第5章 概率 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

[阶段质量评价]　第5章　概　率 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列事件是必然事件的是 (　　) A.在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾 B.实数的绝对值不小于零 C.某彩票中奖的概率为,则买100 000张这种彩票一定能中奖 D.连续两次抛掷一枚骰子,两次都出现2点向上 解析：选B　因为在标准大气压下,水加热到100 ℃才会沸腾,所以A不是必然事件;因为实数的绝对值不小于零,所以B是必然事件;因为某彩票中奖的概率为,仅代表可能性,所以买100 000张这种彩票不一定能中奖,即C不是必然事件;抛掷骰子,每一面出现都是随机的,所以D是随机事件. 2.某射手的一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.2,0.3,0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为 (　　) A.0.4 B.0.3 C.0.6 D.0.9 解析：选A　由已知得在一次射击中不够8环的概率为1-0.2-0.3-0.1=0.4,故选A. 3.抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A表示“向上的点数是奇数”,事件B表示“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)= (　　) A. B. C. D.1 解析：选B　A包含向上的点数是1,3,5的情况,B包含向上的点数是1,2,3的情况,所以A∪B包含了向上的点数是1,2,3,5的情况.故P(A∪B)==. 4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是 (　　) A.至少有一个红球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是黑球 C.至少有一个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 解析：选D　从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,可能为1红1黑、2红、2黑.至少有一个红球包括1红1黑、2红,与都是黑球是对立事件,故A不正确;至少有一个黑球包括1红1黑、2黑,与都是黑球不是互斥事件,故B不正确;至少有一个黑球包括1红1黑、2黑,至少有1个红球包括1红1黑、2红,不是互斥事件,故C不正确;恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件,故D正确. 5.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有2种玩偶,小明依次购买3个盲盒,则他能集齐这2种玩偶的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　设两种玩偶对应的盲盒分别为a,b,小明依次购买3个盲盒,所有的样本点有aaa,aab,aba,baa,abb,bab,bba,bbb,共8种,其中,事件“这2种玩偶齐全”所包含的样本点有aab,aba,baa,abb,bab,bba,共6种,故所求概率为P==. 6.一个学习小组有5名同学,其中2名男生,3名女生.从这个小组中任意选出2名同学,则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　5人小组中,设2名男生分别为a,b,3名女生分别为A,B,C,则任意选出2名同学,共有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C)10个样本点,其中选出的同学中既有男生又有女生共有(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C)6个样本点,所以P==. 7.袋中有2个白球,2个黑球,若从中任意摸出2个,则至少摸出1个黑球的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　设2个白球为A、B,2个黑球为a,b,则有AB,Aa,Ab,Ba,Bb,ab共6种等可能的结果,事件“至少摸出1个黑球”所含有的样本点为Aa,Ab,Ba,Bb,ab共5种,根据古典概型的概率公式可知,事件“至少摸出1个黑球”的概率是. 8.概率论起源于博弈游戏.17世纪,曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏,每局比赛都能分出胜负,没有平局.双方约定,各出赌金48枚金币,先赢3局者可获得全部赌金.但比赛中途因故终止了,此时甲赢了2局,乙赢了1局.问这96枚金币的赌金该如何分配?数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识,合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是 (　　) A.甲48枚,乙48枚 B.甲64枚,乙32枚 C.甲72枚,乙24枚 D.甲80枚,乙16枚 解析：选C　根据题意,甲、乙两人每局获胜的概率均为,假设两人继续进行比赛,甲获取96枚金币的概率P1=+×=,乙获取96枚金币的概率P2=×=,则甲应该获得96×=72枚金币,乙应该获得96×=24枚金币. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么不互斥的两个事件是 (　　) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 解析：选AB　“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”,A正确;“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生,B正确;“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生,C不正确;“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生,D不正确. 10.下列四个命题错误的是 (　　) A.若事件A,B相互独立,则满足P(AB)=P(A)P(B) B.若事件A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C) C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 解析：选BCD　若事件A,B相互独立,则满足P(AB)=P(A)P(B),A正确;举例说明：投掷两个骰子,记事件A：第一个骰子的点数为奇数,事件B：第二个骰子点数为奇数,事件C：两个骰子的点数之和为奇数,于是有P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=P(AC)=,P(ABC)=0,可以看出事件A,B,C两两独立,但A,B,C不互相独立,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),B错误;举例说明：投掷一个骰子三次,记事件A：第一次骰子的点数为1,事件B：第二次骰子点数为2,事件C：第三次骰子点数为3,则P(A)=P(B)=P(C)=.事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)≠1,C错误;举例说明：记事件A：投掷一个骰子,骰子的点数为奇数,事件B：投掷一枚硬币,正面朝上,则P(A)=P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件,D错误. 11.算盘是我国古代一项伟大的发明,是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别表示个位、十位、百位、千位……,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A=“表示的四位数能被3整除”,B=“表示的四位数能被5整除”,则 (　　) A.P(A)= B.P(B)= C.P(A∪B)= D.P(AB)= 解析：选ACD　将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,所有的可能情况有1111,1115,1151,1155,1511,1515,1551,1555,5111,5115,5151,5155,5511,5515,5551,5555,共16种情况.对于A,事件A“表示的四位数能被3整除”的可能情况有1155,1515,1551,5115,5151,5511共6种情况,则P(A)==;对于B,事件B“表示的四位数能被5整除”的可能情况有1115,1155,1515,1555,5115,5155,5515,5555,共8种情况,则P(B)==;对于C,事件A∪B“表示的四位数能被3整除或能被5整除”,由A、B分析知有11种情况,则P(A∪B)=;对于C,事件AB“表示的四位数既能被3整除,又能被5整除”,由A、B分析知可能的情况有1155,1515,5115,共3种情况,则P(AB)=. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12. (5分)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为　　　　.  解析：设该队员每次罚球的命中率为p(其中0<p<1),则依题意有1-p2=,p2=.又0<p<1,因此有p=. 答案： 13. (5分)1742年6月7日,哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”,可简记为“1+1”.1966年,我国数学家陈景润证明了“1+2”,获得了该研究的世界最优成果.若在不超过15的所有质数中,随机选取两个不同的数,则两数之和不超过9的概率是　　　　.  解析：根据题意可知,不超过15的质数有2,3,5,7,11,13,共6个,从中选取2个不同的数有15种,和不超过9的有(2,3),(2,5),(3,5),(2,7),共4种,所以两数之和不超过9的概率是. 答案： 14. (5分)围棋是一种策略性两人棋类游戏.已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子,从盒子中取出2粒棋子,2粒都是黑子的概率为,2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大,则2粒恰好都是白子的概率是　　　　.  解析：设“2粒都是黑子”为事件A,“2粒都是白子”为事件B,“2粒恰好是同一色”为事件C,“2粒不同色”为事件D,则事件C与事件D是对立事件,所以P(C)+P(D)=1. 因为2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大, 所以P(C)=P(D)+.所以P(C)=,P(D)=. 又C=A∪B,且事件A与B互斥, 所以P(C)=P(A)+P(B). 所以P(B)=P(C)-P(A)=-=. 答案： 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题. 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1 347 1 794 2 688 发芽的频率 (1)完成上面表格(精确到小数点后三位); (8分) (2)估计该油菜籽发芽的概率是多少? (5分) 解：(1)表格如下表所示： 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1 347 1 794 2 688 发芽的频率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.897 0.898 0.897 0.896 (2)由于每批种子发芽的频率稳定在0.897附近,所以估计该油菜籽发芽的概率为0.897. 16.(15分)高二某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数(精确到0.1); (7分) (2)从成绩介于[13,14)和[17,18]两组的人中任选2人,求两人来自不同组的概率. (8分) 解：(1)由题图可知众数落在第三组[15,16),是=15.5秒. 因为数据落在第一、二组的频率为1×0.04+1×0.18=0.22<0.5, 数据落在第一、二、三组的频率为1×0.04+1×0.18+1×0.38=0.6>0.5, 所以中位数一定落在第三组[15,16)中.假设中位数是x,所以0.22+(x-15)×0.38=0.5,解得中位数x=≈15.7秒. (2)由题意得[13,14)组有2人,[17,18]组有3人. 设[13,14)组中2人分别为A,B,[17,18]组中3人分别为X,Y,Z,事件M为选取的两人来自不同组.则样本点有(A,B),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Y),(B,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z),共10种.事件M包含样本点有(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Y),(B,Z),共6种,故P(M)==0.6. 17.(15分)某县政府大力发展种植产业,根据当地土壤情况,挑选了两种农作物A,B,鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况,从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查,所得数据如下：所有农户对选择种植农作物A,B相互独立. 农作物 村庄 甲村 乙村 A 250 150 B 250 350 (1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率; (3分) (2)以样本频率为概率,从甲、乙两村各随机抽取2户,求至少有2户选择种植农作物B的概率; (9分) (3)经调研,农作物A的亩产量为800斤、900斤、1 000斤的概率分别为,,,甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A,求这两个农户中,甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村的概率. (3分) 解：(1)记“甲村选择种植农作物A”为事件A,“乙村选择种植农作物A”为事件B, 则P(A)==,P(B)==. (2)因为甲村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为,, 乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为,. 随机抽取的4户中有0户选择种植农作物B的概率为P1=×××=. 有1户选择种植农作物B的概率为 P2=2××××+××2××==. 记“至少有2户选择种植农作物B”为事件C, 则P(C)=1-P1-P2=1--=. (3)记“甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村”为事件D, 则P(D)=×+×=. 18.(17分)某餐厅提供自助餐和点餐两种服务,其单人平均消费相近,为了进一步提高菜品及服务质量,餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本,得到以下数据表格. (单位：人次) 满意度 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 2 6 3 4 12 0分(不满意) 1 1 6 2 3 2 (1)由样本数据分析,三种年龄层次的人群中,哪一类更倾向于选择自助餐? (5分) (2)为了和顾客进行深入沟通交流,餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流,求两人都是中年人的概率; (5分) (3)若你朋友选择到该餐厅就餐,根据表中的数据,你会建议你朋友选择哪种就餐方式? (7分) 解：(1)由题意得,老年人选择自助餐的频率P1=, 中年人选择自助餐的频率P2=, 青年人选择自助餐的频率P3=, 则P2>P1>P3, 即中年人更倾向于选择自助餐. (2)点餐不满意的人群中,老年人1人(设为a),中年人2人(设为b,c),青年人2人(设为d,e). 从中选取2人,其样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个样本点,其中2人都是中年人仅有一个(b,c)符合题意. 故两人都是中年人的概率为P=. (3)由表可知,自助餐满意的均值为==. 点餐满意的均值为==. 因为>,故建议其选择自助餐. 19.(17分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求： (1)“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率; (7分) (2)“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率; (5分) (3)“星队”在两轮活动中至少猜对1个成语的概率. (5分) 解：设A,B分别表示甲、乙每轮猜对成语的事件,M0,M1,M2表示第一轮甲、乙猜对0个、1个、2个成语的事件,N0,N1,N2表示第二轮甲、乙猜对0个、1个、2个成语的事件,D0,D1,D2,D3,D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件. ∵P(A)=,P()=1-=,P(B)=, P()=1-=, ∴根据独立性的定义得P(M0)=P(N0)=P( )=P()P()=×=, P(M1)=P(N1)=P(A+B)=P(A)+P(B) =×+×=, P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)=×==, (1)P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2) =P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=×+×+×=. (2)P(D3)=P(M1N2+M2N1)=P(M1N2)+P(M2N1)=×+×=. (3)P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=. 68 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $