专题04线段的垂直平分线、角平分线期中复习讲义（复习重点+7大核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题04线段的垂直平分线、角平分线期中复习讲义 消期中复重点 1.牢记线段垂直平分线、角平分线的定义、核心性质及判定定理，能熟练运用进 行计算和证明； 2掌握两类图形的常用辅助线做法，突破易错点，灵活处理与三角形、全等三角 形的综合问题 3.运用两类图形的性质与判定，完成求线段的长度、证明线段或角相等、尺规 作图，以及结合周长、 面积的综合题。 消核心题型归纳 题型1线段垂直平分线的性质 题型2线段垂直平分线的判定 题型3作垂线（尺规作图） 题型4角平分线的性质定理 题型5角平分线的判定定理 题型6角平分线性质的实际应用 题型7提升测试 重点知识梳理 知识点一、线段的垂直平分线 1定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称 中垂线)。 B 几何语言：|LAB,AC=CB直线I是线段AB的垂直平分线。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：·.直线I垂直平分AB,点P在直线I上，∴.PA=PB 3判定定理：①到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上， 几何语言：PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上。 ②既垂直于一条线段，又经过线段中点的直线，叫做线段的垂直平分线。 M 几何语言：PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 总结：性质定理可以用来证明两条线段相等；逆定理可以用来证明点在垂直平分 线上（或直线经过某一点） 线段垂直平分线 互逆定理 到线段的两端点距离相 上的点到线段两 等的点在线段的垂直平 端点的距离相等， 分线上 4线段垂直平分线的作法 作法 图形 ①分别以点A,B为圆心，大于AB的长为半径画弧， 两弧相交于点C,D: B ②过C,D两点作直线，直线CD就是线段AB的垂直平 分线 5.常用辅助线 (1)连接垂直平分线上的点与线段两端点（构造等腰三角形）； (2)过线段中点作线段垂线（构造直角三角形）。 知识点二、角平分线 1.角平分线的定义、性质 1.角平分线的定义： 角的内部把角分成两个相等的角的射线这是个角的角平分线。 2.角平分线的性质： (1)性质1： 平分角。即若0C是∠AOB的平分线，则∠A0C=∠BOC。且他们都等 于∠AOB的一半。 (2)性质2： 角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即若0C是∠OB的平分线，P是0C上一点， 且PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,则有PD=PE。 题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。 2角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.角平分线的判定：(1)在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分 线上；(2)平分角且射线上一点到角两边距离相等的射线，是这个角的平分线。 (如下图) 几何语言：PMLOA,PN⊥OB,PM=PN. .P在∠AOB的角平分线上.OP为∠AOB的角平分线 4.角平分线的作法： 步骤一：以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以点M和点N为圆心，大王M侧的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 5.常用辅助线：（1)过角平分线上的点向角两边作垂线（构造全等直角三角形）； (2)连接角平分线与三角形顶点（转化线段、角关系）。 题型解析◆精准备者 题型1线段垂直平分线的性质 1.如图，等腰ABC的底边BC的长是6cm,面积是15cm2,腰AB的垂直平 分线MN交AC于点N,垂足为M,若D为BC边上的一动点，P为MN上的 一动点，求BP+DP的最小值是() M D A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，在ABC中，DE为AC边上的中垂线，AB=12,BC=10,则 △BCD的周长为 3.如图，在ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,DE是AB的垂直平分 线，DE分别交AC,AB于点E,D. D (1)求证： ABC是直角三角形； (2)求CE的长 题型2线段垂直平分线的判定 1.下面是小星同学的尺规作图步骤：（)以点O为圆心，适当长为半径画弧， 交OA于点M,交OB于点N;(2)分别以点M,N为圆心，大于MN长 为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;(3)画射线OC;（4)连接MN.根 据上面的作图方法，下列结论错误的是（) B A.△OMC≌△ONC B.∠MOC=∠NOC C.直线OC是线段MN的垂直平分线D.MN是线段OC的垂直平分线 2.如图，在等边ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点，AD=8cm,点 P是AD边上的一个动点，当PC+PE最小时，求∠CPE= B 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上， 且AD=AE,连接BE,CD,交于点F. B (1)求证：∠EBC=∠DCB; (2)求证：过点A,F的直线垂直平分线段BC. 题型3作垂线（尺规作图） 1.如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.用直尺和圆规在边AC上 确定一点D,使点D到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹是() 2.如图，在ABC中，AC=8,∠C=30°，以点A为圆心，AB长为半径画 弧交BC于点D,分别以点B和点D为圆心，大于二BD的长为半径画弧，两弧 相交于点E,连接AE并延长，交BC于点F,则AF的长为一， 3.如图，在△ABC中，已知AB=AC. 夕 (1)尺规作图：作△ABC的高CD,垂足为D(保留作图痕迹，不写作法，标明 字母) (2)在（1)的条件下，若AB=10,CD=6,求BC的长， 题型4角平分线的性质定理 1.如图，在ABC中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：① AF=BF;②LBAF=∠CBE;③BE⊥AC;④S△HBE:SACBE=AB:BC.其 中正确的有（) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在ABC中，AD为△BAC的平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于 F,ABC的面积是30，AB=12,AC=10,则DE= 3.如图，CD平分∠ACB,且AC=DC,点E在边CD上，且CE=CB,连 接BD,AE.求证：∠A=∠D. B 题型5角平分线的判定定理 1.如图，ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的平分线交于点D,连接AD, 若∠CAE=110°，则∠CAD=() E A O A.70° B.65 C.60° D.55° 2.如图，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,AD>AC, ∠BAC=∠DAE=30°，连接BD、EC,延长EC交BD于点F,连接AF,下 列结论：①BD=EC；②∠EFD=30°；③AF平分∠BFE;④AF平分 ∠BAC;⑤∠CAF=∠CBF.正确的结论序号是 D B 3.如图，在ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线相交于点O. (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)连接OA,若AB=AC=5,B0=4,AO=2,则点O到三角形三条边的 距离是 题型6角平分线性质的实际应用 1.某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度 假村，如图所示.要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在() A.ABC三条高线的交点处 B. ABC三条角平分线的交点处 C. ABC三条中线的交点处 D.以上都不对 2.如图，在ABC中，AB=5,AD⊥BC于点D,CD=2, ∠BAD=2∠CAD,将ABC沿着AD折叠，若点B恰好落在射线BC上的点 E处，则△ACE的面积为 D 3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连结BE并延长交 AD的延长线于点F. B (1)求证：△BCE≌△FDE; (2)连结AE,若AE⊥BF,求证：BE是∠ABC的角平分线， 消过送检测提丑 一、 单选题 1.如图，在6×6网格中，点A,B,C均在格点上，AC=BC,则ABC的 对称轴经过格点() P A.P B.P C.R D.P 2.如图，已知a‖b,直线l与直线a,b分别交于A,B两点，分别以点A,B 为圆心，大于一AB的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交直 线b于点C,连接AC.若∠1=40°，则∠BCN的度数是() B A.40° B.45° C.50° D.60° 3.如图， ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,且DE 垂直平分BC,AD=2,则△BDC的周长是（) A E A.16 B.8+45 C.11 D.7 4.如图，∠AOB=80°，点C是∠AOB内一点，CD⊥OA于点D, CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC的度数是() B A.35 B.40° C.45° D.50° 5.如图，直线！，12,1，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（). A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 二、填空题 6.如图，已知ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E在同一条直线 上，AE与BD相交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD相交于点F,连 接OC,FG.随下列结论：①AG=BF;②FG‖BE；③DF=DE;④ ∠DOE=60°；其中正确的结论有一 E 7.如图，∠ABC=110°，点D在∠ABC内部，线段BD=3√3， ∠ABD=25°，E,F分别是射线BA,BC上的动点（不与B重合），连接 EF,分别作∠AEF,∠EFC的平分线交于点G,连接DG.则线段DG的最 小值为 G 8.如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,给出下列 结论：①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④ BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的是 B A 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12,BC=DC,∠A=60°，点E 在AD上，连接BD,CE相交于点F,CE∥AB.若CE=9,则CF长为 4 B D 10.△ABD和△BCD按如图方式摆放，其中AB=AD,CB=CD,点E为 AD上一点，连接CE交BD于点F,∠EFD=∠ABD.若AD=9,CE=6, 则CF的长为 三、解答题 11.已知：如图，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点 D,交AB于点E. M B (1)若∠A=36°，求∠DBC的度数； (2)若AE=8,△CBD的周长为24，求ABC的周长， 12.如图，在ABC中，直线垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, 连接BD (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为_； (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断 点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由 13.尺规作图：根据要求补全图形.（不写作图过程，保留作图痕迹） ●B A。 A ●B 图1 图2 (1)图1中，点A、B在直线MN同侧，在直线MN上作一点P,使得PA=PB (2)图2中，点A、B在直线MW异侧，在直线MN上作一点P,使得 ∠APM=∠BPM. 14.如图，在直角 ABC中，∠B=90°， 备用图 (1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D,在AC上作一点E,使得 AE=DE;(不写作法，保留痕迹) (2)在（1)的条件下，若AB=4,BC=3,则DE= (若需画图，请 用备用图) 15.如图，在ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D在线段AB的延长线 上，D与B不重合，且AD<2AB.连接CD,过A作AE⊥CD于点E,AE与 BC交于点F. A B (1)求证：△ABF≌△CBD; (2)连接BE,判断∠CAE与∠CBE的数量关系，并说明理由，专题04线段的垂直平分线、角平分线期中复习讲义 消期中复重点 1.牢记线段垂直平分线、角平分线的定义、核心性质及判定定理，能熟练运用进 行计算和证明； 2掌握两类图形的常用辅助线做法，突破易错点，灵活处理与三角形、全等三角 形的综合问题 3.运用两类图形的性质与判定，完成求线段的长度、证明线段或角相等、尺规 作图，以及结合周长、 面积的综合题。 消核心题型归纳 题型1线段垂直平分线的性质 题型2线段垂直平分线的判定 题型3作垂线（尺规作图） 题型4角平分线的性质定理 题型5角平分线的判定定理 题型6角平分线性质的实际应用 题型7提升测试 重点知识梳理 知识点一、线段的垂直平分线 1定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称 中垂线)。 B 试卷第1页，共3页 几何语言：|LAB,AC=CB直线I是线段AB的垂直平分线。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：·.直线I垂直平分AB,点P在直线I上，∴.PA=PB 3判定定理：①到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上。 ②既垂直于一条线段，又经过线段中点的直线，叫做线段的垂直平分线。 M 几何语言：PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 总结：性质定理可以用来证明两条线段相等；逆定理可以用来证明点在垂直平分 线上（或直线经过某一点） 线段垂直平分线 互逆定理 到线段的两端点距离相 上的点到线段两 等的点在线段的垂直平 端点的距离相等， 分线上 4.线段垂直平分线的作法 试卷第1页，共3页 作法 图形 ①分别以点A,B为圆心，大于AB的长为半径画弧， 两弧相交于点C,D: B ②过C,D两点作直线，直线CD就是线段AB的垂直平 分线 5.常用辅助线 (1)连接垂直平分线上的点与线段两端点（构造等腰三角形）； (2)过线段中点作线段垂线（构造直角三角形）。 知识点二、角平分线 1.角平分线的定义、性质 1.角平分线的定义： 角的内部把角分成两个相等的角的射线这是个角的角平分线。 2.角平分线的性质： (1)性质1： 平分角。即若0C是∠AOB的平分线，则∠A0C=∠BOC。且他们都等 于∠AOB的一半。 (2)性质2： 角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即若OC是∠OB的平分线，P是OC上一点， 且PD⊥0B于点D,PE⊥OA于点E,则有PD=PE. 题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。 2角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.角平分线的判定：(1)在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分 线上；(2)平分角且射线上一点到角两边距离相等的射线，是这个角的平分线。 (如下图) 试卷第1页，共3页 几何语言：PMLOA,PN⊥OB,PM=PN. .P在∠AOB的角平分线上.OP为∠AOB的角平分线 4.角平分线的作法： 步骤一：以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以点M和点N为圆心，大王M侧的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 5.常用辅助线：（1)过角平分线上的点向角两边作垂线（构造全等直角三角形）； (2)连接角平分线与三角形顶点（转化线段、角关系）。 题型解浙◆精准备者 题型1线段垂直平分线的性质 1.如图，等腰ABC的底边BC的长是6cm,面积是15cm2,腰AB的垂直平 分线MN交AC于点N,垂足为M,若D为BC边上的一动点，P为MN上的 一动点，求BP+DP的最小值是() 试卷第1页，共3页 M D A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AP=BP,则BP+DP=AP+DP,当 点A,P,D共线且AD L BC时，AP+DP有最小值，即BP+DP有最小值为 AD的长，由等积法可求解， 【详解】解：连接AD,AP, M D .MN垂直平分AB, .AP=BP, ..BP+DP=AP+DP, 当点A,点P,点D共线且AD⊥BC时，AP+DP有最小值，即BP+DP有 最小值为AD的长， S8c=)BC-4D=X6x4D=15, 1 2 2 .∴.AD=5cm. 2.如图，在ABC中，DE为AC边上的中垂线，AB=12,BC=10,则 试卷第1页，共3页 △BCD的周长为 【答案】22 【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，进行线段的等量 代换，将△BCD的周长转化为AB+BC是正确解答本题的关键 【详解】解：：DE为AC边上的中垂线 .DA=DC ∴.△BCD的周长=BC+BD+CD BC+BD+DA BC+AB AB=12,BC=10 ∴.aBCD的周长=10+12=22. 3.如图，在ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,DE是AB的垂直平分 线，DE分别交AC,AB于点E,D. (1)求证： ABC是直角三角形； (2)求CE的长. 【答案】(1)见解析 试卷第1页，共3页 (2 119 24 【分析】(1)可证明AC2+BC2=AB2,根据勾股定理的逆定理，ABC是直 角三角形； (2)连接BE,由线段垂直平分线的性质得到AE=BE.设CE=x,则 BE=AE=AC-CE=12-x,由勾股定理得x2+52=(12-x)2,解方程即可 得到答案 【详解】(1)证明：在ABC中，AB=13,AC=12,BC=5, :122+52=144+25=169,132=169, 122+52=132. ∴.AC2+BC2=AB2, ∴.ABC是直角三角形； (2)解：如图，连接BE. :DE是AB的垂直平分线， AE BE. 由(1)可得ABC是直角三角形， 即∠ACB=90°. 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=12-x, 在RtABCE中，由勾股定理得CE2+BC2=BE2, 即x2+52=(12-x)2. 试卷第1页，共3页 119 解得x= 24 即CE的长为 119 24 题型2线段垂直平分线的判定 1.下面是小星同学的尺规作图步骤：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧， 交OA于点M,交OB于点N;(2)分别以点M,N为圆心，大于。MN长 为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;(3)画射线OC;(4)连接MN.根 据上面的作图方法，下列结论错误的是()》 M B A.△OMC≌△ONC B.∠MOC=∠NOC C.直线OC是线段MN的垂直平分线 D.MN是线段OC的垂直平分线 【答案】D 【详解】解：由作图可知，OM=ON,CM=CN, .0C=0C, ∴.△OMC≌△OWC(SSS),故选项A正确，不合题意； .△OMC≌△ONC, ∴.∠MOC=∠NOC,故选项B正确，不合题意； .∵OM=ON,CM=CN, ∴点O和点C都在线段MN的垂直平分线上， 试卷第1页，共3页 ·直线OC是线段MN的垂直平分线，故选项C正确，不合题意； 由作图无法得知OM=CN,ON=CW, ·.不能确定点M、N是否在线段OC的垂直平分线上， ∴.MN不一定是线段OC的垂直平分线，故选项D错误，符合题意. 2.如图，在等边ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点，AD=8cm,点 P是AD边上的一个动点，当PC+PE最小时，求∠CPE=° 【答案】60 【分析】连接BE,BP,由等边三角形的性质得到AD⊥BC,∠BCE=60°， ∠EBC= 2∠ABC=30°，则可证明PC=PB,故当B、PE三点共线时， PC+PE有最小值，由等边对等角可得∠PCB=∠PBC=30°，再由三角形外 角的性质可得答案， 【详解】解：如图，连接BE,BP, 等边ABC中，点D,E分别是BC、AC的中点， .AD⊥BC,∠BCE=60°，∠EBC=5∠ABC=30°， 试卷第1页，共3页 ∴.AD垂直平分BC, .PC=PB, .PC+PE=PE+PB≥BE, 当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值， .PC=PB, ∴.∠PCB=∠PBC=30°， ∴.∠CPE=∠PCB+∠PBC=30°+30°=60°. 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上， 且AD=AE,连接BE,CD,交于点F. (1)求证：∠EBC=∠DCB; (2)求证：过点A,F的直线垂直平分线段BC 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据SAS证明△DBC2△ECB,然后根据全等三角形的性质即可 得证； (2)连接AF,根据全等三角形的性质得出FB=FC,根据线段垂直平分线的 判定可得出点F在线段BC的垂直平分线上，同理得出点A在线段BC的垂直平 分线上，即可得证 【详解】(1)证明：AB=AC,AD=AE, 试卷第1页，共3页 ∴.BD=CE,∠DBC=∠ECB 又BC=CB, ·ADBC≌aECB(SAS), .∠EBC=∠DCB; (2)证明：连接AF, ·∠FBC=∠FCB, .FB=FC, ∴点F在线段BC的垂直平分线上， AB=AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴过点A,F的直线垂直平分线段BC. 题型3作垂线（尺规作图） 1.如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.用直尺和圆规在边AC上 确定一点D,使点D到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹是() B 试卷第1页，共3页 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的基本方法，准确理解相关作图法是解题的关键.根 据选项，结合尺规作图方法逐一分析即可. 【详解】解：对于选项A:该作图痕迹表明AB=AD,此时点D到AB、BC的 距离不相等，不符合题意； 对于选项B:该作图痕迹表明BD平分∠ABC,且点D在AC上，根据角平分 线的性质可知，点D到AB、BC的距离相等，符合题意： 对于选项C:该作图痕迹表明虚线为AC的中垂线，点D为该中垂线与AC的交 点，此时点D到AB、BC的距离不相等，不符合题意； 对于选项D:该作图痕迹表明BD⊥AC于点D,此时点D到AB、BC的距离 不相等，不符合题意； 故选：B 2.如图，在ABC中，AC=8,∠C=30°，以点A为圆心，AB长为半径画 弧交BC于点D,分别以点B和点D为圆心，大于二BD的长为半径画弧，两弧 相交于点E,连接AE并延长，交BC于点F,则AF的长为 【答案】4 试卷第1页，共3页 【分析】由作图知，AF⊥BC,在Rt△ACF中，利用直角三角形的性质求解 即可 【详解】解：由作图知，AF⊥BC, 在Rt△ACF中，AC=8,∠C=30°， :.AF=AC=4. 3.如图，在△ABC中，已知AB=AC. (1)尺规作图：作△ABC的高CD,垂足为D(保留作图痕迹，不写作法，标明 字母) (2)在(1)的条件下，若AB=10,CD=6,求BC的长. 【答案】(1)见解析 (2)BC=2N10 【分析】（1)过点C向直线AB作垂线即可； (2)先根据勾股定理求出AD的长，再由勾股定理求出BC的长， 【详解】(1)解：(1)如图，CD为所作。 B (2)解：∠ADC=90°，AC=AB=10,CD=6, 在RtAACD中，根据勾股定理得AD=√AC2-CD2=8, 试卷第1页，共3页 .BD=AB-AD=2 在RtABCD中，根据勾股定理得BC=VBD2+CD2=2√10. 题型4角平分线的性质定理 1.如图，在ABC中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：① AF=BF;②∠BAF=∠CBE;③BE⊥AC;④S△MBE:S△CBE=AB:BC.其 中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】由作图方法可知，DF垂直平分AB,BE平分∠ABC,则AF=BF, ∠ABF=∠CBE,再由等边对等角可推出∠BAF=∠CBE,由角平分线的性质 得到点E到AB的距离等于点E到BC的距离，结合三角形的面积公式可得 S△HBE:SACBE=AB:BC,若BE⊥AC成立，可得到△ABE≌ACBE(ASA), 推出BA=BC,但题目中并未给出BA=BC这个条件，据此可得答案 【详解】解：由作图方法可知，DF垂直平分AB,BE平分∠ABC, ∴.AF=BF,∠ABF=∠CBE,故①正确； ∴.∠BAF=∠ABF, ∴.∠BAF=∠CBE,故②正确； .BE平分∠ABC, ∴点E到AB的距离等于点E到BC的距离， 试卷第1页，共3页 6h:8Ch=40:BC,故 1 设点E到AB的距离为h,则S△BE:S△cBE= 2 ④正确； 若BE⊥AC成立，那么LBEA=∠BEC, 又∠ABF=∠CBE,BE=BE, .△ABE≌ACBE(ASA), ∴.BA=BC，但题目中并未给出BA=BC这个条件，故③错误； 正确的有①②④，共3个. 2.如图，在ABC中，AD为△BAC的平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于 F,ABC的面积是30，AB=12,AC=10,则DE= 【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用三角形面积公式即可解答. 【详解】，AD为△BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, .DE =DF :ABC面积是30， AB.DE+4C.DF-30, 2 即×12DE+2×10DE=30, 试卷第1页，共3页 解得DE= 30 11 3.如图，CD平分∠ACB,且AC=DC,点E在边CD上，且CE=CB,连 接BD,AE.求证：∠A=∠D. B 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质得到∠ACE=∠DCB,证明 △ACE≌△DCB(SAS),从而得出结论. 【详解】证明：：CD平分∠ACB, ∴.∠ACE=∠DCB, 在△ACE和△DCB中， AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB .△ACE≌△DCB(SAS), .∠A=∠D. 题型5角平分线的销判定定理 1.如图，ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的平分线交于点D,连接AD, 若∠CAE=110°，则∠CAD=() 试卷第1页，共3页 E A D F A.70° B.65 C.60° D.55 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得DM=DO=DN,从而得AD是∠EAC的 平分线，计算即可求解. 【详解】如图，过点D作DM⊥BE,DN⊥AC,DO⊥BF,垂足分别为 M,N,O M y .BD是∠ABC的平分线，DM⊥BE,DO⊥BF, B ∴.DM=D0, 同理可得DN=DO, .'DM DN, DM⊥BE,DN⊥AC, .AD是∠EAC的平分线， ÷∠CAD= ∠CAE=55°. 2 2.如图，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,AD>AC, ∠BAC=∠DAE=30°，连接BD、EC,延长EC交BD于点F,连接AF,下 列结论：①BD=EC;②∠EFD=30°；③AF平分∠BFE;④AF平分 试卷第1页，共3页 ∠BAC;⑤∠CAF=∠CBF.正确的结论序号是 【答案】①②③⑤ 【分析】证明△BAD≌△CAE即可得①正确，由△BAD≌△CAE可得 ∠BDA=∠CEA,则可得∠EFD=∠DAE=30°，可得②正确，过点A作 AG⊥EF于点G,过点A作AH⊥DB于点H,由角平分线的判定可得③正 确，假设AF平分∠BAC,由AB=AC,则AF⊥BC,由条件无法判断 AF L BC,故④不正确，先证明∠CFA=∠ABC=75°，再由△BAD≌△CAE 可得∠ABD=∠ACE,则∠ABC+∠CBF=∠CAF+∠CFA,可得⑤正确 【详解】解：①∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△BAD≌△CAE(SAS, ∴.BD=EC,故①正确； ②由①可知，△BAD≌△CAE, ∴.∠BDA=∠CEA, 如图，设EF与AD交于点O, 试卷第1页，共3页 D B :∠OEA+∠EOA+∠EAO=180°，∠ODF+∠DOF+∠OFD=180°， ∠EOA=∠DOF, .∠OFD=∠OAE,即∠EFD=∠DAE=30°，故②正确； ③如图，过点A作AG⊥EF于点G,过点A作AH⊥DB于点H, BH 由①可知，△BAD≌△CAE, ∴.SABAD=S△CHE,BD=CE, :BD.AH-CE-AG, ..AG=AH AG⊥EF,AH⊥FB, ∴点A在∠BFE的角平分线上，即AF平分∠BFE,故③正确； ④假设AF平分∠BAC, .AB=AC, .AF⊥BC, 根据已知条件无法判断AF⊥BC,因此假设错误，故④不正确； 试卷第1页，共3页 ⑤.AB=AC,∠BAC=30°， ∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC)=75, 由②可知∠EFD=30°， ∴.∠BFE=150°， 由③可知AF平分∠BFE, 1 ∴.∠CFA=∠BFE=75°， ∴.∠CFA=∠ABC=75°， ∠ACE是△ACF的外角， ∴.∠ACE=∠CAF+∠CFA, 由①可知，△BAD≌△CAE, .∠ABD=∠ACE, .∠ABD=∠ABC+∠CBF, ∴.∠ABC+∠CBF=∠CAF+∠CFA, ∴.∠CAF=∠CBF,故⑤正确： 综上所述，正确的结论序号是①②③⑤. 3.如图，在ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线相交于点O (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)连接OA,若AB=AC=5,B0=4,AO=2,则点O到三角形三条边的 试卷第1页，共3页 距离是 【答案】(1)见解析 5 【分析】(1)根据角平分线的性质，易证OD=OE,再根据角平分线的判定， 即可求证； (2)根据等腰三角形的性质，可得AO⊥BC,再根据勾股定理，列方程求解 即可. 【详解】(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E, OF⊥BC于点F, D 、O :∠ACB,∠ABC的平分线相交于点O, ∴.OD=OF,OE=OF ..OD=OE 又OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F, ∴.点O在∠BAC的平分线上； (2)解：延长AO交BC于G, :AB=AC=5,点O在∠BAC的平分线上， G .AO⊥BC, .AB=AC=5,BO=4,A0=2, 试卷第1页，共3页 ..AG=A0+0G=2+0G 在Rt△AGB中，BG2=AB2-AG2=52-(2+OG)2, 在Rt△0GB中，BG2=0B2-0G2=42-0G2, 52-(2+0G2=42-0G2,解得0G= 4 由(1)可知，点O到三角形三条边的距离相等，即OG的长， 5 ∴点O到三角形三条边的距离是 4 题型6角平分线性质的实际应用 1.某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度 假村，如图所示.要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在() A.ABC三条高线的交点处 B.ABC三条角平分线的交点处 C.ABC三条中线的交点处 D.以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分 线上的点到角的两边的距离相等的性质解答 【详解】解：度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， :度假村应该在ABC三条角平分线的交点处 试卷第1页，共3页 故选：B 2.如图，在ABC中，AB=5,AD⊥BC于点D,CD=2, ∠BAD=2∠CAD,将ABC沿着AD折叠，若点B恰好落在射线BC上的点 E处，则△ACE的面积为· 2 D 【答案】5 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的 关键； 过点C作CF⊥AE,交AE于点F,由题意可得AE=AB=5, ∠BAD=∠EAD,从而推出AC是∠EAD的平分线，得到CF=CD=2,即可 求解。 【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥AE,交AE于点F, D .·将ABC沿着AD折叠，若点B恰好落在射线BC上的点E处， ∴.AE=AB=5,∠BAD=∠EAD, .∠BAD=2∠CAD, ∴.∠EAD=2∠CAD, ∴.AC是∠EAD的平分线， 又CF⊥AE,AD⊥BC, 试卷第1页，共3页 ∴.CF=CD=2, SA6×CFk5x2= 故答案为：5. 3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连结BE并延长交 AD的延长线于点F B (1)求证：△BCE≌△FDE; (2)连结AE,若AE⊥BF,求证：BE是∠ABC的角平分线， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌 握各判定和性质定理是解题的关键 (1)根据平行线的性质得到∠EBC=∠F,再根据AAS证明△BCE≌△FDE 即可； (2)由△BCE≌△FDE得到BE=FE,根据AE垂直平分BF得到AB=AF ,推出∠EBA=∠F,由此证得∠EBA=∠EBC,即可得到BE是∠ABC的角 平分线. 【详解】(1)证明：：AD∥BC, ·.∠EBC=∠F, 又E为CD的中点， 试卷第1页，共3页 ..CE =DE, 在△BCE和FDE中， 「∠EBC=∠F ∠BEC=∠FED, EC=ED .△BCE≌AFDE(AAS); (2)证明：△BCE≌△FDE, ..BE FE :AE垂直BF, ∴.AE是线段EF的垂直平分线， ..AB=AF, ∴.∠EBA=∠F, .∠EBC=∠F, .∠EBA=∠EBC, ∴.BE是∠ABC的角平分线 过关检测提 一、单选题 1.如图，在6×6网格中，点A,B,C均在格点上，AC=BC,则ABC的 对称轴经过格点() 试卷第1页，共3页 P A.P B.P C.P D.P 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线性质解答即可. 【详解】解：设小正方形的边长为1，则AC=BC=V2+32=√0， AB=V32+32=3V2, .AC=BC≠AB, ∴.ABC是以CA、CB为腰的等腰三角形， ∴.ABC的对称轴是边AB的垂直平分线，且经过点C, .PA=PB=V12+22=5 ∴点P在边AB的垂直平分线上， ∴.P,C是边AB的垂直平分线，即ABC的对称轴经过格点P, PA=P+12=√2，PB=V42+22=25, .PA≠PB,点R不在AB的垂直平分线上， 同理可得，点P,P都不在AB的垂直平分线上. 2.如图，已知a‖b,直线1与直线a,b分别交于A,B两点，分别以点A,B 为圆心，大于。AB的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交直 线b于点C,连接AC.若∠1=40°，则∠BCN的度数是() 试卷第1页，共3页 B A.40° B.45° C.50° D.60° 【答案】C 【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB,则利用线段垂直平分线的性质 得到CA仁CB,所以∠CBA=∠CAB=40°，进而可得结果. 【详解】解：a‖b, .∠CBA=∠1=40°， 根据基本作图可知：MN垂直平分AB, ..CA=CB, ∴.∠CBA=∠CAB=40°， ∴.∠ACB=180°-2×40°=100°， ∠BCN=∠4CB=)x100°=50°. 1 2 3.如图，ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,且DE 垂直平分BC,AD=2,则△BDC的周长是（) E A.16 B.8+4V5 C.11 D.7 【答案】B 试卷第1页，共3页 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD,再结合角平分线的性质可 得DE=AD=2,∠CBD=∠C=30°，从而得到BD,CE的长，即可求解 【详解】解：DE垂直平分BC, .BD=CD,DE L BCBC=2DE, ∴.∠C=∠CBD, .BD是∠ABC的平分线，∠A=90°，AD=2, .∠ABD=∠CBD,DE=AD=2, .∠ABD=∠CBD=LC, .∠ABD+∠CBD+∠C=180°-∠A=90°， ∴.∠CBD=∠C=30°， ..BD=CD=2DE=4, .CE =CD2-DE2=23, ∴.BC=2CE=4V3, ∴.△BDC的周长是BD+CD+BC=4+4+43=8+4√3. 4.如图，∠AOB=80°，点C是∠AOB内一点，CD⊥OA于点D, CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC的度数是() D A.35° B.40° C.45° D.50° 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得OC平分∠AOB,再计算角度， 试卷第1页，共3页 【详解】解：，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,且CD=CE, ∴.OC平分∠AOB, :∠A0B=80°， ∴.∠DOC=-∠AOB=40° 5.如图，直线，12,4表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（). A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键.根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解： 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边 13 的距离相等”得到点，P,￡，P到三条公路的距离相等 可供选择的地址有4个， 试卷第1页，共3页 故选：D 二、填空题 6.如图，已知ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E在同一条直线 上，AE与BD相交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD相交于点F,连 接OC,FG.随下列结论：①AG=BF;②FG‖BE;③DF=DE;④ ∠DOE=60°；其中正确的结论有 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平 分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加 常用辅助线，构造全等三角形解决问题。 首先判定△BCD≌△ACE(SAS),根据全等三角形的对应边相等即可证得①正 确；同理CF=GC,得到△FCG是等边三角形，即可得到②正确，又由 ∠DOE=∠ACB,可得④正确. 【详解】解：，：ABC和△DCE是等边三角形， .AB=AC=BC,DC=CE=DE,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°， .∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°， .∠ACG=180°-60°-60°=60°， 试卷第1页，共3页 ∴.∠BCD=∠ACE=120°， BC=AC 在△BCD和△ACE中， ∠BCD=∠ACE=120°， CD=CE :.△BCD≌△ACE(SAS), .∠CBD=∠CAE,∠CDB=∠CEA, ∠FBC=∠GAC 在BCF和△ACG中， {∠FCB=∠GCA BC=AC .△BCF≌△4CG(AAS), ..AG=BF, 故①正确； ..CF=GC ∠FCG=60°， .△FCG是等边三角形， .∠GFC=60°， .∠FCB=60°， ∴.∠GFC=∠FCB, .FG‖BE, 故②正确； ∠FDC=∠GEC 在△DFC和△GCE中， ∠DCF=∠ECG, CF=CG ∴.△DFC≌aGCE(AAS), ∴.DF=EG,DC=CE, 试卷第1页，共3页 故③不正确； .∠DOE=∠OBE+∠OEB,∠OBE=∠OAC, ∴.∠DOE=∠OAC+∠OEB, .∠DOE=∠ACB, .∠ACB=60°， :.∠D0E=60°， 故④正确； 故答案为：①②④， 7.如图，∠ABC=110°，点D在∠ABC内部，线段BD=3V3, ∠ABD=25°，E,F分别是射线BA,BC上的动点（不与B重合），连接 EF,分别作∠AEF,∠EFC的平分线交于点G,连接DG.则线段DG的最 小值为 G 【答案】 25 【分析】如图所示，作射线BG,过点D作DH⊥BG于点H,过点G作 GK⊥EF于点K,过点G作GQ⊥AB于点Q,过点G作GP⊥BC于点P, 证明出GP=GQ,得到BG平分∠ABC,当E,F分别在射线BA,BC上移 动时，点G始终在∠ABC角平分线上，然后得到当DG⊥BG时，即点G和点 H重合时，线段DG取得最小值，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即 可 试卷第1页，共3页 此题考查了角平分线的性质和判定，含30度角直角三角形的性质，垂线段最短 等知识，解题的关键是掌握以上知识点。 【详解】解：如图所示，作射线BG,过点D作DH⊥BG于点H,过点G作 GK⊥EF于点K,过点G作GQ⊥AB于点Q,过点G作GP⊥BC于点P, ∠AEF,∠EFC的平分线交于点G, ..GQ=GK,GP=GK ∴.GP=Gg 点G在∠ABC内部 ∴.BG平分∠ABC,即∠ABG=∠CBG=二∠ABC=55 ·当E,F分别在射线BA,BC上移动时，点G始终在∠ABC角平分线上 当DG⊥BG时，即点G和点H重合时，线段DG取得最小值， .∠ABD=25° ∴.∠DBG=∠ABG-∠ABD=55°-25°=30° ..DH=- BD=35 2 2 :线段DG的晨小值为5. 故答案为： 8.如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,给出下列 结论：①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④ 试卷第1页，共3页 BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的是 B、E ch 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相 等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断 ①；证明RIAACD≌Rt△AED(HD)得到②LADC=LADE,AC=AE, 即可判断②，根据BE+AC=BE+AE=AB即可判断④，根据同角的余角相等 即可判断⑤，并得到③错误. 【详解】解：.∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB, .DC=DE,故①正确； 在Rt△ACD和RtA AED中， AD=AD CD=ED :.RIAACD≌Rt△AED(HL, .∠ADC=∠ADE,AC=AE, ∴.DA平分∠CDE,故②正确 BE+AC=BE+AE=AB,故④正确； .·∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90° ∴.∠BAC=∠BDE,故⑤正确； .∠ADE+∠BAD=90°，而∠BAD≠∠B, 试卷第1页，共3页 .∠BDE≠∠ADE, ∴DE平分∠ADB错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤ 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=I2,BC=DC,∠A=60°，点E 在AD上，连接BD,CE相交于点F,CE∥AB.若CE=9,则CF长为 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性 质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间 的关系。 首先根据AB=AD=12,∠A=60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交 BD于点G,可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定 理可证∠BAC=∠DAC=30°，根据平行线的性质可证∠ACE=∠DAC=30°， 从而可得DE=3,根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角 形的性质可知EF=DE=3,从而可得CF的长. 【详解】解：如图，连接AC交BD于点G, 试卷第1页，共3页 A B .AB=AD=12,∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD=BD=12,∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°， .AB=AD=12,BC=DC, .AC垂直平分BD, ∴.AG平分∠BAD, 1 ∠B1C=∠DAC=2∠BAD=30°， CE∥AB, ∴.∠ACE=∠BAC=30°，∠CED=∠BAD=60° ∴，∠ACE=∠DAC=30°，△DEF是等边三角形， ..AE=CE=9,EF=DE ..EF=DE=AD-AE=3, ∴.CF=CE-EF=6. 故答案为：6 10.△ABD和△BCD按如图方式摆放，其中AB=AD,CB=CD,点E为 AD上一点，连接CE交BD于点F,∠EFD=∠ABD.若AD=9,CE=6, 试卷第1页，共3页 则CF的长为 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质.连 接AC,根据已知条件证明△ABD和△BCD都是等腰三角形，从而可得AC是 BD的垂直平分线，得出∠BAC=∠CAE,再由∠EFD=∠ABD得到ABCE ,从而得到∠BAC=∠ACE,∠ABD=∠EFD,推出AE=CE=6,得到 DE=AD-AE=3,由∠ABD=∠EFD,∠ABD=∠ADB,可推出 EF=DE=3,最后根据线段间的和差关系即可求解 【详解】解：如图，连接AC, E AB=AD,CB=CD .∠ABD=∠ADB,LCBD=LCDB, ∴.△ABD和△BCD都是等腰三角形， .AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD, .∠BAC=∠CAE, 又∠EFD=∠ABD, 试卷第1页，共3页 ..ABICE, .∠BAC=∠ACE,∠ABD=∠EFD, .∠CAE=LACE, .AE=CE=6, AD=9, ∴.DE=AD-AE=9-6=3, .∠ABD=∠EFD,∠ABD=∠ADB, ∴∠EFD=∠ADB, .EF=DE=3 .CF=CE-EF=6-3=3, 故答案为：3. 三、解答题 11.已知：如图，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点 D,交AB于点E. M E D (1)若∠A=36°，求∠DBC的度数： (2)若AE=8,△CBD的周长为24，求ABC的周长. 【答案】(1)∠DBC=36 (2)40 试卷第1页，共3页 【分析】(1)利用线段垂直平分线的性质得到DB=DA,求出 ∠ABD=∠A=36°，利用等腰三角形的性质求出∠ABC=72°，继而得到 ∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°； (2)先求出AB=2AE=16,再推出AC+BC=24,计算即可得到答案 【详解】(1)解：AB的垂直平分线MN交AC于点D, .DB=DA, ∴.△ABD是等腰三角形； 又∠A=36°， ∠ABD=∠A=36°，∠ABC=∠C=(180°-36°）÷2=72° .∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°； (2)解：：AB的垂直平分线MN交AC于点D,AE=8, .AB=2AE=16,AD=BD, :△CBD的周长为24， .BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=24, .∴△ABC的周长=AB+AC+BC=16+24=40. 12.如图，在ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, 连接BD. (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为_； (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断 试卷第1页，共3页 点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由， 【答案】(1)11 (2)点P在边AB的垂直平分线上，理由见解析 【分析】(1)根据垂直平分线的性质得到DB=DC,得到 AC=AD+DC=AD+DB,再利用三角形的周长公式即可求解； (2)根据垂直平分线的性质得到PA=PB=PC，再利用垂直平分线的判定即 可得出结论. 【详解】(1)解：·直线垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, .DB=DC .AC=AD+DC=AD+DB, .'△ABD的周长为19， ∴.AB+AD+DB=19, AB=8, ∴.AD+DB=11, 即AC=11: (2)解：点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB, ,直线垂直平分边BC,点P在直线I上， B .PB=PC, ,点P在边AC的垂直平分线上 试卷第1页，共3页 .PA=PC .PA=PB, ∴点P在边AB的垂直平分线上. 13.尺规作图：根据要求补全图形.（不写作图过程，保留作图痕迹） B A A。 M N ●B 图1 图2 (1)图1中，点A、B在直线MN同侧，在直线MN上作一点P,使得PA=PB (2)图2中，点A、B在直线MN异侧，在直线MN上作一点P,使得 ∠APM=∠BPM. 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】(1)利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等，即可得到满足PA=PB的点P; (2)利用轴对称将“异侧点”转化为“同侧点”，作点B关于直线MN的对称 点，连接点A和该对称点交直线MN于点P,即可得到满足∠APM=∠BPM的 点P. 【详解】(1)解：如图1所示： ●B 图1 试卷第1页，共3页 (2)如图2所示： 图2 14.如图，在直角ABC中，∠B=90°， ◇ 备用图 (1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D,在AC上作一点E,使得 AE=DE;(不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB=4,BC=3,则DE=_一· (若需画图，请 用备用图) 【答案】(1)见解析 【分析】（1)利用角平分线和线段垂直平分线的作法进行作图； (2)过点D作DF⊥AC于点F,根据角平分线的性质得出BD=DF,根据 4 等面积得出BD=DF=L证明Rt△ABD≌Rt△AFD,得出AP=AB=4假 设AE=DE=x,根据线段垂直平分线的性质以及勾股定理列出方程求解即可. 【详解】(1)解：如图，AD和点E即为所求； 试卷第1页，共3页 (2)解：如图，过点D作DF⊥AC于点F, .AD平分∠BAC,且∠B=90° ..BD=DF 由勾股定理得AC=√AB2+BC2=5, D+AC.DF-AB-BC, 1 2 1 1 即÷×4BD+二×5DF= ×4×3， 2 解得BD=DF= 4 在Rt△ABD和RtAADF中， AD=AD BD=DF .Rt△ABD≌RtAFD(HL), ∴.AF=AB=4, 由线段的垂直平分线的性质可得AE=DE, 假设AE=DE=x,则EF=AF-AE=4-x, 试卷第1页，共3页 由勾股定理得DE2=EF2+DF2, 即x2=(4-x2+ 解得x= 20 9 即DE= 20 9 15.如图，在ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D在线段AB的延长线 上，D与B不重合，且AD<2AB.连接CD,过A作AE⊥CD于点E,AE与 BC交于点F. A E D (1)求证：△ABF≌△CBD; (2)连接BE,判断∠CAE与∠CBE的数量关系，并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)∠CAE=∠CBE,证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的 性质，关键是辅助线的作法； (1)利用同角的余角相等得到∠DAE=∠BCD,进而可证△ABF≌△CBD; (2)利用等腰三角形的性质及角平分线的判定得到角的相等关系，进而在 △ACF,△BEF中论证∠CAE=∠EBF即可. 【详解】(1)∠ABC=90°， 试卷第1页，共3页 .∠CBD=90°， .∠ABF=∠CBD; AE⊥CD, ∴∠AED=90°， ∴.∠DAE+∠ADC=∠BCD+∠ADC=90°， ∴.∠DAE=∠BCD, 在△ABF和△CBD中， 「∠DAE=∠BCD, .AB=BC. ∠ABF=∠CBD, :.∴△ABF≌△CBD(ASA); (2)如图1，过点B作BM⊥AE,BN⊥CD,垂足分别为M,N. 由(1)知△ABF≌△CBD, ∴.AF=CD,S△ABF=SACBD; .AF.BM-CD.BN, 2 ·.BM=BN; :BM⊥AE,BN⊥CD, ∴.EB平分∠AED, ∠AED=90°， .∠BEF=45°， AB=BC,∠ABC=90°， .∠BCA=∠BAC=45°， ∴.∠BCA=∠BEF, 试卷第1页，共3页 在△BEF和△ACF中， ∠BCA=∠BEF,∠AFC=∠BFE, :.180°-∠AFC-∠BCA=180°-∠BEF-∠BFE, 即∠CAE=∠CBE. AM B E 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的 性质，关键是辅助线的作法. 试卷第1页，共3页