专题14 反证法（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题14 反证法 方法讲解 一、核心概念 反证法是一种间接证明方法，不从已知条件直接推导结论，而是先假设结论不成立，由此推出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果，从而说明假设错误，原命题成立。 二、适用范围 1.证明 “唯一性” 命题（如：过一点有且只有一条直线与已知直线平行） 2.证明 “否定性” 命题（如：一个三角形中不能有两个直角） 3.证明 “至多、至少” 类命题 4.直接证明难度大、条件较少的几何命题 5.简单数论类证明（如证明一个数是无理数等） 6.几何中平行线、相交线、三角形内角相关证明 三、常用反证类型 1. 否定结论型 对结论直接进行否定假设，推出矛盾。 2. 唯一性证明型 假设存在两个不同对象，推出矛盾从而证唯一。 3. 至少/至多型 假设 “至少 n 个” 不成立，即 “至多 n-1 个”，再推导矛盾。 4. 存在性证明型 假设不存在，推出与已知事实矛盾。 四、通用解题步骤 1.提出反设：假设命题的结论不成立； 2.逻辑推理：从反设出发，结合已知条件进行严谨推导； 3.导出矛盾：推出与定义、定理、已知或假设自相矛盾的结果； 4.否定反设：由矛盾判定假设不正确； 5.肯定结论：从而肯定原命题成立。 五、重点注意事项 1.反设必须准确否定结论，不能漏否定、多否定或错否定； 2.推导过程必须严谨有据，不能主观臆断； 3.矛盾可以是与已知矛盾、与定理矛盾、自相矛盾等； 4.反证法多用于证明题，一般不适用于纯计算题型； 5.初中阶段只要求简单应用，不涉及复杂逻辑结构。 六、常考典型应用 1.证明：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 2.证明：一个三角形中不能有两个钝角或两个直角； 3.证明：两直线平行，同位角相等（逆命题类证明）； 4.证明某些线段或角度关系无法成立； 5.简单 “至少有一个”“不可能同时” 类命题。 典型例题 【例1】牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设________． 【答案】 【分析】本题考查反证法，熟记反证法的解题步骤是解决问题的关键． 根据反证法的解题步骤，首先要否定结论，结合题目所给结论直接否定即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设， 故答案为：． 【例2】反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 【答案】C 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，然后进行判断即可，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于， 故选：C． 【例3】反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键．反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 【例4】数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 【答案】同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【详解】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行， 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线， 这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键． 【例5】当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理， 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果， 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确． (1)阅读正文并解答下列问题： 如图1，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若， 如图2，在内部作，交于点D． ∵， ∴； ∴， ∵ 即：， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立： ②若， ··· 综上，． 请你补充②中所缺失的部分 (2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______． (3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直． 【答案】(1)见解析 (2)三角形的三个内角中，三个内角都大于 (3)见解析 【分析】本题主要考查了反证法，菱形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知反证法是解题的关键． （1）若，则，这与已知相矛盾，据此证明即可； （2）反证法第一步应假设结论不成立，即应假设三角形的三个内角中，三个内角都大于； （3）假设线段与垂直，根据三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，线段与垂直，则四边形是菱形，可得，进而得到，这与均不相等矛盾，据此可证明结论． 【详解】（1）解：若，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立： 综上，． （2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于； （3）证明：假设线段与垂直， ∵点D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵线段与垂直， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，这与均不相等矛盾， ∴假设不成立， ∴线段与不垂直． 基础过关 1．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设______． 【答案】是直角三角形． 【分析】本题考查的是反证法，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时， 第一步应假设：是直角三角形， 故答案为：是直角三角形． 2．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 【答案】；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】解：证明：假设 ∵， ∴， ∴， 这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾． ∴此假设不成立． ∴， 故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 3．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 4．反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得， 又因为，这样直线、都过点N， 这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，． 5．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【答案】(1)是一个有理数 (2)见解析 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握反证法是解此题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）仿照（1）中所给例子证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得：先假设是一个有理数； （2）证明：假设是一个有理数， 则存在互素的整数、，使得， ∴ 两边平方得： ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是整数， ∴是有理数，但已知是无理数，矛盾， 故假设错误， 故是无理数． 6．（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点． 求证： 证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）如图3，已知，求的度数． 解： ____________（   ） 又 又 =（   ） （   ） 【答案】（1）；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）；；全等三角形对应角相等；；；；；；三角形外角的性质；；；全等三角形对应角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质，平行线的唯一性，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意先假设，过点N画一条直线，使得，则可证明，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得矛盾点，据此求解即可； （2）根据全等三角形对应角相等得到，则可求出的度数，再由三角形外角的性质和已知条件求出的度数，则可根据全等三角形的性质得到答案． 【详解】（1）证明：假设，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得，又因为，这样直线都过点N，这与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）解： （全等三角形对应角相等） 又 ， 又（三角形外角的性质） （全等三角形对应角相等） 7．下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 【答案】C 【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可． 【详解】A. 由反证法的一般步骤可以得出这种证明方法叫反证法，故本选项正确； B. 反证法是一种间接的证明方法，故本选项正确； C. 是无理数，但不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项错误； D. 是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项正确． 故选：C 【点睛】此题主要考查了反证法及无理数，正确把握反证法的一般步骤是解题关键． 8．（1）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数” ． 阅读材料：“无理数”的由来．为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数，a与b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 请你也试着用反证法，说明是无理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数，a与b互素且）， 则 两边同时平方得： ， 所以： ， 因为： ． 所以：是一个无理数． （2）判断下面的说法是否正确．正确的打 “√”，错误的打“×”． ①任意两个无理数的和还是无理数．（    ） ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数．（    ） （3）如果，其中、为有理数，求、的值． 【答案】（1）；； a、b是整数，，所以为有理数．而是无理数，与前面假设矛盾 （2）① ×；②√                                              （3） 【分析】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． （1）仿照题干方法进行证明即可； （2）根据无理数的定义判断即可； （3）整理后，根据对应部分相等列式求解即可． 【详解】解：（1）假设是一个有理数． 则（a、b是整数，a与b互素且）， 则 两边同时平方得：， 所以：， 因为：a、b是整数，，所以为有理数．而是无理数，与前面假设矛盾． 所以：是一个无理数． （2）①任意两个无理数的和还是无理数不正确，如：是有理数． 故答案为：×； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，正确． 故答案为：√； （3）∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 9．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 【答案】见解析 【分析】假设不大于，即或，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质分别证明假设不成立，由此得出原命题成立． 本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键． 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 证明：假设不大于，即或． 当时，，这与已知条件相矛盾； 当时，如图，在边上截取， 则， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 即， 这与已知条件相矛盾； 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ∴， 即在三角形中，大角对大边． 能力提升 1．在中，．求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．先假设，由等边对等角求得，推出，与三角形内角和定理等于相矛盾，即可证明假设不成立，推出结论成立． 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与三角形内角和定理等于相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 2．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 【答案】见解析． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，进而证明即可解答． 【详解】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图， ∵， ∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立， ∴原命题正确． 【点睛】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】此题考查了反证法，完全平方公式，假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），证明出为奇数，与为偶数矛盾，即可证明． 【详解】解：假设m不是偶数，则m为奇数， 设（n为整数），则． 因为为偶数， 所以为奇数，与为偶数矛盾， 所以假设不成立，故m为偶数． 4．求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角．（画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明．） 【答案】见解析 【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可． 【详解】已知：如图，△ABC 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，则∠A+∠B>180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立， 所以原命题正确． 【点睛】此题主要考查了反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 拓展拔高 1．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是反证法，熟知等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 假设是钝角或直角，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行证明即可． 【详解】证明：假设是钝角或直角． ∵，是底边上的高， ∴． ∵是钝角或直角， ∴，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立， ∴是一个锐角． 2．用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】直接利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【详解】证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，假设它是直角三角形， 则，由勾股定理可知，三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，这与题给信息不符合． 所以假设错误， 所以如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的一般步骤是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 反证法 方法讲解 一、核心概念 反证法是一种间接证明方法，不从已知条件直接推导结论，而是先假设结论不成立，由此推出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果，从而说明假设错误，原命题成立。 二、适用范围 1.证明 “唯一性” 命题（如：过一点有且只有一条直线与已知直线平行） 2.证明 “否定性” 命题（如：一个三角形中不能有两个直角） 3.证明 “至多、至少” 类命题 4.直接证明难度大、条件较少的几何命题 5.简单数论类证明（如证明一个数是无理数等） 6.几何中平行线、相交线、三角形内角相关证明 三、常用反证类型 1. 否定结论型 对结论直接进行否定假设，推出矛盾。 2. 唯一性证明型 假设存在两个不同对象，推出矛盾从而证唯一。 3. 至少/至多型 假设 “至少 n 个” 不成立，即 “至多 n-1 个”，再推导矛盾。 4. 存在性证明型 假设不存在，推出与已知事实矛盾。 四、通用解题步骤 1.提出反设：假设命题的结论不成立； 2.逻辑推理：从反设出发，结合已知条件进行严谨推导； 3.导出矛盾：推出与定义、定理、已知或假设自相矛盾的结果； 4.否定反设：由矛盾判定假设不正确； 5.肯定结论：从而肯定原命题成立。 五、重点注意事项 1.反设必须准确否定结论，不能漏否定、多否定或错否定； 2.推导过程必须严谨有据，不能主观臆断； 3.矛盾可以是与已知矛盾、与定理矛盾、自相矛盾等； 4.反证法多用于证明题，一般不适用于纯计算题型； 5.初中阶段只要求简单应用，不涉及复杂逻辑结构。 六、常考典型应用 1.证明：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 2.证明：一个三角形中不能有两个钝角或两个直角； 3.证明：两直线平行，同位角相等（逆命题类证明）； 4.证明某些线段或角度关系无法成立； 5.简单 “至少有一个”“不可能同时” 类命题。 典型例题 【例1】牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设________． 【例2】反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 【例3】反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【例4】数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 【例5】当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理， 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果， 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确． (1)阅读正文并解答下列问题： 如图1，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若， 如图2，在内部作，交于点D． ∵， ∴； ∴， ∵ 即：， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立： ②若， ··· 综上，． 请你补充②中所缺失的部分 (2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______． (3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直． 基础过关 1．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设______． 2．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 3．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 4．反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 5．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 6．（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点． 求证： 证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）如图3，已知，求的度数． 解： ____________（   ） 又 又 =（   ） （   ） 7．下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 8．（1）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数” ． 阅读材料：“无理数”的由来．为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数，a与b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 请你也试着用反证法，说明是无理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数，a与b互素且）， 则 两边同时平方得： ， 所以： ， 因为： ． 所以：是一个无理数． （2）判断下面的说法是否正确．正确的打 “√”，错误的打“×”． ①任意两个无理数的和还是无理数．（    ） ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数．（    ） （3）如果，其中、为有理数，求、的值． 9．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 能力提升 1．在中，．求证：．（用反证法证明） 2．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 3．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 4．求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角．（画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明．） 拓展拔高 1．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 2．用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $