1.1 三角形内角和定理 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明及其应用 1.1 三角形内角和定理 侵权必究 第一章 三角形的证明及其应用 1.1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和及“AAS”定理的证明 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 3 1.证明三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题.（重点、难点） 2.回顾全等三角形的判定和性质. 学习目标 侵权必究 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 5 下列图形的内角和为多少?你能给出证明吗？ 斜拉桥梁 埃及金字塔 体育观看台架 新课导入 侵权必究 问题：在八年级上册“证明”一章中，我们学了哪八条基本事实？ 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等. 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 8 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 讲授新课 1.三角形的内角和 侵权必究 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 侵权必究 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 侵权必究 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 侵权必究 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 侵权必究 例1 已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数． 解：在△DFB中， ∵∠DFB＝90°，∠D＝50°， ∠DFB＋∠D＋∠B＝180°， ∴∠B＝40°. 在△ABC中， ∵∠A＝46°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°. 侵权必究 练一练 1.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°， AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点 E，则∠ADE的大小是(　　) A．45°　　　 B．54°　　　 C．40°　　　 D．50° C 侵权必究 讲授新课 2.全等三角形的判定和性质 想一想 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？ 侵权必究 例2 已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）. ∵BC=EF（已知）， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. F E D C B A 侵权必究 证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程. 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 19 1.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角 吗？为什么？ （2）60°， 40°， 90° （3）30°， 60°， 50° （1）3°， 150°， 27° 是 不是 不是 提醒：三角形的内角和为180°. 侵权必究 2.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C =_______; （2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = _______; （3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 则∠C = ________. 102° 40° 120° 侵权必究 3.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 设∠B为x °，则∠A为(3x)°，∠C为(x+ 15)°. 3x+x+(x+15)=180，解得 x=33. 所以 3x=99 ，x+15 =48. 即∠A,∠B,∠C的度数分别为99°，33°，48°. 根据三角形的内角和等于180°， 得 解： 侵权必究 4.如图，△ABC中BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°， ∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数. ∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°, ∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°. ∠ABD=54°，∠ADB=90°， ∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB =180°－54°－90°=36°. 解： C A B D ∠C=180°－∠A－（∠ABD+∠DBC） =180°－36°－（54°+18°） =72°. 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 24 课堂小结 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 侵权必究 25 第一章 三角形的证明及其应用 1.1 三角形内角和定理 第2课时 三角形内角和定理的 推论 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 27 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在复杂图形中找出外角.（难点） 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．（重点） 4.会利用三角形的外角性质解决问题. 学习目标 侵权必究 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 29 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到 原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 31 1 知识点 三角形外角的定义 D B A C 1 2 3 4 外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角,叫作三角形的外角. 讲授新课 侵权必究 D B A C 不相邻内角 1 2 3 4 想一想： 外角与相邻内角有什么特殊关系？ 外角 ∠4+∠3=180° 外角与相邻内角的大小不能确定 发现： 1、每一个三角形都有６个外角． 3、每个外角与相应的内角是邻补角． 2、每一个顶点相对应的外角都有２个． 相邻内角 讲授新课 侵权必究 图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA， CE的延长线EB，延长线FA与边CF构成的角为 ∠AFC；延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.由三 角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF是△CEF 的外角． 如图，△CEF的外角为 ________________． ∠AFC，∠BEF 导引： 讲授新课 例题1 侵权必究 如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(　　) A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 1 D 练一练 讲授新课 侵权必究 一个三角形的三个外角中，最少有几个钝角？最 多有几个直角？最多有几个锐角？ 2 解： 一个三角形的三个外角中，最少有两个钝角，最多有一个直角，最多有一个锐角． 讲授新课 侵权必究 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 2 知识点 三角形内、外角的关系 讲授新课 侵权必究 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 讲授新课 侵权必究 D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 讲授新课 侵权必究 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 知识要点 讲授新课 侵权必究 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 讲授新课 侵权必究 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°, 求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 典例精析 讲授新课 例题2 侵权必究 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 讲授新课 例题3 侵权必究 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 讲授新课 侵权必究 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 讲授新课 侵权必究 A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 讲授新课 侵权必究 A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 讲授新课 侵权必究 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 讲授新课 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 49 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （3）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 当堂练习 侵权必究 2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 当堂练习 侵权必究 3.（1）如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE 当堂练习 侵权必究 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求： （1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， A B C D 当堂练习 侵权必究 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 能力提升： 当堂练习 侵权必究 1 2 3 B A C P N M D E F 6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________. 360° 当堂练习 侵权必究 55 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 56 三角形的外角 定义 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 课堂小结 侵权必究 第一章 三角形的证明及其应用 1.1 三角形内角和定理 第3课时 多边形的内角和 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 59 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 60 1.能通过不同方法探索多边形的内角和公式；（重点） 2.学会运用多边形的内角和公式解决问题.（难点） 学习目标 侵权必究 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”. 思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？ 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 63 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度？ 问题1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和是180°. 都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 讲授新课 多边形的内角和 侵权必究 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. 问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 猜想与证明 方法1：如图，连接AC, 四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°. A B C D 侵权必究 A B C D E 方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°. 侵权必究 方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE. 所以四边形ABCD内角和为： 180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4-360°=360°. A B C D E 侵权必究 A B C D P 方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°. 这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解. 结论： 四边形的内角和为360°. 侵权必究 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 解： 如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °， ∵ ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°. ∴ A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 侵权必究 1.如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°， 故△DCF为直角三角形． 运用了整体思想 练一练 侵权必究 A C D E B A B C D E F 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180° ×3 = 540°. 内角和为180° ×4 = 720°. 侵权必究 n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ······ 0 n -3 1 2 3 1 2 3 4 n -2 （ n -2 ）·180º 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º ······ ······ ······ ······ 由特殊到一般 侵权必究 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和定理 n边形的内角和等于(n-2)×180 °. 侵权必究 例2 将一个n边形变成(n＋1)边形，则内角和将(　　) A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360° C 侵权必究 例3 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 侵权必究 例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数． 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D, ∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数． 运用了整体思想 侵权必究 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°. ∵AP平分∠EAB, ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 侵权必究 练一练 2. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1 510°，则这个多边形对角线的条数是(　　) A．27 B．35 C．44 D．54 C 侵权必究 3. 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是(　　) A．10　　　 B．11　　　 C．12　　 D．以上都有可能 （来自《典中点》） D 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 80 1.判断． 当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______． 120° 当堂练习 侵权必究 3.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° C 侵权必究 5.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°. 8 9 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 84 多边形的内角和 内角和计算公式 (n-2) × 180 °(n 是大于或等于3的自然数） 正多 边形 内角= 课堂小结 侵权必究 第一章 三角形的证明及其应用 1.1 三角形内角和定理 第4课时 多边形的外角和 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 87 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 88 1.能通过不同方法探索多边形的外角和；（重点） 2.学会运用多边形的外角和解决问题.（难点） 学习目标 侵权必究 思考：我们已经学习了多边形的内角和公式，那么你知道多边形的外角和是多少吗？ 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 91 小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 讲授新课 多边形的外角和 侵权必究 多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角. 如图，∠BAE的外角是∠1. E B C D 1 2 3 4 5 A 在每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. 概念学习 侵权必究 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° 侵权必究 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 ° =5个平角 －五边形内角和 =5×180° －(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 侵权必究 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作n边形的外角和． n边形外角和 n边形的外角和等于360°. －(n－2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 侵权必究 问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 ______边形. 六 正八 侵权必究 正多边 形边数 内角 3 4 5 6 8 n 60 ° 90 ° 120 ° 练一练 完成下面的表格： 108 ° 135 ° 侵权必究 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 例1 设这个多边形是n边形， 则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于 360°. 根据题意，得 (n－2)·180°＝3×360°. 解得n＝8. 所以，这个多边形是八边形. 解： 侵权必究 例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180， 解得 x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 侵权必究 解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答：这个多边形是九边形. 侵权必究 1. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 C 练一练 侵权必究 2.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条． 侵权必究 例3 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数． 解：由题意得 AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°， 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°. 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 105 1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (2)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 当堂练习 侵权必究 2.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米． 150 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 108 多边形的外角和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 正多 边形 外角= 课堂小结 侵权必究 THANKS！ 侵权必究 《》版权所有 侵权必究 侵权必究 110 $