命题大赛 第2章三角恒等变换 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.(原创)sin150°cos15°+sin60°sin15°=() A:方 B._1 C.2 2 D.-2 2 【答案】C 【详解】sin150°cos15°+sin60°sin15°=sin30°cos15°+cos30°sin15°=sin(30+ 15)=sin45= 2 2.(原创)已知sin(π-a)=号，则cos2a=（) 3 入西 7 B.- C. 24 D.- 24 25 25 25 【答案】A 【i详解】sin(m-)）=号今sina=是cos2a=1-2sin2a=1-2×(侧)=名 A.、V6 B.6 c.-3 3 3 3 D.3 3 【答案】C 【详解】cosa+4) =cosa cos -sinasin 7 42 (cosa-sina; :ue42 rπ】 ∴.sina>cosa,即cos-sina<0,故cos&+ 对所求式两边平方得： (cosa+sina-2sin acos) :sn2a=2 mnacoa-有且cosa+sma-l :代入符w〔a引到号 结合0,得+到- 4.已知向量a=(4,sin2a),万=(3，cosa),若a∥b,则cos2a=() A1或) 81或号 C.-1或2w2 9 D.1或-22 9 【答案】A 【详解】由a∥b知4 cosa=3sin2a,即cosa(4-6sinc)=0,得cosa=0或sina= 2 3 故co92a=2c0sa-1=-1或c0s2a=1-2sina=) 1 则sinx+√3cosx=() A. B.- D. 7W2 5 5 5 5 【答案】A 【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可. 【详解】n+5co=2an+引 6,若经m20则e29=) A. 72 B.-② c.72 2或2 10 10 10 1010 【答案】B 【分析】对20进行“辅助角变换”可得2θ= 〔20+日牙再结合同角三角函数基木关系式和 两角差的余弦展开公式求解即可 【详解】因为00所以<20：<买 44,而0<3 4 2 故cos20= √2 10 7.in(-B)sin ()2 ,则c0s2u-c0s2B=（) A.3 1 B.一3 C.-22 D. 2W5 3 3 【答案】C 【详解】sin(a-B)sin(au+B)=(sin a cos B-cosasin B)(sina cos B+cosasin B) sin2acos2B-cos2 asin2B=1-cos2a cos2B-cos2 a [-cos2B =cos2B-cos2a,因为sim(a-P)sin(a+月)-2y5,所以cosa-cos'B=-2W5 3 3 8。已知函数/()4 to'ox+4s0(o>0)的最小正周期为分，将fd)的图象向下 平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数8(x)的图象，则g(x)的一 个单调递增区间为() （0 π5π (5π9元 3π5π A. (2 88 C 8’8 D 4’4 【答案】C 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数∫(x)的 解析式，根据平移和伸缩变换求g(x)的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个 单调递增区间 【i详解】f(N)=4×1+cos20x+29in2ax=2sin2ax+2cos2aox+2=2V5sim2ox++2 4 最小正周期7-8号得0=2 .兀 即f(x)=22sin4x+元 +2,图象向下平移2个单位长度后得到函数y=25s血4+ 4 横坐标伸长到原来的2倍后得到函数8()=2√5s血m2x+4, A.当x∈ 2x+ 3兀π 4(44 此区间先减后增，故A错误： B.当x∈ π5π 88 2r+亚∈π3m) 42’2 是正弦函数减区间的子集，故B错误： /5π9元 C.当x∈ ,2x+∈3π5m 42’2 是正弦函数增区间的子集，故C正确： 8’8 D.当x∈ 3π5π 4’4 2x+∈711π 44,4 ,此区间先增后减，故D错误： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有() A.cos(15)=6-v2 4 B.f()=3sin2x+cos2x=2sin 2x+ π1 11 14 1 D.若sin(a-P)=3tana=2tanB,则sina+0)=1 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的诱导公式和辅助角公式即可得出答案 【详解】对于A,cos(-15)=cos(15)=cos(45-30)=cos(45)cos(30)+sin(45)sin(30), 已知co45)-sm(45)-号.a(60)9.m30)-号代入可得： o(15)955;55,放A错误 2 2224 对于B,由于f(x)=V3sn2x+cos2x,由辅助角公式可得 儿)=5n2x-6os2x=2a2-周引 故B正确： 对Fc,已知a〔0引期a-名（看引： 于如。哥片，根据同角三角品数基 本公式sin20+cos20=1可得： cos 6 66 得： sin- 667272141414 故c正确：对于D,己知tana=2tanp,根据正切公式tam0=sn日 cos6,可得 sina =2sin Bsin acos B=2cos asin cos a cos B 又因为sm(a-A）血acoA--专所以o0- 有-子根据两 21 角和的正弦公式，可得：sn(a+B)=sinacos B+cos asin B= =1，故D正确 33 10.已知f(x)=asin2x+cos2x,下列说法正确的是() A.若a-1,f(x)在区间 受0小上单调 B.若f(x)关于直线x=匹轴对称，则a=√5 6 C.若a=2,且(m,0)为f(c)的一个对称中心，则sin4m=-4 D.若a=2,f(y在区间t,t+4 上的最大值与最小值的差的最大值是√0 【答案】BCD 【分析】对于A,由辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断其正误：对于B,利用特值法 先求出a,再验证后可判断B的正误；对于C,根据对称中心的性质求出m2m-行，从 而求sm4m并判断C的正误，对于D,利用正弦函数的性质结合辅助角可判断何时最值之差 最大，求出最值后可判断D的正误 【详解】对于A:当a=1时，f(x)=sinm2x+cos2x=V2sim2x+ 4: 因为x∈ 所以2x+。 3兀π 4 、4’4 因为函数y=sinx在 3ππ 44 上不单调， 所以函数f()在区间20上不单调故A错误： 对于B:若(y关于直线x-轴对称，放了O)=J[) ew产1，放a=5,此时)5n2a+co22 所以asin2π 2x+61 而了周2如（行周引2，散x名确为对称，故B正确 6 对于C:a=2时，(m,0)为f(x)的一个对称中心， 所以2sin2m+c0s2m=0,故tam2m=2 1 所以sn4= 2sin 2mcos2m 2tan 2m-1 4 s2nm+m2n1+tm1+5,故c正确： 对D:当a=2时，f(x)=2sin2x+cos2x=√5sin(2.x+p), 2 当xe+时，2x+0c2+g2+ 由正弦函数的图像得2+9,2+9+罗在同一单调区同上时最大值与最小值的差才可能最大。 即求5sm(21+p)与5m21+o+习的差的绝对值何时最大， 令0-5sm2+p到-5sn2a+0到引-5cz+w-5n(2+p例 =而n2+0,当+-+即2+，kcz时， 2 4 ∫(x)mx-f(ymn=Vi0.故D正确 11.函数f(x)=√3sin2x-√3cos2x+2 sin.xcosx,下列结论正确的有() A.函数f(x)在0，二 上单调递增 4 B.函数f)的图象关于直线x=匹对称 6 C.若关于x的方程2fx)-m=0在文， 122 上有两个不相等的实数根，则m[2√3,4) D.函数()=sim2x-f9+2snx的最大值为乙5 【答案】ACD 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判 断选项A和B,方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C,利用同角三 角函数的关系化简函数解析式可判断选项D 【详解】由题J(e)-5sm-5cowx+2 in.co=m2x-5co2x=2sn（2x-写引 A,由xe,, 4 -2-引 因为y=2sint在 ππ 36 上单调递增，故函数f)在0，》 上单调递增，A正确： 4 B.f2s2x 63 =0≠士2，所以函数f)的图象不关于直线x=匹对称，B错误： 6 C,关于x的方程2f()-m=0在 π兀 12'2 上实数根的情况转化为y=2sint,te-。3与 v=m 的交点个数，作出y=2sint在 π2π 上的简图如下， 2 6’3 珠 2 y=2sint 6 3 则有两个不相等的实数根时∈[V5,2),故m∈[2√5,4)，C正确： 2 D,h(x)=sin 2x-(sin 2x-3 cos 2x +2sinx cos 2x+2sinx =3(1-2sin'x)+2sin x=2sin x- 61 6 因为xeR,当sinx=5时取最大值为乙V5,故D正确 6 6 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=sinx+cosx+3的最大值是 【答案】√2+3 【详解】f(x)=sinx+cosx+3=2sinx+ +3, 4 放当s+牙)-1，即x+子-子2血keZ,=子+2keZ时， 42 4 f(x)取得最大值，最大值为√2+3 1B.已知aP=0写引满足B=a子则2如2a+aA的最大位为 【答案】 33 16 【分析】根据已知和二倍角公式化为关于cosB的二次函数求解可得. 【详解】B=+ -2n2u+cosf=2sn0-}cosf=-2cs20+eosp=-2feosa-1jo8g --4cos B+cos c0s33 8+16 即0<-号又( 2 2 2 ∴.cosB∈ 0, 2 4<0,六当cosB-专时，2im2a+cosB取到最大值 3 6 :.2sin2a+cosB的最大值为 33 6 4已知函数f)=m2x+周引eo2x+a唯区同 122 上的最小值为3，则a= 【答案】4 【详解】f(x)= ,m2x士2o32x,o2a2 1 1 2 2 sin2+a3sm 2x+cosx+a =2sin2.x+】 a 6 因为x∈ 122 所以2x+匹「匹，7π 6国36即sim2x+6/∈/-7,1， 因此f(x)的最小值满足： 1 22+a=3a=4 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数f(x)=Asin(x+p)(A>0,o>0,-π<p<π)的部分图象如图所示. 7元 24 24 (1)求f(x)的解析式. ②设函数)=+ 7π (i)求g(x)的单调递减区间： (ii)若xe π11r 212 求g(x)的最大值与最小值. 【答案】(1)f(x)=2si π 2x-12 (2)(i) +kL, 3 亚+，k∈乙：(i)最大值为1，最小值为-2 5 【分折10由图可知子货（ 7π 根据周期求出⊙，根据函数的最大值求出A,将 学习代入求出，即可得到俗多 (2)(i)根据两角和的正弦公式及辅助角公式求出g(x)=2sm2x- 6 ，结合正弦函数的 单调性，整体代入求解即可得答案； (ii)利用换元法即可求得函数g(x)在 π11π 2'12 上的最大值和最小值， 【详解】(4)设了（倒的最小正周期为7，则7-气 7π -2424 解得T=兀， 所以r=2π=，解得0=2.由题意知A=2,所以f(代)=2i(2x+p), 又y=m2号7+p2所以22p2aez,即p-语e2, 又9正，所以g=晋片以)2》 a)w对a2aa君wa=mam2x-2aa- 6 6 由g+2m≤2-及s3亚+2ke乙，解得+m≤x≤亚+mkeZ, 6 3 6 故g(x)的单调递减区间为 5π+km,keZ 6 《m设1=2x-名因为xe π11π 212所以ue 5π5π 63 函数y=2sinu在 5π3π 3m5π 6’2 上单调递减，在 2’3 上单调递增， 当u= 6 =1, 2 当=3 ,即x= 5π =2×(（1)=-2, π11π 故g(x)在 212 上的最大值和最小值分别为1和-2. 1 16.(15分)已知m=(V3 sin axx,COS an),n=(COS @X,-cosa)(w>0,x∈R),f(x)=m:n- 且了)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为？· (1)求函数f(x)的单调递增区间： (2)若锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=√5，f(B)=0,求三角形 ABC面积的最大值. 【容案J0-合a号k国e2 ②36 3 4 【分析】(1)首先根据向量数量积的坐标公式求出f(x)的表达式，然后根据周期确定ω， 根据三角函数性质确定单调区间： (2)根据已知条件求出角B,结合余弦定理得出方程，利用重要不等式求最值. 1 【详解】D由已知fd)=m:n-W3 sin,coswx)(coswx,.=coso) =3 sin ax cos a-cos'@x- 1_5 2-21 3 sin 20x-1+cos2 ox 1=sin(2ox--1. 22 又)的图象上相邻两条对称轴之间的面离为行： 可约于可村江部行a=1,所以1)=n2-君-1。 令受+2版2x君经2h,ke之，解得-君+a<行a,ke乙 即函数f)的单调递增区间为(-+机背+加，k∈乙 6 (2)因为b=5,fB)=0,所以f(8)=sm2B-四-1=0， 6 即sm2n)-1,又0<B<,则2B-石子解得B 3 由ad2+c2-3=2 ac co=ac,因为a2+c2≥2ac,所以ac+3≥2ac,即ac≤3， 3 当且仅当a=c时成立，此时三角形ABC为等边三角形符合题意， S=Tac sinB=v33 -dc≤ 4 4 17.(15分)己知函数f(x)=-2sin2x+2cosx+t,其中t为常数. (1)当x 「-2红，时，f≤0恒成立，求实数1的取值范围： 3’3 2)设函数f()在-兀， 2 上有两个零点m,, ①求t的取值范围； ②证明：cos>sinn 【答案】(1)(-0，-2] (2)①2， ②证明见解析 【分析】(1)根据同角三角函数的关系，可得f(x)的解析式，令u=cosx,根据x的范围， 可得u的范围，根据二次函数的性质，即可得答案 (2)①冷u=cosx,根据x的范围，可得u的范围，令(0=-22-21+2，u∈(-1,0)，则 y=h()与y=t的图象有2个不同的交点，根据图象，可得t的范围 ②由①得cos=-1-cosn,不妨设m<n,根据图象及t的范围，可得n的范围，根据辅助 角公式，将所求进行化简，根据的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得证. 【详解】(1)由题意 f(x)=-2sinx+2cosx+i=-2(1-cos2x)+2cosx+t=2cos2x+2cosx+t-2, 令u=cosx,因为x∈ 2, 3’3 所以u=cosxe 则8(0=22+2u+t-2,u∈ 2 ,1 即求g()≤0在 21 上恒成立， 因为g(0）为开口向上，对称轴为u=- 的抛物线。 所以g0在-2J上单调递增，则8四的最大值为80=2+1， 所以2+t≤0，解得t≤-2，故实数t的取值范围为(-0，-2] (2)①令=csx,因为xe-元2)所以we(-1,0). 因为函数)在（正习上有两个零点， 所以212+21+t-2=0在(-1,0)上有两个根， 则t=-22-2u+2在(1,0)上有两个根， 令)=-2r-2+2u∈（←10为开口向下，对称轴为1=号的抛物线， 则h(u)的最大值为h 15 2F2 作出y=h(u)与y=t的图象，则y=()与y=t的图象有2个不同交点， y=h(o)月 -1w12o 由图象可得2<1<2，则1的取值范围是 5 ②由①得4=cos,4,=cosn为y=h()与y=t的图象的交点， 则cos+cosn-_1 即c0osm=-1-c0sn, 因为2<t<号不妨设u<n,所以-” 24=cosn<0,则-2亚<n<- 3 cos m-sin n=-1-cosn-sinn=- 4 因为n受所以n( 所以m6号gm到4 18.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.且满足b=2a-2 ccos B. (1)求角C的大小： ②若三角形ABC的面积S=4N5,内切圆的半径为，-25，求c: 3 (3)若∠ACB的平分线交AB于D,且CD=4,求三角形ABC的面积S的最小值. 【答案】0C-行 (2)c=4: )16V5 3 【分析】(1)由题设结合正弦定理边角互化可得答案： 2商8eg=4N5,可得b=16:由8e=a+ber,可得a-b=12-c,然后击 余弦定理可得答案： c三S+8a结合CD=4可得a+b=ab,然后由基本不管 【详解】(1)因为b=2a-2 ccosB,由正弦定理边角互化，可得： sin B=2sin A-2sin C cos B=2sin(C+B)-2sin C cos B=2cosC sin B, 又nB>0,则1=2cosC→cosC=3C=写 ab sinC=4V3→ab=16, 又SABC= atbtc)ratb+c=12>atb=12-c. 由余弦定理：c2=a2+b2-2 abcosC=(a+b)-3ab, 所以c2=(12-c)-48→144-24c-48=0→c=4: (3)由题可得∠ACD=∠BCD=亚， 6 S4e=Sw+S2CA·CDs1n∠ACD+CB:CD sin2B 2 CA.CR sin /BCA→a+b=3ab 4 话本不式，ab=a+b22abb28山2网 4 3 则S.ABc =5b≥165，当且仅当a=6=8N5时取等号 2ab sin 34 3 3 19.(17分)已知函数=m2x+)5sn2x到】 (1)求f(x)的解析式： (2)已知B∈(0，π)，函数y=f(x+)是偶函数，求6的值： (3)若关于x的方程f(x)=m在区间 π5π 12'12 上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围。 【答案】(1)f(x)=2si 2- ②0-号或8- 6 3)-3,3{2} 【详解】(1)解：将原式化简为： =2sin2x+=2sin 2x- 63 6 (2)解：由(1)得f(x+8)=2sin2x+28- 由函数y=寸(c+0)是偶函数，得20-交-否+kr,k∈Z,解得8=亚+匹，keZ, 62 32 而0e(0,,所以0-写或0-g 6 )解：由（吾资）得2君() π5π） 由2x- πππ 引得xc( ππ 123} 通数y=2如君司（音引单调通增， 由2x- 得x∈ π5π 312 函数y=2sin π5π 上单调递减， 依题意， =2sin 25 π5π 上有且只有一个实数根， 则直线y=m与y=2sin2x- 上的图象有且只有一个交点， 则-V5<m≤5或m=2,所以实数m的取值范围是(3,5U2}. 湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（   ） A．或 B．1或 C．或 D．1或 5．，则（    ） A． B． C． D． 6．若，，则（   ） A． B． C． D．或 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则 10．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线轴对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 11．函数，下列结论正确的有（   ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的最大值是__________. 13．已知，满足，则的最大值为__________. 14．已知函数在区间上的最小值为3，则____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)设函数. （i）求的单调递减区间； （ii）若，求的最大值与最小值. 16．（15分）已知，（），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角三角形ABC的内角的对边分别为，且，，求三角形ABC面积的最大值． 17．（15分）已知函数，其中t为常数. (1)当时，恒成立，求实数t的取值范围； (2)设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明： 18．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． (1)求角C的大小； (2)若三角形ABC的面积，内切圆的半径为，求c； (3)若的平分线交AB于D，且，求三角形ABC的面积S的最小值． 19．（17分）已知函数． (1)求的解析式； (2)已知，函数是偶函数，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且只有一个实数根，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（(2019)必修第二册第2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.(原创)sin150°cos15°+sin60°sin15°=() A.月 B.-2 1 c.号 D.9 2.(原创)已知sin(π-)= ,则cos2=() 7 B. 25 25 D.、24 25 3.已知ma专ae任引，则coa+到引 () A.-6 3 B. 3 3 D.3 3 4.已知向量i=(4,sin2a),b=(3,cosa),若a∥b,则cos2a=() A.1或 B1政号 C.-1或22 D.1或-22 9 5}语4-（) A. B.、V C.-7w2 D.22 5 5 5 5 、6.若日0，sm26+)-·则cos26=（2 A.-75 B. √ c.72 D.- 或5 10 10 10 10 10 7.sin(a-B)sin(a+B)= 2W2 ,则c0s2a-c0s2B=() 3 1 1 A.3 B. C._22 D.22 3 3 8。已知函数J()=4 os+4sim®xc0sr®(@>0)的最小正周期为5，将f(9的图象向下平移2 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数8(x)的图象，则8(x)的一个单调递增区 间为() C. 5π9m 3r5π (8’8 D. 44 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有() A.0s(←159)=6-V2 4 B.sin2co2si 14 1 D.若sin(a-BA=3,tana=2tanB,则sin(a+pB)=1 10.己知f(x)=asin2x+cos2x,下列说法正确的是() A.若a=1,f(d在区间20上单词 B.若f(x)关于直线x=匹轴对称，则a=5 6 C.若a=2,且(m0)为f(y的一个对称中心，则sn4=- 5 D.若a=2,/倒在区同4+ 上的最大值与最小值的差的最大值是√0 11.函数f(x)=V3sin2x-5cos2x+2 sinxcosx,下列结论正确的有() A,函数在Q到上单调递增 B.函数f()的图象关于直线x=亚对称 C若关于x的方程20-m-0在[5到 上有两个不相等的实数根，则me[2√3,4) D.函数hy=sin2x-f()+2sinx的最大值为ZV5 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小愿，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=sinx+cosx+3的最大值是 兀 13.已知a&,B∈0,5，满足B=ox+4,则2s1n2C+c0sB的最大值为☐ 14. 已知商数)-=m2x+君tc02x-胃》+a在区同5上的最小值为3.则a-一 四、解窖题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数f(x)=Asin(ax+p)(A>0,o>0,-π<p<π)的部分图象如图所示. 11匹 24 24 (1)求f(x)的解析式 (2)设函数8()=/x+7 -2cos2x 24 (i)求g(x)的单调递减区间： (ii)若x∈ π11π 212 求g(x)的最大值与最小值， 16.(15分)已知m=(3 sin a.cos),n=(cO5X,.-cos）)(o>0,x∈R),f)=m-n-】 且f(,的图象上相邻两条对称轴之间的距离为？ (1)求函数f(x)的单调递增区间： (2)若锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=√3，f(B)=0,求三角形ABC面 积的最大值. 17.(15分)已知函数f(x)=-2sin2x+2cosx+t,其中t为常数. (1)当x∈ 会引时、0恒成立、求实数！的k伯散国。 2设函数f)在(-元-2 上有两个零点，n, ①求t的取值范围： ②证明：cos>sinn 18.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.且满足b=2a-2 ccos B, (1)求角C的大小： (2)若三角形ABC的面积S=43,内切圆的半径为，=25 ,求c; 3 (3)若∠ACB的平分线交AB于D,且CD=4,求三角形ABC的面积S的最小值， 19.17分)已知函数f()=m(2x君引n(2x-司到 (1)求f(x)的解析式： (2)已知O∈(0，π)，函数y=f(x+)是偶函数，求0的值： ®)若关于的方程f)=m在区间〔后) 上有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. ∵ ， ∴ ，即，故. 对所求式两边平方得： . ∵ ，且， ∴ 代入得 . 结合，得 . 4．已知向量，，若，则（   ） A．或 B．1或 C．或 D．1或 【答案】A 【详解】由知，即，得或， 故或. 5．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可． 【详解】 ． 6．若，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】对进行“辅助角变换”可得，再结合同角三角函数基本关系式和两角差的余弦展开公式求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，则， 故. 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，因为，所以． 8．已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数的解析式，根据平移和伸缩变换求的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个单调递增区间. 【详解】 最小正周期，得， 即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数， A.当，，此区间先减后增，故A错误； B. 当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误； C. 当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确； D.当，，此区间先增后减，故D错误； 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的诱导公式和辅助角公式即可得出答案. 【详解】对于A，， 已知，，，代入可得： ，故A错误； 对于B，由于，由辅助角公式可得，故B正确； 对于C，已知，则，由于，根据同角三角函数基本公式可得： ，又因为，根据两角和的余弦公式，可得：， 故C正确；对于D，已知，根据正切公式，可得， 又因为，所以，根据两角和的正弦公式，可得：，故D正确. 10．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线轴对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 【答案】BCD 【分析】对于A，由辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断其正误；对于B，利用特值法先求出，再验证后可判断B的正误；对于C，根据对称中心的性质求出，从而求并判断C的正误，对于D，利用正弦函数的性质结合辅助角可判断何时最值之差最大，求出最值后可判断D的正误. 【详解】对于A：当时，， 因为，所以， 因为函数在上不单调， 所以函数在区间上不单调.故A错误； 对于B：若关于直线轴对称，故， 所以，故，此时， 而，故确为对称轴，故B正确. 对于C：时，为的一个对称中心， 所以，故， 所以，故C正确； 对D：当时，， 其中，，且， 当时，， 由正弦函数的图像得，在同一单调区间上时最大值与最小值的差才可能最大， 即求与的差的绝对值何时最大， 令 ，当即，时，.故D正确. 11．函数，下列结论正确的有（   ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A和B，方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C，利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D. 【详解】由题， A，由，令， 因为在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； B，，所以函数的图象不关于直线对称，B错误； C，关于x的方程在上实数根的情况转化为，与的交点个数，作出在上的简图如下， 则有两个不相等的实数根时，故，C正确； D， ， 因为，当时取最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的最大值是__________. 【答案】 【详解】， 故当，即，时， 取得最大值，最大值为. 13．已知，满足，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据已知和二倍角公式化为关于的二次函数求解可得. 【详解】，，; ，即，，又， ，当时，取到最大值. 的最大值为. 14．已知函数在区间上的最小值为3，则____． 【答案】4 【详解】 因为，所以，即， 因此的最小值满足：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)设函数. （i）求的单调递减区间； （ii）若，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）最大值为，最小值为 【分析】（1）由图可知，根据周期求出，根据函数的最大值求出，将代入求出，即可得到答案； （2）（i）根据两角和的正弦公式及辅助角公式求出，结合正弦函数的单调性，整体代入求解即可得答案； （ii）利用换元法即可求得函数在上的最大值和最小值， 【详解】（1）设的最小正周期为，则，解得， 所以，解得.由题意知，所以， 又，所以，即， 又，所以，所以. （2）（i）， 由，解得， 故的单调递减区间为. （ii）设，因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，， 当，即时，， 故在上的最大值和最小值分别为和. 16．（15分）已知，（），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角三角形ABC的内角的对边分别为，且，，求三角形ABC面积的最大值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）首先根据向量数量积的坐标公式求出的表达式，然后根据周期确定，根据三角函数性质确定单调区间； （2）根据已知条件求出角，结合余弦定理得出方程，利用重要不等式求最值. 【详解】（1）由已知 . 又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，可得，解得，所以， 令，，解得， 即函数的单调递增区间为, （2）因为，，所以， 即，又，则，解得. 由，因为，所以，即， 当且仅当时成立，此时三角形ABC为等边三角形符合题意， . 17．（15分）已知函数，其中t为常数. (1)当时，恒成立，求实数t的取值范围； (2)设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明： 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，可得的解析式，令，根据x的范围，可得u的范围，根据二次函数的性质，即可得答案. （2）①令，根据x的范围，可得u的范围，令，则与的图象有2个不同的交点，根据图象，可得t的范围. ②由①得，不妨设，根据图象及t的范围，可得n的范围，根据辅助角公式，将所求进行化简，根据n的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得证. 【详解】（1）由题意， 令，因为，所以， 则，即求在上恒成立， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，则的最大值为， 所以，解得，故实数t的取值范围为. （2）①令，因为，所以， 因为函数在上有两个零点， 所以在上有两个根， 则在上有两个根， 令为开口向下，对称轴为的抛物线， 则的最大值为， 作出与的图象，则与的图象有2个不同交点， 由图象可得，则t的取值范围是. ②由①得为与的图象的交点， 则，即， 因为，不妨设，所以，则， 则， 因为，所以， 所以，则， 所以，即. 18．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． (1)求角C的大小； (2)若三角形ABC的面积，内切圆的半径为，求c； (3)若的平分线交AB于D，且，求三角形ABC的面积S的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设结合正弦定理边角互化可得答案； （2）由，可得，由，可得，然后由余弦定理可得答案； （3）由结合可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理边角互化，可得： ， 又，则； （2）， 又， 由余弦定理：， 所以； （3）由题可得， 则 ， 由基本不等式，， 则，当且仅当时取等号. 19．（17分）已知函数． (1)求的解析式； (2)已知，函数是偶函数，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且只有一个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：将原式化简为： （2）解：由（1）得， 由函数是偶函数，得，解得， 而，所以或 （3）解：由，得， 由，得，函数在上单调递增， 由，得，函数在上单调递减， 依题意，在上有且只有一个实数根， 则直线与在上的图象有且只有一个交点， 则或，所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $表格_20260422 双向细目表 题号 核心知识点 题型 难度系数 分值 1 两角和差公式、诱导公式、三角求值 单项选择 0.9 5 2 诱导公式、二倍角余弦公式 单项选择 0.85 5 3 三角恒等变换、化简求值 单项选择 0.8 5 4 向量平行、三角方程求解 单项选择 0.7 5 5 二倍角公式、同角三角函数关系 单项选择 0.7 5 6 两角和差公式、角的范围判断 单项选择 0.65 5 7 二倍角公式、齐次式求值 单项选择 0.65 5 8 三角函数图像变换、周期、单调区间 单项选择 0.5 5 9 三角公式判断、和差公式、同角关系 多项选择 0.65 6 10 三角函数单调性、对称性、最值 多项选择 0.5 6 11 三角函数单调性、对称性、最值、方程根 多项选择 0.45 6 12 三角恒等变换、函数最值 填空 0.7 5 13 三角恒等变换、多元最值 填空 0.5 5 14 三角函数图像与性质、区间最值 填空 0.55 5 15 三角函数解析式、单调区间、区间最值 解答题 0.65 13 16 三角恒等变换、单调区间、解三角形与面积最值 解答题 0.5 15 17 三角恒成立、函数零点与参数范围 解答题 0.4 15 18 解三角形、三角恒等变换、面积最值 解答题 0.45 17 19 三角解析式、偶函数性质、方程根 解答题 0.35 17 $