精品解析：浙江省杭州市公益中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

杭州市公益中学2025学年第二学期期中阶段性质量检测 七年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 如图，与是一对（ ） A. 对顶角 B. 同旁内角 C. 内错角 D. 同位角 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对顶角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 5. 已知是方程的一个解，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知是关于的二元一次方程组，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如果，那么的值不能取（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 9. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（ ） A. B. C. 140° D. 145° 10. 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 不论k取什么实数，的值始终不变 D. 当时，方程组的解也是方程的解 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）． 11. 计算：______． 12. 已知是关于的二元一次方程，则__________ 13. 若，则___________． 14. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为___________． 15. 若，，，为正整数，求___________． 16. 如图，已知长方形纸片，，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为___________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） （3） 19. 如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 20. 按要求完成下列计算： （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 21. 小颖和小超同做一道题：已知，求，的值． 小颖的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小超的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于，的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小颖或小超的思路（选一种方法）分别求出，的值． （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值． 22. 用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种 无盖纸盒． （1）若仓库里有2000张长方形纸板和1000张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ （2）仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，且两种纸板恰好用完，小汪同学认为的值可以是225，小葛同学认为的值可以是226，判断哪位同学说法是正确的，并说明理由． 23. 有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积． （1）请用图1中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系． （2）利用第（1）中的结论：若，求的值； （3）如图2所示，是线段的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． （4）若实数满足，求代数式的值． 24. 如图1，，平分交于点，且． （1）若，且，求的度数． （2）过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点． ①如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由． ②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市公益中学2025学年第二学期期中阶段性质量检测 七年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 如图，与是一对（ ） A. 对顶角 B. 同旁内角 C. 内错角 D. 同位角 【答案】B 【解析】 【详解】解：与是一对同旁内角． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，进行运算即可. 【详解】解：原式== 故选C. 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的性质，掌握性质是解题的关键.. 3. 如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．根据点到直线的距离，垂线段最短分析即可． 【详解】解：图中过点到直线的所有线段中，， 最短的一条是， 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对顶角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角性质，垂线的性质，平行线的判定，点到直线距离的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等， ∴选项A说法正确； ∵只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项B未添加“同一平面内”的前提， ∴选项B说法错误； ∵只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项C未添加“同一平面内”的前提， ∴选项C说法错误； ∵从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是垂线段本身， ∴选项D说法错误． 5. 已知是方程的一个解，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴ ∴． 6. 已知是关于的二元一次方程组，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】把方程组的两个方程相加可得，从而得到，再求出的值即可． 【详解】解：， 由，得， 解得，， ∴． 7. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 8. 如果，那么的值不能取（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】把各选项m的值分别代入验证即可． 【详解】解：A．把代入得，不符合题意； B．把代入得，不符合题意； C．把代入得，不符合题意． D．把代入得，符合题意． 9. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（ ） A. B. C. 140° D. 145° 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ． 10. 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 不论k取什么实数，的值始终不变 D. 当时，方程组的解也是方程的解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，解出关于和的方程组，将解用表示，再逐一代入选项验证即可． 【详解】解∶解方程组，得方程组的解为， 当时，，，，故选项A不符合题意； 若，代入得：， 解得，故选项B不符合题意； ，与无关，始终为1，故选项C符合题意， 当时，，，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. 已知是关于的二元一次方程，则__________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， 且， ∴． 13. 若，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用平方差公式对已知条件变形，得到的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：设， 则，， 由题意得， ∴， 即， ∴． 14. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意和平移的性质得到和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∴阴影部分的面积． 15. 若，，，为正整数，求___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将所求代数式根据同底数幂的乘法法则拆分，再结合幂的乘方法则将已知条件代入变形即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 16. 如图，已知长方形纸片，，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为：． 18. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先求出的度数，再证明，最后根据平行线的性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 20. 按要求完成下列计算： （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），10 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ∵ ∴原式； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ， ． 21. 小颖和小超同做一道题：已知，求，的值． 小颖的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小超的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于，的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小颖或小超的思路（选一种方法）分别求出，的值． （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）分别根据小颖和小超的思路进行运算求解即可； （2）分别根据小颖和小超的思路进行运算求解即可． 【小问1详解】 解：小颖的思路：， ∴，； 小超的思路： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴ 联立得， 解得； 【小问2详解】 解：选用小颖的思路： ∵ ∴ ∴ 解得； 选用小超的思路： 把代入可得：， ∴； 把代入可得：， ∴， ∴． 22. 用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种 无盖纸盒． （1）若仓库里有2000张长方形纸板和1000张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ （2）仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，且两种纸板恰好用完，小汪同学认为的值可以是225，小葛同学认为的值可以是226，判断哪位同学说法是正确的，并说明理由． 【答案】（1）横式纸盒做400个，竖式纸盒做200个 （2） 小汪同学说法是正确的，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍， ∵225是的整数倍，226不是的整数倍， ∴的值可以是225，不可以是226． 【解析】 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完2000张长方形纸板和1000张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【小问1详解】 解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做400个，竖式纸盒做200个； 【小问2详解】 解：略． 23. 有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积． （1）请用图1中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系． （2）利用第（1）中的结论：若，求的值； （3）如图2所示，是线段的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． （4）若实数满足，求代数式的值． 【答案】（1） （2）13 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据4个小方块的面积与大正方形的面积相等求解即可； （2）根据（1）中的结论，利用完全平方公式的变形求解即可； （3）设，，依题意，，连接，根据，即可求解； （4）设，，根据，得出，，利用完全平方公式的变形即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：设，，依题意，， 连接， ∴阴影部分面积为： ， ∴； 【小问4详解】 解：设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图1，，平分交于点，且． （1）若，且，求的度数． （2）过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点． ①如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由． ②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）． 【答案】（1） （2）①，理由如下： ∵， ∴， 设，则， ∵， ，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， 过点作直线，如图： ，， ， ∵， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据平行线的性质得，，再根据角平分线的性质得，即可求解； （2）①设，则，根据平行线的性质得，，根据角平分线的性质得，，过点作直线，得到，即可得出结论； ②分两种情况：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ，， ，， ∵平分， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②当点在点右侧时，过点作，如图： 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ，， ， ∵， ∴； 当点在点左侧时，如图，在延长线上取点K， 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∵， ， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $