精品解析：江苏常州市金坛区第一中学2025-2026学年高二下学期期中质量调研数学试卷

2026年春学期高二期中质量调研 数学试卷 2026.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，若，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为．令事件，事件，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ） A. B. 4 C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析后得出坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线（如图），如果某天有可用，根据图中信息李明选择坐公交去学校，k取值可以是（ ） A. 26 B. 29 C. 38 D. 40 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，且、、三点不共线，则下列结论正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 存在实数，使、 、、四点共面 C. 平面与平面的夹角为定值 D. 直线与平面所成角一定不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线与曲线在处的切线垂直，则实数_______． 13. 如果随机变量，且，那么____________. 14. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为________（用分数表示或者保留三位小数）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求； （2）当时，求实数的值． 16. 设，函数． （1）若函数有大于零的极值点，求实数a的取值范围； （2）若函数在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 18. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）试讨论的单调性； （3）若，存在两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高二期中质量调研 数学试卷 2026.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，若，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以 ， 解得 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为．令事件，事件，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型求出，然后根据条件概率公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，所以. 又， 所以，. 故选：C. 3. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义，即可求解. 【详解】. 4. 在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量法计算可得. 【详解】依题意，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解. 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时，，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 6. 在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】命题等价于在上单调递增，然后使用导数工具分类讨论的单调性即可. 【详解】原条件即为对恒成立，从而条件等价于在上单调递增. 设，则. 一方面，若在上单调递增，则对恒成立. 所以，即，得； 另一方面，若，设，则. 从而当时，当时. 故在上递减，在上递增. 所以当或时，有，即，进一步可得 . 这表明在和上递增，故在上递增. 综上，的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数分类讨论函数的单调性，属于较为常规的题目. 8. 设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意得，解得， 所以 ， ， ， ． 10. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析后得出坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线（如图），如果某天有可用，根据图中信息李明选择坐公交去学校，k取值可以是（ ） A. 26 B. 29 C. 38 D. 40 【答案】AB 【解析】 【分析】结合图象，比较使用哪种工具在内到达学校的概率更大可确定答案. 【详解】A.由图可知，，故坐公交车在26分钟内到达学校的概率更大，选项A正确. B.由图可知，，故坐公交车在29分钟内到达学校的概率更大，选项B正确. C.由图可知，，故骑自行车在38分钟内到达学校的概率更大，选项C错误. D.由图可知，，故骑自行车在40分钟内到达学校的概率更大，选项D错误. 故选：AB. 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，且、、三点不共线，则下列结论正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 存在实数，使、 、、四点共面 C. 平面与平面的夹角为定值 D. 直线与平面所成角一定不大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的平行证明判断A选项；利用空间向量存在定理证明B选项；通过空间二面角线面角来判断C，D选项即可. 【详解】对于A：由题知，故A正确； 对于B：，，若、 、、四点共面， 则存在实数使得， 即， 易知，故不存在实数使得，所以不存在实数， 使、 、、四点共面，故B错误； 对于C：设平面与平面的法向量分别为：，， 可得，令，则，故， ，而 、、三点不共线，故， 若使等式成立，则，故， ，故C正确； 对于D：令直线与平面所成角为，则： ， 若要证明，只需证：， 只需证：， 只需证：， 而二次函数的判别式， 故，命题得证，故直线与平面所成角一定不大于， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线与曲线在处的切线垂直，则实数_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求得和，得到和，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 所以和， 因为曲线与曲线在处的切线垂直，可得， 即，解得. 13. 如果随机变量，且，那么____________. 【答案】##. 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为该正态分布曲线关于对称， 所以， 故答案为：. 14. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为________（用分数表示或者保留三位小数）. 【答案】0.024## 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故答案为：0.024或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求； （2）当时，求实数的值． 【答案】（1）2 （2）0 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的加减运算法则，先求出与的坐标，再利用空间向量数量积的坐标运算公式，计算它们的数量积即可； （2）根据两向量平行的坐标表示，设存在实数使得 ，根据对应坐标相等列方程组，求解参数即可． 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 ， ， 因为 ，所以存在实数，使得， ，解得 是唯一解，故 ． 16. 设，函数． （1）若函数有大于零的极值点，求实数a的取值范围； （2）若函数在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求导函数的零点，再根据极值点为正数，解不等式求解； （2）首先求函数的导数 ，求函数为单调函数时得到取值范围，再求其补集. 【小问1详解】 ，当时，恒成立，函数单调递增，不存在极值点， 当时，，为一次增函数，也不存在极值点， 若函数有大于零的极值点，则， 令 ，得 ， 则 ，得，解得； 【小问2详解】 ，， ，若函数是单调函数， 则 或 恒成立， 即或，则或， 所以在其定义域上不是单调函数，则. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF，结合四边形ABCD为矩形可得为BD的中点，根据平面AEC可得，进而求证即可； （2）方法一：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而得到，进而得到平面PAD，在平面PAD内作，垂足为G，连接GC，可得，进而得到是二面角的平面角，进而求解即可； 方法二：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量求解即可. 【小问1详解】 连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF， 四边形ABCD为矩形，为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF，， 又点F是BD的中点，点E是棱PD的中点. 【小问2详解】 方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，， 则就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得． 四边形ABCD为矩形，， 又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD， 如图，平面PAD内作，垂足为G，连接GC，则， 是二面角的平面角． 在直角三角形PAD中，，点E是PD的中点， ，且 平面PAD，平面PAD，，故， 二面角的平面角的正切值为． 方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD， ，则就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故 解得，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故， 则，即， 所以二面角的平面角的正切值为． 18. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【小问1详解】 由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． 【小问2详解】 设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． 【小问3详解】 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）试讨论的单调性； （3）若，存在两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2）时，在上单调递减． 时，在上单调递增，在，上单调递减． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先代入求出函数表达式，算出得切点坐标，再求导得出即为切线斜率，最后用点斜式写出切线方程． （2）先求导并整理分子为二次函数，通过判别式判断二次函数符号，结合定义域分与讨论，再根据根的正负确定符号，从而得出单调区间． （3）由极值点得韦达定理关系，化简差商表达式，将待证不等式转化为单变量不等式，构造函数并利用导数判断单调性，结合端点值完成证明． 【小问1详解】 当时， ，， 因为 ， ， 所以曲线在点处切线的方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令 ， ， ①当，即时， 对所有恒成立（仅当或，在某一点取等号）， 所以 （仅在个别点取等号）， 所以在上单调递减． ②当，即或时， 若，的两根之和，两根之积， 所以的两根均为负数，所以在时， ， 所以在上单调递减． 若，两根之和，两根之积， 所以的两根均为正数，即，（）， 所以时， ，单调递减； 时， ，单调递增； 时， ，单调递减； 综上，时，在上单调递减． 时，在上单调递增，在，上单调递减． 【小问3详解】 有两个极值点，所以（由（2）知）， 是方程 的两根，，， ， 所以 要证，需证，即证， 因为时，故只需证， 由，不妨设，令， 则， 要证，即证，， 令，， ， 所以在上单调递减， 所以 ，即 ， 所以原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $