数学（全国一卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】因为，又， 所以或. 2．已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】一方面，若，由可得， 此时， 则为、的等差中项， 所以“”“为、的等差中项”； 另一方面，若为、的等差中项，所以， 所以，解得， 故“”“为、的等差中项”. 所以“”是“为、的等差中项”的充要条件. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 又， 即，，故. 4．（热点）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设女生的及格率为， 由全概率公式可知， 解得． 5．（改编题）设函数，其中，若存在常数使对任意的实数都有，则可取到的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由存在常数使对任意的实数都有， 所以，又， 所以，所以，即， 所以，所以，即， 所以，即， 所以，又，所以当时，. 6．已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】设，，有，即， 由直线与椭圆切于点， 则，即， 由为点关于圆的切点弦，则， 故，故， 则. 7．已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 8．若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由，得． 设函数，则，则在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的零点，且． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，当时，． 作出的大致图象，如图所示，直线的斜率大于0，在轴上的截距为， 由图可知，的最小值为1，此时． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（热点）设复数满足，则（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】设，则， 即有， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，由，，则椭圆方程为； 对A：，故A正确； 对B：，要使得为纯虚数， 则且，则，解得， 有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，，即有， 解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心， 为半径的圆，则椭圆上的点到该圆圆心的距离为： ， 则的最小值为，故D错误. 10．如图，已知正方体的棱长为2，则（    ） A．直线与所成夹角的余弦值为0 B．直线与所成夹角的余弦值为 C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【详解】以为原点，为 轴，为 轴，为 轴，正方体棱长为 2， 则； ，， ，A错误，B正确. 直角中，，其面积为2，直角中，，其面积为2， 直角中，，其面积为2，中，，其面积为， 所以三棱锥的表面积为，C正确. 三棱锥 可补形为正方体，其外接球与正方体外接球相同： 正方体棱长为 2，体对角线为​，即外接球直径​，，​ 表面积为，D正确. 11．（改编题）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BCD 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B,由题意可得,B正确， 对于C, 第48行的所有数字之和为 ,由于能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D,第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为， 第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为 则此数列前135项的和为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 【答案】36 【详解】由题意，设的百位数字为，的百位数字为， 因为的百位数字比的百位数字大3， 所以在中，满足条件的只有组：，，， 因为，所以的十位数字比的十位数字小， 假设剩余的个数字为、、、，且， ①若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ②若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ③若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， 综上所述，满足条件的、共有种. 13．在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为成等差数列，即， 则，， 所以，即，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 14．已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则__________． 【答案】 【详解】由已知可得圆心，半径， 因为，是圆的切线，，为切点， 根据切线性质得：，，即， 所以点，在以线段为直径的圆上，即是圆和以为直径的圆的公共弦， 根据两圆公共弦的性质可得：且平分， 又，所以，所以， 在中，，， 设与交点为，在中，， ， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以.（5分） （2）由，得， 所以（当且仅当，即为等边三角形时取等号）. （7分） 所以. 所以面积的最大值为.（13分） 16．（15分） 某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 【答案】(1) 0 1 2 3 ； (2)元． 【详解】（1）根据题意知，η的所有可能取值为0，1，2，3，（2分） 所以， ， ， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以；（5分） （2）根据题图可得， ， , 代入回归方程得，所以.（8分） 设获得的利润为元，则, 整理得，其中， 故当时，利润有最大值. （15分） 17．（15分） 在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则，又为的中点，则. 取的中点，显然有. 因为，则在中，， 由余弦定理可得，（4分） 可得，所以， 所以，，，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面（7分） （2）如图所示，连接，因为，所以， 由（1）可知，两两相互垂直， 则以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则，（9分） 故. 记在上的射影点为， 设， 可得， 则，即，解得， 因为，且，所以； 所以存在符合题意，且.（15分） 18．（17分） 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在定点 【详解】（1）设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为．（3分） （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6．（13分） （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值．（17分） 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点； (3)若在上有零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)2 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，函数，其定义域为，求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3分） （2）当时，， 设，， 1°当时，， 易知，且时，，时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故1为的极大值点， 而， ， 则存在，使，即应为的另一极值点，故时不成立；（5分） 2°当时，，则， ① 当时，，恒成立， 所以在上单调递减， 又，，所以在内存在唯一零点， 即在内存在唯一极值点；（7分） ② 当时，，所以，则， 故在上单调递减，无极值； ③ 当时，，则， 故在上单调递减，无极值.. 故符合要求. 综上，正整数的最小值为2，使存在唯一的极值点. （13分） （3）在上有零点，所以， 即有实数根， 设在上的零点为，则， 则点为直线上一点， 所以表示点到原点的距离，显然，该距离不小于原点到直线的距离， 即，即， 不妨设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即.（17分） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 2．已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（热点）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（   ） A． B． C． D． 5．（改编题）设函数，其中，若存在常数使对任意的实数都有，则可取到的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（热点）设复数满足，则（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 10．如图，已知正方体的棱长为2，则（    ） A．直线与所成夹角的余弦值为0 B．直线与所成夹角的余弦值为 C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 11．（改编题）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情境）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 13．在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________. 14．已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； 16．（15分） 某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 17．（15分） 在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点； (3)若在上有零点，求证：. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 B C D D C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC BCD BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.36 13.3 14.5 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)由(a+b+c(a-b+c=3ac→(a+c2-b2=3ac→a2+c2-b2=ac 由杂地定8“少票行且8为三角附内角，所以8-号5分》 3 (2)由b=2,a2+c2-b2=ac得ac=a2+c2-4≥2ac-4, 所以ac≤4（当且仅当a=c=2,即ABC为等边三角形时取等号）.(7分) 所以Sc-)acsin Bx4 xsin=V5 2 2 所以ABC面积的最大值为√5.(13分) 16.(15分) 【详解】(1)根据题意知，的所有可能取值为0,1,2,3，(2分) 所以Pn-0-号 xx4144112 5455455455 1/7 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 114.131.41111 P(n=2)=×,×+×2×。+2××= 545545545100 1111 P(n=3)=×2×÷= 545100 所以的分布列为： 0 1 2 3 12 2 11 1 25 100 100 所以E11-0号+1+2× (5分) 25 10 +3x,113 10020: (2)根据题图可得， 7=52+56+58+62+64+68=60, 6 x-3650+3680+3700+3720+3780+3820-3725, 6 代入回归方程得à=7-(-0.1)×X=60+3725×0.1=432.5,所以氵=-0.1X+432.5.(8分) 设获得的利润为W元，则W=（-0.1X+432.5)(X-3605), 整理得W=-0.1X2+793X-432.5×3605,其中X>0, 故当X=7930 2 3965时，利润有最大值.(15分) 17.(15分) 【详解】(I)在ABC中，由余弦定理可得AB=√AC2+CB2-2 AC.CB-cosC= 元 16+4-2×4×2×cos =25, 3 1 则AB⊥BC,又M为AC的中点，则MA=MB=MD=DB= 4C2 取BM的中点O,显然有OD⊥BM B 因为MB=MC=BC,则在△AM0中，∠AMO=120°， 由余弦定理可得A0=AM2+M02-2AM·M0-cos∠AM02 -4+1-2x2x1xo32=5,（4分) 可得DA2=OD2+OA2,所以OD⊥OA, 所以OD⊥OA,OD⊥BM,OAn BM=O，,AOC平面ABM,BMC平面ABM, 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以OD⊥平面ABM,因为ODc平面DMB, 所以平面DMB⊥平面ABM(7分) (2)如图所示，连接OC,因为MB=MC,所以OC⊥MB, 由(1)可知，MB,0C,0D两两相互垂直， 则以O为坐标原点，以0B,0C,0D为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， D M 则C(0,5,0,B(1,0,0,M(-1,0,0),A-2,-5,0,D0,0,5，(9分) 故MA=（-1,-5,0,MD=1,0,5,AB=(3,V5,0 记P在DM上的射影点为Q, 设AP=1AB,MQ=μMD, 可得P0=M0-MA-AP=μ+1-32，N5-V52,V5u, PO.MA=0 「-（μ+1-32）-V53-V3=0 ，即 PO.MD=0 u+1-3)+5(N5μ=0 解得元= 因为亚-B,且B=25,所以AP=10 7 所以存在P符合题意，且AP=105（15分) 7 18.(17分) 【详解】(1)设C的焦距为2c,则c2=a2+b2.当直线P2垂直于x轴时， 将代入C的方程得号茶1，辩得y=± 所以Pg=2b,又aF1=a+c, 所以△P0的面积为PQHF-2(a+d小， 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 b2 (a+c=9 a a=1 由 C=2 ,解得 b=5, a a2+b2=c2 c=2 所以C的方程为x-上=1.(3分) 3 YA (2)由(1)知F(2,0),易知直线PQ斜率不为0， 设直线PQ:x=my+2,P(x,y),Q(x2,y2). 由+2，得3m2-少+12m+9=0, 由 12m 9 y+h=3m-%=3r2- 易知4<0，所以m2< 31 12m）2 4x、9=6V+m 13m2-1 3m2-1-1-3m2 设p=+网25 6p 6 ，则So04-3p24-3D 因为函数y= 4-3p在1 2W3 上单调递减， 3 所以当P=1时，y=4-3p取得最大值，最大值为1， 6 26 则5.e4-3p ，所以△P0Q面积的最小值为6.(13分) (3)假设存在，不妨设T(t,0, 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则TP.T0=(x-)(2-t)+yy2 =(my+2-t)(y2+2-t)+yy2 =(m2+1yy2+(2-)m(y+y2)+(2-)2, 将为和号代入 9 可0-”2-2小2- （12-15m2+9+2-t, 3m2-1 若严.70为定值，则12-15-9 3 Γ-1 解得t=-1,此时TP.Tg=0, 所以x轴上存在定点T(-1,0),使得TP.T0为定值.(17分) 19.(17分) 【详解】（1)当c=0时，函数f(x)=nx-a,其定义域为0，+m小，求导得f(=-a, 当a≤0时，f'(x)>0在(0，+o)上恒成立，所以f(x)在(0，+o)上单调递增 当a>0时，令fx=0,解得x=, a 当xe0》时.f>0,审f在 上单调递增： 当e合+时，到0f到在日r 上单调递减， 综上，当a≤0时，fx)在(0，+o）上单调递增： 当a>0时，八到在0月上单调递增，有 (2)当c=时，fx)=sinx+n-ax, 2 设p(x)=f(x)=cos π）1 x+--a,x>0, 2 x 易知9=0，且xe(0,则时，p(x)=fx>1-1>0,xe1,2时，p(x)=f(x)<1-1<0, 则f(x)在(0，)上单调递增，在1,2)上单调递减，故1为f(x)的极大值点， 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 而p(2)=f(2)=7cosr+}-1=-元1 <0， 2 2 22 p(4)=f'(4)=7c0s2x+1-1=元_3-2π-3 >0, 4 244 则存在x∈(2,4)，使p(x)=f'（)=0,即x应为f(x)的另一极值点，故a=1时不成立；(5分) ①当0时m行小0,0相立 所以px)在(0,2上单调递减， 又)-0,9=-1<0，所以0国在0内行在唯零点 即f(x)在(0,2内存在唯一极值点x;(7分) @当e23时，子，所以-1<e行小k0,则o到=f1到士2分-2<0 故f(x在(2,3)上单调递减，无极值： ③当re时，经则ps号+2号号2-。00， 2x 6 故f(x在3，+o)上单调递减，无极值. 故a=2符合要求 综上，正整数a的最小值为2，使f(x)存在唯一的极值点.(13分) (3)gx)在(0，+o）上有零点，所以gx)=e-ax-bsinx=0, 即ar+bsinx-e=0有实数根， 设g(x)在(0，+o）上的零点为t>0,则at+bsint-e'=0, 则点(a,b)为直线x+ysint-e'=0上一点， 所以√a2+b2表示点(a,b)到原点的距离，显然，该距离不小于原点到直线x+ysint-e'=0的距离， 即Va2+b2≥ e e21 etsin 即a2+62P+sin 不妨设ut)=sint-t,t>0,则u(t)=cost-1≤0， 所以函数u(t在(0，+o）上单调递减，则ut=sint-1<u(0=0, 6/7 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即511，又me-训，剥a+b产f>7示· e e2r e2r 设若r0则n--e 令v'(<0,得0<t<1,令v'()>0,得t>1, 所以函数v()在(0，上单调递减，在(1，+0)上单调递增， 则2-氵即G+6>号17分) 7/7■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： ! 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C[D] 6[A[B][C[D] 3[A][B][C[D] 7[A][B[C[D] 謀 4[A][B][C[D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A][B][C[D] 11 [A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 带 12 知 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D A<M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 2．已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（热点）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（   ） A． B． C． D． 5．（改编题）设函数，其中，若存在常数使对任意的实数都有，则可取到的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（热点）设复数满足，则（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 10．如图，已知正方体的棱长为2，则（    ） A．直线与所成夹角的余弦值为0 B．直线与所成夹角的余弦值为 C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 11．（改编题）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情境）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 13．在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________. 14．已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； 16．（15分） 某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 17．（15分） 在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点； (3)若在上有零点，求证：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $