 分别为的中位线， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， 又分别是边的中点， 分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 技巧点拨：四边形中点连线必为平行四边形，周长 = 原四边形对角线之和。 变式 3 如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）要证明，先利用三角形中位线定理，结合中点条件得到，从而判定四边形为平行四边形；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，推出为的中点，即． （2）判断与的数量关系，先在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到；再结合三角形中位线定理，得到，从而推出． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴． （2）解：．理由如下： ∵是的中点，， ∴． ∵分别是的中点， ∴， ∴． 题型四 中位线最值问题 典例 4如图，在中，，为边的中点，为边上一动点．若的最小值为，则的面积为_______________ ． 【答案】 【分析】先找出点在何处时，的最小值为，然后根据勾股定理的逆定理求出的形状，再根据三角形中位线和直角三角形斜边的中线与斜边的关系，求出的长，由勾股定理可以求得的长，最后根据三角形面积即可计算出的面积． 【详解】解：作点关于直线的对称点，交于点，连接，如图所示，则就是的最小值，此时， 点为的中点，， ， ∴， ∴， ∴ 是直角三角形，， 点为的中点， ， ， 作于点，则， ， ， 的面积为：． 技巧点拨：动点到定点最短距离为垂线段，再用中位线放大。 变式 4 （如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 技巧点拨：双中点结构，最大值 = 两条线段和的一半。 题型五 中位线性质的综合应用（压轴） 典例 5【问题情境】 图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体． 如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等． 【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题： 如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计． 【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计． 【分析】本题考查图形设计，三角形中位线的性质，矩形的判定； 探究实践：参考问题情境中的操作，进行图形的分割和合并即可； 拓展应用：先过的垂线，即可得到两个直角三角形，参考探究实践中的思路进行图形的分割和合并． 【详解】探究实践： 图形的分割：取中点，中点，连接，延将分割成两个图形； 图形的拼合：如图②所示，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时，矩形的面积与的面积相等， 拓展应用：如图： 图形的分割：过作于，取中点，中点，连接交于，延，将分割成四个图形； 图形的拼合：如图③所示，将绕点旋转，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时矩形的面积与的面积相等． 技巧点拨：中位线是分割-拼接的核心辅助线。 典例 6提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动． 如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点，分别为，的中点． 如图2，将点、点重叠合并在一起，记作点，点，分别落在边，上，连接，记的中点为点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究交流：感恩小组发现，，．并展示了如下的证明方法： ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵点，分别是，的中点， ，．（依据1） ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，（依据2） ∴， ∴． 反思拓展： (1)①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图2中，与的位置关系，请直接回答，不必证明； (2)“责任”小组在探究时，把绕点逆时针方向旋转到如图3的位置，发现是等腰直角三角形，请你给出证明； (3)“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令，时，把绕点在平面内自由旋转，的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大值与最小值？若存在，请直接写出面积的最大值与最小值． 【分析】（1）①根据中位线的性质和直角三角形的性质作答即可； ②根据等腰直角三角形的性质可得，，由平行线的性质可得，因此； （2）连接，连接并延长，交的延长线于点，容易证明，则，，由等量代换可得，即．由中位线的性质可得，，，，因此，，命题得证； （3）由（2）可知，，是等腰直角三角形，，因此．结合可求出的范围，从而得出的面积的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 依据2：直角三角形的两锐角互余． ②结论：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，连接并延长，交的延长线于点， 由旋转的性质可知，， ∵、都是等腰直角三角形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，是的中位线， ∴，，即， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴随的增大而增大， ∵，， 又∵， ∴， ①当点在线段上，如图，此时取得最小值， ∴； ②当点在线段的延长线上，如图，此时取得最大值， ∴； 综上所述，的面积会发生变化，的面积最小为，最大为． 技巧点拨：旋转+双中点，必构造中位线+等腰直角模型。 课堂小结（必背） 1. 核心定理： 2. 常用结论 中点四边形：一定是平行四边形 周长：原周长一半 面积：原面积 3. 解题口诀 见中点，连中点，中位线，立刻有 求长度，取一半；证平行，直接用 求最值，用三边；四边形，连对角线 4. 易错点 中位线是两边中点，不是顶点与中点 中位线平行且等于一半，不要只记一半 多中点图形，先连对角线再用中位线 1．（2025春•瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝30，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长度为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算． 【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC30＝15． 故选：C． 2．（2025春•琼海校级期中）如图，已知DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且AF⊥CF，若AB＝12，，则AC的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，进而求出EF，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AB＝12， ∴DEAB12＝6， ∴EF＝DE﹣DF＝6， 在Rt△AFC中，E是AC的中点， ∴AC＝2EF＝9， 故选：B． 3．（2025春•清江浦区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且E为AF的中点，若BF＝5，DE＝4，则AB的长为（　　） A．13 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出FC，计算即可． 【解答】解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴AD＝DC， ∵E为AF的中点， ∴DE是△AFC的中位线， ∴FC＝2DE＝2×4＝8， ∴BC＝BF+FC＝5+8＝13， ∵AB＝BC， ∴AB＝13， 故选：A． 4．（2025春•黄石校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则△DOE的周长与△BOC的周长之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别作BO，CO的中点M，N，连接EM，MN，ND，根据三角形的中位线的性质得出DE＝MN，DE∥MN，证明四边形EMND为平行四边形，进而推出BO＝2OD，CO＝2OE，进行求解即可． 【解答】解：分别作BO，CO的中点M，N，连接EM，MN，ND，则OM＝MB，ON＝CN， ∵点D，E分别是边AC，AB上的中点， ∴，DE∥BC， ∵点M，N分别是BO，CO的中点， ∴，MN∥BC， ∴DE＝MN，DE∥MN， ∴四边形EMND为平行四边形， ∴OM＝OD，OE＝ON， ∵OM＝MB，ON＝CN， ∴OB＝2OD，CO＝2OE， ∴BC+OB+OC＝2（DE+OE+OD），即：△BOC的周长＝△DOE的周长的2倍； ∴△DOE的周长与△BOC的周长之比为； 故选：A． 5．（2025春•黄石校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF＝3，CE＝4，EF＝5，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵E，F分别是CA、BC的中点， ∴EF是△ACB的中位线， ∴AB＝2EF＝10， 在△ECF中，CE2+CF2＝43+32＝25，EF2＝52＝25， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴∠ACB＝90°， ∵D是AB的中点， ∴CDAB＝5， 故选：A． 6．（2025春•龙岩校级期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明在AB外选一点C，连接AC、BC，分别取AC、BC的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（　　） A．AC B．AD C．CD D．DE 【答案】D 【分析】根据中位线定理可得AB＝2DE，即可得到解答． 【解答】解：∵D、E分别是边AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE， ∴为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段DE， 故选：D． 7．（2025春•合川区期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝120°，则∠PEF的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理推出PEAD，PFBC，得到PE＝PF，推出∠PEF＝∠PFE，即可求出∠PEF（180°﹣120°）＝30°． 【解答】解：∵P是BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点， ∴PE、PF分别是△ABD、△BCD的中位线， ∴PEAD，PFBC， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∵∠EPF＝120°， ∴∠PEF（180°﹣120°）＝30°． 故选：B． 8．（2025春•杭州期中）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　 　 ． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE． 【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DEBC，DE∥BC， 又∵DE＝2， ∴BC＝4． ∴∠AED＝∠C， ∵∠AED＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝4， 故答案为：4． 9．（2025春•徐州期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约 　 　 m． 【答案】36． 【分析】依据题意，由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的值即可． 【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得AB＝2DE＝36m． 故答案为：36． 10．（2025春•莒县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　 ． 【答案】 【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可． 【解答】解：连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DECM， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得：AB10， ∵S△ABC， ∴CM， ∴DE， 故答案为：． 11．（2025春•绵阳校级期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠A＝60°，∠ABC＝86°，则∠PEF的度数是　 　 ． 【答案】17°． 【分析】根据三角形中位线定理得到PE∥AD，PF∥BC，PE＝PF，根据平行线的性质和三角形外角定理得到∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠BEP+∠ABD+∠CBD＝∠BEP+∠ABC＝146°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵P是BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点， ∴PE、PF分别是△ABD、 ∴△BCD的中位线， ∴PEAD，PFBC，PE∥AD，PF∥BC， ∴∠BEP＝∠A＝60°，∠DPF＝∠CBD， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∵∠DPE＝∠BEP+∠ABD， ∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠BEP+∠ABD+∠CBD＝∠BEP+∠ABC＝60°+86°＝146°， ∴∠PEF（180°﹣146°）＝17°． 故答案为：17°． 12．（2025春•文登区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF，若BC＝4，AF＝6，则△DEF的周长是　 　 ． 【答案】． 【分析】先利用中点的意义求得，再利用勾股定理求得AC，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质求得DE、EF，利用中位线定理求得DF，进而可求得△DEF的周长． 【解答】解：∵D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF，BC＝4， ∴， ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC， ∵AF＝6， ∴， ∵BE⊥AC，D，F分别是AB，BC的中点， ∴，，， ∴△DEF的周长是， 故答案为：． 13．（2025春•兰山区期中）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，且CF＝DE．求证：DC∥EF． 【分析】由已知条件易证DE是△ACB的中位线，所以DE∥AC，又因为DE＝CF，所以四边形DCFE是平行四边形，进而可证明DC∥EF． 【解答】证明：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ACB的中位线， ∴DE∥AC， 又∵DE＝CF， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴DC∥EF． 14．（2025春•上海校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm． （1）求证：DE＝BF； （2）求四边形DEFB的周长． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC，根据题意得到BFBC，等量代换证明结论； （2）根据勾股定理求出DB，证明四边形DBFE为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CF＝3BF， ∴BFBC， ∴DE＝BF； （2）解：∵点D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CD＝6cm， ∵DE＝4cm， ∴BC＝8cm， 由勾股定理得：DB10（cm）， ∵DE＝BF，DE∥BC， ∴四边形DBFE为平行四边形， ∴四边形DEFB的周长＝2×（4+10）＝28（cm）． 15．（2025春•潮阳区校级期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M． （1）求证：EFAC． （2）连接AM，若∠BAC＝45°，AM+DM＝15，BE＝9，求CE的长． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EFAC； （2）连接AM，证得△AEC是等腰直角三角形，EF垂直平分AC，AM＝CM，则BC＝AM+DM＝15，在Rt△BEC中，利用勾股定理可得出CE的长． 【解答】（1）证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点， ∴CE⊥BD， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，点F为AC的中点， ∴EFAC； （2）解：∠BAC＝45°，CE⊥BD，AM+DM＝15，BE＝9，如图，连接AM， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∵点F为AC的中点， ∴EF垂直平分AC， ∴AM＝CM， ∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB， ∴BC＝AM+DM＝15， ∵BE＝9， 在Rt△BEC中，由勾股定理得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5三角形的中位线 讲义 基础知识梳理 1. 三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有 3 条 中位线。 2. 三角形中位线定理（核心） 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言（微软公式格式）： 在 中，若 分别是 中点，则. 3. 中位线与中线的区别 中位线：连两边中点，平行且等于第三边一半 中线：连顶点与对边中点，平分面积 4. 重要结论 ①三条中位线把原三角形分成 4 个全等小三角形 ②中位线三角形周长 = 原三角形周长的 一半 ③中位线三角形面积 = 原三角形面积的 ④顺次连接四边形各边中点，得到 平行四边形（中点四边形） 技巧总结归纳（解题直接用） 见中点，连中点，优先用中位线 求线段长：用 证平行：中位线天然平行第三边 求周长：中位线周长 = 原周长一半 求面积：中位线面积 = 原面积 四边形中点：直接得平行四边形 最值问题：转化为定点到定点距离，用三角形三边关系 多中点问题：连对角线，构造两组中位线 典例精讲 题型一 利用中位线求线段长度 典例 1如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 变式 1如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 题型二 中位线与面积问题 典例 2如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 变式 2（如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 题型三 与中位线有关的证明题 典例 3如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 变式 3 如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 题型四 中位线最值问题 典例 4如图，在中，，为边的中点，为边上一动点．若的最小值为，则的面积为_______________ ． 变式 4 （如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 题型五 中位线性质的综合应用（压轴） 典例 5【问题情境】 图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体． 如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等． 【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题： 如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计． 【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计． 典例 6提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动． 如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点，分别为，的中点． 如图2，将点、点重叠合并在一起，记作点，点，分别落在边，上，连接，记的中点为点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究交流：感恩小组发现，，．并展示了如下的证明方法： ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵点，分别是，的中点， ，．（依据1） ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，（依据2） ∴， ∴． 反思拓展： (1)①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图2中，与的位置关系，请直接回答，不必证明； (2)“责任”小组在探究时，把绕点逆时针方向旋转到如图3的位置，发现是等腰直角三角形，请你给出证明； (3)“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令，时，把绕点在平面内自由旋转，的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大值与最小值？若存在，请直接写出面积的最大值与最小值． 课堂小结（必背） 1. 核心定理： 2. 常用结论 中点四边形：一定是平行四边形 周长：原周长一半 面积：原面积 3. 解题口诀 见中点，连中点，中位线，立刻有 求长度，取一半；证平行，直接用 求最值，用三边；四边形，连对角线 4. 易错点 中位线是两边中点，不是顶点与中点 中位线平行且等于一半，不要只记一半 多中点图形，先连对角线再用中位线 1．（2025春•瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝30，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长度为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 2．（2025春•琼海校级期中）如图，已知DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且AF⊥CF，若AB＝12，，则AC的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D． 3．（2025春•清江浦区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且E为AF的中点，若BF＝5，DE＝4，则AB的长为（　　） A．13 B．10 C．8 D．6 4．（2025春•黄石校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则△DOE的周长与△BOC的周长之比为（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•黄石校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF＝3，CE＝4，EF＝5，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 6．（2025春•龙岩校级期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明在AB外选一点C，连接AC、BC，分别取AC、BC的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（　　） A．AC B．AD C．CD D．DE 7．（2025春•合川区期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝120°，则∠PEF的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 8．（2025春•杭州期中）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　 　 ． 9．（2025春•徐州期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约 　 　 m． 10．（2025春•莒县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　 ． 11．（2025春•绵阳校级期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠A＝60°，∠ABC＝86°，则∠PEF的度数是　 　 ． 12．（2025春•文登区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF，若BC＝4，AF＝6，则△DEF的周长是　 　 ． 13．（2025春•兰山区期中）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，且CF＝DE．求证：DC∥EF． 14．（2025春•上海校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm． （1）求证：DE＝BF； （2）求四边形DEFB的周长． 15．（2025春•潮阳区校级期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M． （1）求证：EFAC． （2）连接AM，若∠BAC＝45°，AM+DM＝15，BE＝9，求CE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $