专题13 类比法（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题13 类比法 方法讲解 一、核心概念 类比法是初中数学重要的合情推理思想，通过将两个或两类相似、相近的数学对象进行对比，由已知对象的性质、结构、解法，推测未知对象也具有类似特征，实现由旧知推新知、由熟悉解陌生的学习与解题方法。 二、适用范围 1.数与式的结构类比（整数→分式，整式→根式） 2.运算性质类比（加法→乘法，等式→不等式） 3.平面图形性质类比（三角形→四边形，线段→角） 4.函数性质类比（一次函数→反比例函数→二次函数） 5.解题方法类比（全等→相似，线段最值→面积最值） 6.规律探究、新概念学习、探究型压轴题 三、常用类比类型 1. 结构类比 根据式子、图形的外形结构相似，迁移解法与思路。 2. 性质类比 由一类对象的性质，推测另一类对象的类似性质。 3. 方法类比 将某类题的解题步骤、模型直接迁移到相似题型。 4. 概念类比 通过旧概念理解新概念，如分数→分式，线段距离→点到直线距离。 四、通用解题步骤 1.找相似点：找出新旧知识、两对象之间的共同特征； 2.做迁移联想：联想已知知识的性质、公式、解法； 3.类比猜想：推测未知知识的结论或解题思路； 4.验证修正：检验猜想是否成立，修正错误结论； 5.应用解题：用类比得到的方法解决原题。 五、重点注意事项 1.类比推理不一定保证结论正确，必须验证或证明； 2.注意本质区别，避免机械类比导致错误； 3.类比重在思路启发，不能代替严谨推理与证明； 4.学习新知识时优先使用类比，快速建立知识联系； 5.复杂压轴题常通过简单题型类比，找到突破口。 六、常考典型应用 1.等式性质类比到不等式性质学习； 2.分数运算法则类比到分式运算； 3.三角形性质类比到四边形、多边形性质探究； 4.一次函数研究方法类比到反比例、二次函数； 5.线段最值模型类比解决角度最值、面积最值问题； 6.中考新定义题：用熟悉知识类比理解陌生定义。 典型例题 【例1】阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法——类比思想，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”······ 问题： (1)材料中分式“通分”的依据是 ；“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 ；同时，“类比”实数的分类，你认为分式方程在方程家族中应该是 ； (2)类比解分式方程的思想方法，解方程：=5； (3)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲、乙两组人各自平分钱，已知两组人数相同，相关信息如表： 组别 人数（人） 总金额（元） 甲 乙 试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？ 【例2】类比思想是根据对两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征推测另一事物的相应特征存在的思维活动，类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识． (1)解高次方程的基本思想是“降次”，类比一元二次方程的解法，解方程 (2)解分式方程的基本思想：去分母化为整式方程．类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤，解分式方程； (3)解多元方程的基本思想是“消元”；解高次方程的基本思想是“降次”．类比解二元一次方程组和一元二次方程的方法，解方程组． 【例3】综合与探究不同几何图形的学习有着相通之处，解决相应内容的题目也可以类比借鉴，以下是小景同学应用类比思想学习角和线段部分内容时思考的几个问题． 【认识知识】问题一：已知点、、三点在同一直线上，线段，，点是线段的中点，点是线段的中点，求的长度．小景同学读完题目后，很快画出了图形并得出的长度是8，请你帮助她写出求解的推理过程． 老师告诉小景同学这道题的答案应该有两个，在老师的提醒下，小景同学求出了另一个答案是，综合两种情况最终得到的长度是8或2． 【类比探究】 问题二：，，射线是的平分线，射线是的平分线，求的度数． 类比第一个问题的思考过程，小景同学认为这个问题同样需要进行分类讨论，根据题目要求，她画出了以下两个图形，请帮助她求出图2中的度数． 【拓广探索】 问题三：，，射线是的三等分线，射线是的三等分线，求的度数． 类比前两个问题的方法，小景同学认为这个关于角的三等分线的问题也有类似的解决方法并画出了两个图形，下面是其中一种情况（射线OC在内部时）的图像（图3），请帮助她求出此时的度数，直接写出答案即可． 【例4】阅读与探究 在《实数》中，我们学习了平方根．下表是平方根的部分内容． 平方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说， 如果，那么x叫做a的平方根． 特征 正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 今天我们类比平方根的学习方法学习四次方根． (1)填表与定义 ①填表． 1 x ②结合上述①中表格情况，类比平方根定义，给四次方根下定义：________； (2)思考与归纳 ①探究： 81的四次方根是________；0的四次方根是________； ________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中情况，类比平方根的特征，归纳四次方根的特征：_____ ③总结： 四次方根的特征是由81，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫_____（填正确选项的代码）． A．类比思想 B．类讨论思想 C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 ①______（将结果直接填到横线上）； ②比较大小：______（填“<”或“=”或“>”）． 【例5】（1）求当为何值时，式子的值不大于式子的值，并求出的最小负整数值． （2）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示 方法 正数的平方根可以表示为“” 一个数的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： ①探索定义：填写下表： 1 16 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ②探究性质：的四次方根是______；0的四次方根是______；______（填“有”或“没有”）四次方根． ③类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质______． 基础过关 1.现有一列数：，，，，，，为正整数，规定，，，，，若，则的值为   ． A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019 2.如图，是一根生活中常用的塑料软尺，软尺一面的刻度表示市寸，另一面的刻度表示厘米．小颖观察皮尺发现，两个刻度市寸与厘米之间的关系如下表，根据上面数据写出y与x的函数关系式为________： 市寸 3 6 厘米 5 10 15 20 3.阅读并解决问题：已知，求的值．因为，将两边同时除以a，得，即请解决以下问题． 已知，求的值． 已知，求的值． 已知，求代数式的值． 4．阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 我们知道分式与分数有许多相似之处，因此可以类比分数的概念、基本性质来研究分式的概念、基本性质．我们已经类比分数的基本性质研究了分式的基本性质，下面我们类比分数的有关概念研究分式的有关概念：我们把分子比分母小的分数称为“真分数”；把分子等于或大于分母的分数称为“假分数”；我们可以类比“真分数”和“假分数”的概念定义“真分式”和“假分式”的概念：把分子的次数小于分母次数的分式称为“真分式”，如、…都是真分式；把分子的次数等于或大于分母次数的分式称为“假分式”，如、…都是假分式．我们知道“任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数之和的形式”，同样“任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式之和的形式”． 如：可以把假分式化为真分式．其方法如下： ①； ②． (1)下列分式中，属于真分式的是______________； ①   ②   ③   ④ (2)将假分式化为真分式； 5．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 6．通过类比已知，找到新问题的解决方法，是学会学习的表现． 【提出问题】如图1，，，求证：． 【类比探究】如图2，点A、B均落在格点上，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O． 【类比运用】如图3，点F在 上，，，，求的长． 7．类比探究题：    (1)【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是_________，如图1，直接写出方程的解为_________；不等式的解集为_________；如图2，写出二元一次方程组的解为 ，不等式的解集为_________； (2)【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题． 已知，如图3，函数的图象与x轴的交点为，则方程的解为_________；不等式的解集为_________； (3)【拓展拔高】如图4，函数的图象与过且平行于x轴的直线交于两点，根据图象求： ①方程的解； ②不等式的解集． 8．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 9．在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动， 【观察发现】老师提供了下列一组等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 第n个等式可写为：． 睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：________． 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 【问题解决】 (1)请你补充完整睿明同学发现的公式； (2)请你写出【类比推广】中的第5个等式：_____________；猜想第n个等式：______________，并证明这个猜想； (3)请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于的公式． 能力提升 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 类比思想是我们数学学习中常用的一种思想方法，例如类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． 又例如：∵，∴ 我们类比这个方法，可以求出中x的值 ∵， ∴ ∴或 解得：或 (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：________； (2)请根据前面的定义，求出625的四次方根和的五次方根； (3)仿照上面的例子，求下列x的值： ①     ② 2．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 3．著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． (1)把假分式化为带分式的形式为______； (2)我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当时，y随着x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 4．【问题背景】小明遇到了这样一道试题：如图1，在中，，，，求的面积． 【问题发现】（1）爱动脑的小明用了如下特别思路解决这个问题：如图2，只要将绕点C顺时针旋转，得到．即可得到一个新的直角边长为10的等腰．易知的面积为等腰面积的一半，进而可轻松获得解答，根据小明的方法，可求出的面积为________；（直接写出答案）    小明反思认为：旋转变换的好处是可以重组原有图形中的一些关系．类比小明的做法，请完成下列探究： 【类比探究1】（2）如图3，在四边形中，，，于点M，若，试求四边形的面积． 【类比探究2】（3）如图4，正方形内存在一点E，，，，延长交于点F，试求四边形的面积；    【拓展应用】（4）如图5，在矩形ABCD内，，，点E、F分别在边AB、BC上，，，连接EF，则EF的长为________．（直接写出答案）    5．【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 拓展拔高 1．小华同学在学习了《有理数》和《整式》后得到几个结论： 1°有理数都可以在数轴上表示，有理数的加减乘除运算后都得到有理数； 2°日历上每一天都可以用星期日到星期六表示． 小华类比了一下有理数，设计了只由0，1，2，3，4，5，6组成的“星期数”，“星期数”可以在一个“数圈”上表示（如图①所示），规定了“星期数”的加法运算后，“星期数”通过加减乘除运算后都还是一个“星期数”．          如图①，“星期数”均匀分布在圆圈上，0是“原点”，单位长度为1，顺时针方向为正方向，“星期数”加法例子：如图②，，如图③，，请回答以下问题： （1）类比有理数的相反数的概念和性质，“星期数”3的“相反数”是什么？请说明理由． （2）类比有理数表示4个3相加，得到“星期数”的乘法．（以下的数字都是“星期数”），如果是“星期数”，是否可表示为与的乘积？请说明理由． （3）类比有理数的除法，如果2和6都是“星期数”，那么等于多少？请说明理由． 2．综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用． 【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形（现阶段研究的四边形均为凸四边形），即平行四边形和“筝形”．查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”． 【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题： 名称 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ① ； ② ； （2）证明“筝形”有关对角线的性质（补全结论，并写出完整的证明过程）． 已知：如图1，在“筝形”ABCD中，，对角线和交于点． 求证：_____； 证明： （3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有_____（将所有正确的序号填在横线上）． ①且；②；③且；④． 【迁移应用】如图2在“筝形”中，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值． 3．阅读与思考 下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 类比分式方程的解法求解简单的分式不等式 我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试： 当时，不等式两边都乘，得，即 解得． 当时，不等式两边都乘，得，即 该不等式组无解． 综上所述，分式不等式的解集为． 总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集． 任务： (1)上面小论文中的尝试过程，主要运用的数学思想是 ．（从下列选项中选出两个即可） A．类比思想  B．统计思想  C．分类讨论思想  D．转化思想 (2)请根据论文中的思路方法解分式不等式． 4．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 5．问题背景 如图，图1，图2分别是边长为，a的正方形，由图1易得． 　　　 类比探究 类比由图1易得公式的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式． 解决问题 (1)计算：______； (2)运用完全平方公式计算：； (3)已知，，求的值． 6.【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 7．教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 8．由特殊到一般、类比探究都是数学学习过程中重要的思想和方法，请你结合所学知识完成下列问题． 【特殊思考】 （1）如图1，正方形ABCD中，AE=AF，连接EF，易知BE与DF的数量关系为：BE=DF；BE与DF的位置关系为：BE⊥DF． 【一般问题】 （2）将图1中的三角形AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE与DF的数量关系和位置关系是否发生改变？结合图2，说明理由． 【类比探究】 （3）若将（2）中的正方形变为矩形，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=2AB，AF=2AE，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图3，说明理由． 9．（1）问题发现： 如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______ （2）类比探究： 如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由． （3）类比延伸： 如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 类比法 方法讲解 一、核心概念 类比法是初中数学重要的合情推理思想，通过将两个或两类相似、相近的数学对象进行对比，由已知对象的性质、结构、解法，推测未知对象也具有类似特征，实现由旧知推新知、由熟悉解陌生的学习与解题方法。 二、适用范围 1.数与式的结构类比（整数→分式，整式→根式） 2.运算性质类比（加法→乘法，等式→不等式） 3.平面图形性质类比（三角形→四边形，线段→角） 4.函数性质类比（一次函数→反比例函数→二次函数） 5.解题方法类比（全等→相似，线段最值→面积最值） 6.规律探究、新概念学习、探究型压轴题 三、常用类比类型 1. 结构类比 根据式子、图形的外形结构相似，迁移解法与思路。 2. 性质类比 由一类对象的性质，推测另一类对象的类似性质。 3. 方法类比 将某类题的解题步骤、模型直接迁移到相似题型。 4. 概念类比 通过旧概念理解新概念，如分数→分式，线段距离→点到直线距离。 四、通用解题步骤 1.找相似点：找出新旧知识、两对象之间的共同特征； 2.做迁移联想：联想已知知识的性质、公式、解法； 3.类比猜想：推测未知知识的结论或解题思路； 4.验证修正：检验猜想是否成立，修正错误结论； 5.应用解题：用类比得到的方法解决原题。 五、重点注意事项 1.类比推理不一定保证结论正确，必须验证或证明； 2.注意本质区别，避免机械类比导致错误； 3.类比重在思路启发，不能代替严谨推理与证明； 4.学习新知识时优先使用类比，快速建立知识联系； 5.复杂压轴题常通过简单题型类比，找到突破口。 六、常考典型应用 1.等式性质类比到不等式性质学习； 2.分数运算法则类比到分式运算； 3.三角形性质类比到四边形、多边形性质探究； 4.一次函数研究方法类比到反比例、二次函数； 5.线段最值模型类比解决角度最值、面积最值问题； 6.中考新定义题：用熟悉知识类比理解陌生定义。 典型例题 【例1】阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法——类比思想，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”······ 问题： (1)材料中分式“通分”的依据是 ；“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 ；同时，“类比”实数的分类，你认为分式方程在方程家族中应该是 ； (2)类比解分式方程的思想方法，解方程：=5； (3)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲、乙两组人各自平分钱，已知两组人数相同，相关信息如表： 组别 人数（人） 总金额（元） 甲 乙 试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？ 【答案】(1)分式的分子、分母都乘同一个不为0的整式，分式的值不变（或分式的基本性质）；等式的两边都乘同一个数，所得的结果仍是等式（或等式的基本性质）； 有理方程； (2)x=-12 (3)甲组人均分的钱多 【分析】(1)根据分式的基本性质和等式的基本性质解答即可； （2）将方程两边平方转化为整式方程，然后求解，最后必须检验； （3）设甲乙各有a人（a≠0），列代数式通过分式相减与0作比较，易得出答案． 【详解】（1）（1）分式的分子、分母都乘同一个不为0的整式，分式的值不变（或分式的基本性质）； 等式的两边都乘同一个数，所得的结果仍是等式（或等式的基本性质）； 有理方程； （2）（2）=5 方程两边平方，得1-2x=25， x=-12 经检验，x=-12是原方程的解； （3）由甲、乙两组人数相同，设两组各有a人， 则甲组均分元，乙组均分 元 >0, 所以甲组人均分的钱多． 【点睛】本题考查了分式的基本性质和等式的基本性质，列代数式，分式的加减应用等，涉及到了二次根式非负性以及配方法的应用，强调了转化思想在数学中的应用． 【例2】类比思想是根据对两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征推测另一事物的相应特征存在的思维活动，类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识． (1)解高次方程的基本思想是“降次”，类比一元二次方程的解法，解方程 (2)解分式方程的基本思想：去分母化为整式方程．类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤，解分式方程； (3)解多元方程的基本思想是“消元”；解高次方程的基本思想是“降次”．类比解二元一次方程组和一元二次方程的方法，解方程组． 【答案】(1) (2)原分式方程的解为 (3)， 【分析】（1）先移项、然后通过提取公因式和公式法因式分解，最后运用因式分解法求解即可； （2）通过去分母将分式化成整式方程求解，最后检验即可解答； （3）通过代入消元法可得到关于y的一元二次方程，进而求得y的值，然后再将y的值分别代入求得y的值即可解答． 【详解】（1）解： 移项得： 提公因式得： 平方差公式继续分解得： ∴或或 ． （2）解： 去分母得：， 整理得：，解得， 检验：把代入，；把代入，． ∴是增根， ∴原分式方程的解为． （3）解：， 由②得③， 把③代入①，得：， 解得把分别代入③可得：． ∴原方程组的解为，． 【点睛】本题主要考查了解高次方程、解分式方程、解二元二次方程组等知识点，掌握化归思想是解答本题的关键． 【例3】综合与探究不同几何图形的学习有着相通之处，解决相应内容的题目也可以类比借鉴，以下是小景同学应用类比思想学习角和线段部分内容时思考的几个问题． 【认识知识】问题一：已知点、、三点在同一直线上，线段，，点是线段的中点，点是线段的中点，求的长度．小景同学读完题目后，很快画出了图形并得出的长度是8，请你帮助她写出求解的推理过程． 老师告诉小景同学这道题的答案应该有两个，在老师的提醒下，小景同学求出了另一个答案是，综合两种情况最终得到的长度是8或2． 【类比探究】 问题二：，，射线是的平分线，射线是的平分线，求的度数． 类比第一个问题的思考过程，小景同学认为这个问题同样需要进行分类讨论，根据题目要求，她画出了以下两个图形，请帮助她求出图2中的度数． 【拓广探索】 问题三：，，射线是的三等分线，射线是的三等分线，求的度数． 类比前两个问题的方法，小景同学认为这个关于角的三等分线的问题也有类似的解决方法并画出了两个图形，下面是其中一种情况（射线OC在内部时）的图像（图3），请帮助她求出此时的度数，直接写出答案即可． 【答案】问题一：见解析；问题二：或，问题三： ，， ， . 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． 问题一：分两种情况，①当点在线段延长线上时，利用线段中点得出求解即可；②当点C在线段上时，利用线段中点得出求解即可； 问题二：利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； 问题三：先利用三等分线得出或，或，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：问题一：当点C在线段延长线上时，如小景图1， ∵，， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 当点C在线段上时，如小景图2， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故的长度是8或2； （2），，射线是的平分线，射线是的平分线， ，， ①当是外部的一条射线，如图1， ； ②当是内部的一条射线，如图2， ． （3）如图3 ∵，射线是的三等分线， 或， ∵，射线是的三等分线，射线是的三等分线， 或， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，. 【例4】阅读与探究 在《实数》中，我们学习了平方根．下表是平方根的部分内容． 平方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说， 如果，那么x叫做a的平方根． 特征 正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 今天我们类比平方根的学习方法学习四次方根． (1)填表与定义 ①填表． 1 x ②结合上述①中表格情况，类比平方根定义，给四次方根下定义：________； (2)思考与归纳 ①探究： 81的四次方根是________；0的四次方根是________； ________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中情况，类比平方根的特征，归纳四次方根的特征：_____ ③总结： 四次方根的特征是由81，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫_____（填正确选项的代码）． A．类比思想 B．类讨论思想 C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 ①______（将结果直接填到横线上）； ②比较大小：______（填“<”或“=”或“>”）． 【答案】(1)①；②见解析； (2)①，0，没有；②见解析；③D； (3)①；②． 【分析】本题考查的是平方根，立方根的含义，四次方根的含义，理解题意，进行探究性的学习与解决问题是解本题的关键． （1）仿照平方根，立方根的定义可得答案； （2）①根据四次方根的含义求解即可；② 结合平方根的含义总结归纳即可；③ 根据探究的方法可得答案； （3）①求解四次方根即可；②将两数同时四次方后比较大小即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 填表如下： 1 x ②一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的四次方根． 故答案为：如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根．这就是说，如果； （2）①81的四次方根是； 0的四次方根是0； 没有四次方根． 故答案为：，0，没有； ②正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0；负数没有四次方根． 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0；负数没有四次方根 ③四次方根的特征是由81，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫由特殊到一般的思想， 故答案为：D； （3）①， 故答案为： ②∵，， ∴， 故答案为：． 【例5】（1）求当为何值时，式子的值不大于式子的值，并求出的最小负整数值． （2）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示 方法 正数的平方根可以表示为“” 一个数的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： ①探索定义：填写下表： 1 16 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ②探究性质：的四次方根是______；0的四次方根是______；______（填“有”或“没有”）四次方根． ③类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质______． 【答案】（1）-3；（2）①，，；②，0，没有；③一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． 【分析】（1）根据题意列出不等式，解之求出的范围即可得出答案． （2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根． 【详解】解：（1）由题意得， 解得：， 则的最小负整数值为； （2）① 1 16 故答案为：，，； ②探究性质：的四次方根是；0的四次方根是0；没有（填“有”或“没有” 四次方根． 故答案为：，0，没有； ③类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质为：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． 故答案为一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的基本技能和方根的意义． 基础过关 1.现有一列数：，，，，，，为正整数，规定，，，，，若，则的值为   ． A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019 【答案】B 【分析】本题主要考查的是数式规律问题的有关知识，根据条件，，，，，求出，，，由此得出，得出，然后再将进行变形求解即可． 【解答】解：，，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 故选B． 2.如图，是一根生活中常用的塑料软尺，软尺一面的刻度表示市寸，另一面的刻度表示厘米．小颖观察皮尺发现，两个刻度市寸与厘米之间的关系如下表，根据上面数据写出y与x的函数关系式为________： 市寸 3 6 厘米 5 10 15 20 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据表格数据判断出y与x成正比例关系是解题的关键．根据数据的倍数关系可知y与x成正比例函数关系，设，代入一组数据计算即可得解． 【解答】解：设， 则， 解得， 所以，． 故答案为． 3.阅读并解决问题：已知，求的值．因为，将两边同时除以a，得，即请解决以下问题． 已知，求的值． 已知，求的值． 已知，求代数式的值． 【分析】本题考查了分式的化简求值，通过变形换元去求解较为简单． 此题可以仿照例题中求得，再利用完全平方公式进行变形计算； 此题可以仿照先求，然后求得，再求得，同时化简分式，代入即可； 有两种方法可解：一种是由得，，，代入即可； 二种是由两边同时乘以z 得：，代入即可． 【答案】解由得， ； ， 那么， ； 方法一：由得，，，  ；   方法二：由两边同时乘以z 得， 即那么． 4．阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 我们知道分式与分数有许多相似之处，因此可以类比分数的概念、基本性质来研究分式的概念、基本性质．我们已经类比分数的基本性质研究了分式的基本性质，下面我们类比分数的有关概念研究分式的有关概念：我们把分子比分母小的分数称为“真分数”；把分子等于或大于分母的分数称为“假分数”；我们可以类比“真分数”和“假分数”的概念定义“真分式”和“假分式”的概念：把分子的次数小于分母次数的分式称为“真分式”，如、…都是真分式；把分子的次数等于或大于分母次数的分式称为“假分式”，如、…都是假分式．我们知道“任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数之和的形式”，同样“任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式之和的形式”． 如：可以把假分式化为真分式．其方法如下： ①； ②． (1)下列分式中，属于真分式的是______________； ①   ②   ③   ④ (2)将假分式化为真分式； 【答案】(1)③④ (2) 【分析】（1）根据真分式和假分式的定义判断即可得； （2）将分子化为，再进一步计算可得． 【详解】（1）①的分子的次数大于分母次数，不是真分式；    ②的分子的次数等于分母次数，不是真分式；    ③的分子的次数小于分母次数，是真分式；    ④的分子的次数小于分母次数，是真分式； 故答案为：③④； （2）． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及新定义的理解和运用． 5．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 6．通过类比已知，找到新问题的解决方法，是学会学习的表现． 【提出问题】如图1，，，求证：． 【类比探究】如图2，点A、B均落在格点上，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O． 【类比运用】如图3，点F在 上，，，，求的长． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3），详见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点， （1）由得到，根据证，根据全等三角形的性质推出即可； （2）取格点M，N，得，连接交于点O，得，得，，根据，即可得点O就是所求作的点； （3）如图3，延长至点C，使，连接，根据证明，从而可以解答． 解决本题的关键正确作辅助线构建全等三角形． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图2，取格点M，N，连接交于点O， 则点O就是的中点； （3）如图3，延长至点C，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．类比探究题：    (1)【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是_________，如图1，直接写出方程的解为_________；不等式的解集为_________；如图2，写出二元一次方程组的解为 ，不等式的解集为_________； (2)【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题． 已知，如图3，函数的图象与x轴的交点为，则方程的解为_________；不等式的解集为_________； (3)【拓展拔高】如图4，函数的图象与过且平行于x轴的直线交于两点，根据图象求： ①方程的解； ②不等式的解集． 【答案】(1)数形结合思想，，， (2)或1， (3)①方程的解为：或0；②不等式的解集为：或 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数与不等式的解集的关系，涉及了函数思想以及类比思想： （1）利用数形结合思想解答，即可求解； （2）根据题意可得当时，或1，再利用数形结合思想解答，即可求解； （3）①根据题意可得当时，或0，即可求解；②观察图象可得当时，或，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：所含的数学思想是数形结合思想， 观察图象得：当时，， ∴方程的解为； 当时，， ∴不等式的解集为； 观察图象得：当时，函数的图象在的图象的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：数形结合思想，，， （2）解：∵函数的图象与x轴的交点为， ∴当时，或1， ∴方程的解为或1； 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：或1； （3）解：①∵函数的图象与过且平行于x轴的直线交于两点， ∴当时，或0， ∴方程的解为或0； ②观察图象得：当时，或， ∴不等式的解集为或． 8．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】解：（1）； （2） （3） 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的四则混合运算，关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法灵活应用． 9．在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动， 【观察发现】老师提供了下列一组等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 第n个等式可写为：． 睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：________． 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 【问题解决】 (1)请你补充完整睿明同学发现的公式； (2)请你写出【类比推广】中的第5个等式：_____________；猜想第n个等式：______________，并证明这个猜想； (3)请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于的公式． 【答案】(1) (2)；；证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查数字规律和整式的混合运算， （1）将已知的n个等式左右分别相加化简即可得到答案； （2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （3）将已知的等式和总结的第n个等式左右各自相加，并利用多项式的混合运算规律计算即可证明成立． 【详解】（1）解：这n个等式两边分别相加，可得到： ， ， ∴； （2）解：第5个等式为：， 猜想第n个等式： 等式左边为：， 等式右边为：， 则等式左边等式右边 即． （3）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 第n个等式：， 将这n个等式两边分别相加， 左边可以得到 右边可以得到， 则 ． 能力提升 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 类比思想是我们数学学习中常用的一种思想方法，例如类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． 又例如：∵，∴ 我们类比这个方法，可以求出中x的值 ∵， ∴ ∴或 解得：或 (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：________； (2)请根据前面的定义，求出625的四次方根和的五次方根； (3)仿照上面的例子，求下列x的值： ①     ② 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根 (2)， (3)①或；②或． 【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， ∴或 ∴或； ② ∴ ∴ ∴或． 2．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 3．著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． (1)把假分式化为带分式的形式为______； (2)我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当时，y随着x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【答案】(1) (2)增大 (3)和 【分析】本题考查了分式的加减运算，反比例函数的性质： （1）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，再根据反比例函数的性质即可求解； （3）将分式化为带分式，再根据横、纵坐标均为整数确定x的值，进一步确定y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 当时，随着x的增大而增大， 当时，随着x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）解：， 若纵坐标为整数，即为整数，且横坐标为整数，即x为整数， ， 或2， 当时，；当时，， 函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为和． 4．【问题背景】小明遇到了这样一道试题：如图1，在中，，，，求的面积． 【问题发现】（1）爱动脑的小明用了如下特别思路解决这个问题：如图2，只要将绕点C顺时针旋转，得到．即可得到一个新的直角边长为10的等腰．易知的面积为等腰面积的一半，进而可轻松获得解答，根据小明的方法，可求出的面积为________；（直接写出答案）    小明反思认为：旋转变换的好处是可以重组原有图形中的一些关系．类比小明的做法，请完成下列探究： 【类比探究1】（2）如图3，在四边形中，，，于点M，若，试求四边形的面积． 【类比探究2】（3）如图4，正方形内存在一点E，，，，延长交于点F，试求四边形的面积；    【拓展应用】（4）如图5，在矩形ABCD内，，，点E、F分别在边AB、BC上，，，连接EF，则EF的长为________．（直接写出答案）    【答案】（1）25；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由旋转可得，，可求面积，即可求解； （2）由可证， 可得即可求解； （3）由旋转的性质可得，， 由勾股定理可求，可求，由勾股定理可求的长，由面积和差关系可求解； （4）由可证，可得， 通过证明， 可得，可求由勾股定理可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转， 得到， ∴， ， ∴， ∵面积 ∴的面积 故答案为: ； （2）如图，过点D作， 交的延长线于H，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积； （3）如图4， 将绕点D逆时针旋转得到，连接，过点C作于N，      ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ； （4）． 如图5，过点F作，交的延长线于Q，过点Q作，交的延长线于G，交的延长线于H，    ∵， ∴四边形是矩形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， . 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. 5．【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 【答案】（）；（）证明见解析；（）作图见解析， 【分析】（）连接，设交于点，由三角形三边关系可得，进而即可求解； （）由正方形的性质可证，即得，进而由得到，即得到，得到点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上，设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，连接，交半圆于点，可知此时的值最小，点即为所求，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】（）连接，设交于点，如图， 则， ∴， ∴点与点重合时，取得最小值为， 故答案为：； （）证明：在正方形中，，， ， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上， 设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）如图所示，点即为所求， ∵正方形的边长为，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，线段垂直平分线的作法，勾股定理，由题意判断出点的运动轨迹是解题的关键． 拓展拔高 1．小华同学在学习了《有理数》和《整式》后得到几个结论： 1°有理数都可以在数轴上表示，有理数的加减乘除运算后都得到有理数； 2°日历上每一天都可以用星期日到星期六表示． 小华类比了一下有理数，设计了只由0，1，2，3，4，5，6组成的“星期数”，“星期数”可以在一个“数圈”上表示（如图①所示），规定了“星期数”的加法运算后，“星期数”通过加减乘除运算后都还是一个“星期数”．          如图①，“星期数”均匀分布在圆圈上，0是“原点”，单位长度为1，顺时针方向为正方向，“星期数”加法例子：如图②，，如图③，，请回答以下问题： （1）类比有理数的相反数的概念和性质，“星期数”3的“相反数”是什么？请说明理由． （2）类比有理数表示4个3相加，得到“星期数”的乘法．（以下的数字都是“星期数”），如果是“星期数”，是否可表示为与的乘积？请说明理由． （3）类比有理数的除法，如果2和6都是“星期数”，那么等于多少？请说明理由． 【答案】（1）4；（2）可以，理由见解析；（3）5 【分析】（1）类比有理数的相反数的概念和性质，可得出“星期数”3的“相反数”； （2）类比有理数的乘法，即可得到“星期数”的乘法； （3）根据星期数的分布特点结合类比有理数的除法即可得出的值． 【详解】解：（1）顺时针旋转3格表示的数为3，逆时针旋转3格表示的数为4， ∴“星期数”3的“相反数”是4； （2）观察数圈图可以得出：共有7个数：0，1，2，3，4，5，6，共有7个单位长度 ∴=3+3+3+3=3+9=3+2=5， ∴ 故：可用表示； （3）=====5． 【点睛】此题主要考查了整式的运算，理清题意是解答此题的关键． 2．综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用． 【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形（现阶段研究的四边形均为凸四边形），即平行四边形和“筝形”．查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”． 【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题： 名称 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ① ； ② ； （2）证明“筝形”有关对角线的性质（补全结论，并写出完整的证明过程）． 已知：如图1，在“筝形”ABCD中，，对角线和交于点． 求证：_____； 证明： （3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有_____（将所有正确的序号填在横线上）． ①且；②；③且；④． 【迁移应用】如图2在“筝形”中，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值． 【答案】（1）轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线；（2），且平分；见解析；（3）①③；（4）的最小值为 【分析】本题考查了实践应用，新定义四边形问题，筝形的性质，垂直平分线的性质与证明，全等三角形的性质与判定，读懂题意，灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据筝形的性质进行解答即可； （2）结合题中给出的筝形定义，先给出一个结论，再利用筝形的定义证明结论即可； （3）根据筝形的判定进行判定即可； （4）根据筝形的性质，，则，过点作于点，此时最小，进而计算即可． 【详解】解：（1）筝形是轴对称图形， 故①处为既是轴对称图形； 筝形的一条对角线垂直且平分另一条对角线， 故②处填一条对角线垂直且平分另一条对角线； 故答案为：轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线； （2）求证：，且平分； 证明：在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 故答案为：，且平分； （3）①且； 根据筝形的定义则①正确； ③且； 在于中， ， ， ， 同理可证， 四边形是“筝形”， 故③正确； ②④无法得到四边形是“筝形”； 故答案为：①③； （4）“筝形”， ，， 连接，， 在与中， ， ， ， 则， 当点，，三点共线且过点作的垂线，此时线段最短，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 的最小值为． 3．阅读与思考 下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 类比分式方程的解法求解简单的分式不等式 我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试： 当时，不等式两边都乘，得，即 解得． 当时，不等式两边都乘，得，即 该不等式组无解． 综上所述，分式不等式的解集为． 总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集． 任务： (1)上面小论文中的尝试过程，主要运用的数学思想是 ．（从下列选项中选出两个即可） A．类比思想  B．统计思想  C．分类讨论思想  D．转化思想 (2)请根据论文中的思路方法解分式不等式． 【答案】(1)（或或） (2) 【分析】（1）根据题意，问题解决中用到了类比思想，分类思想，转化思想，任意选择两个，得到答案为（或或），解答即可． （2）仿照文例方法解答即可． 本题考查了数学思想的应用，解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，问题解决中用到了类比思想，分类思想，转化思想把分式不等式转化为不等式组解答， 故任意选择两个，得到答案为（或或）， 故答案为：（或或）． （2）解：， 当时，不等式两边都乘，得， 即 该不等式组无解． 当时，不等式两边都乘，得， 即． 解得． 综上所述，分式不等式的解集为． 4．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2） 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． 回顾旧知，类比求解：根据题意可直接进行求解； 学会转化，解决问题： （1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】回顾旧知，类比求解： 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 5．问题背景 如图，图1，图2分别是边长为，a的正方形，由图1易得． 　　　 类比探究 类比由图1易得公式的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式． 解决问题 (1)计算：______； (2)运用完全平方公式计算：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用公式进行计算即可； （2）把化为，再利用公式进行计算即可； （3）由，可得，再利用公式计算即可． 【详解】（1）解：． （2）． （3）∵，， ∴， ∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何意义，完全平方公式的应用，灵活应用完全平方公式解决问题是解本题的关键． 6.【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）     （2）    见解析 （3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理与角度的整体转化，掌握通过角度的加减与整体代换，将所求角转化为已知角的和差关系是解题的关键． （1）先在中用内角和求，再在中求，最后通过角的加减得到； （2）从特殊情况推广到一般，利用三角形内角和定理，将整体转化为，从而推导出与的数量关系； （3）改变三角尺位置后，重新分析角的组成，将和分别表示为与的组合，再通过内角和代换得到新的数量关系． 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和： 在中，，同理： （2）．证明如下： ， ， ． （3）． ． 7．教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 【答案】（1），，证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点F，使，连接，证明，然后推导四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）连接并延长交的延长线于点G，证明，然后根据三角形的中位线定理得到结论； （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点．证明三点共线，再结合三角形的中位线的性质可得答案； 【详解】证明：（1），，理由如下： 延长至点F，使，连接， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， ，． （2）解：，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，如图： ∵， ，， ∵F是CD的中点， ， ， ，， ∵E是的中点，F是的中点， ， ． （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点． ∴，，而， ∴， ∴三点共线， 由三角形的中位线的性质可得： ，， ∴； 8．由特殊到一般、类比探究都是数学学习过程中重要的思想和方法，请你结合所学知识完成下列问题． 【特殊思考】 （1）如图1，正方形ABCD中，AE=AF，连接EF，易知BE与DF的数量关系为：BE=DF；BE与DF的位置关系为：BE⊥DF． 【一般问题】 （2）将图1中的三角形AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE与DF的数量关系和位置关系是否发生改变？结合图2，说明理由． 【类比探究】 （3）若将（2）中的正方形变为矩形，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=2AB，AF=2AE，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图3，说明理由． 【答案】（2）不变，理由见解析；（3）数量关系改变，位置关系不变，理由见解析 【分析】（2）证明△FAD≌△EAB，延长DF分别交AB、BE于点P、G，证明∠EGF=90°即可； （3）利用两边对应成比例且夹角相等，证明△FAD∽△EAB，可确定数量关系，对应角相等不变，故位置关系不受影响. 【详解】（2）结论：DF与BE互相垂直且相等． 理由：延长DF分别交AB、BE于点P、G． 在正方形ABCD和等腰直角△AEF中 AD=AB，AF=AE， ∠BAD=∠EAF=90°， ∴∠FAD=∠EAB， ∴△FAD≌△EAB， ∴∠ADF=∠ABE，DF=BE， ∵∠APD+∠ADP=90°， ∴∠GPB+∠ADP=90°， ∴∠GPB+∠ABE=90°， ∴∠EGF=180°-90°=90°， ∴DF⊥BE． （3）结论：数量关系改变，位置关系不变．DF=2BE，DF⊥BE． 理由：延长DF交EB于点N，交AB于点M， ∵AD=2AB，AF=2AE， ∴，， ∴， ∵∠BAD=∠EAF=90°， ∴∠FAD=∠EAB， ∴△FAD∽△EAB， ∴AD：AB=DF：BE =2， ∴DF=2BE， ∵△FAD∽△EAB， ∴∠ADF=∠ABE， ∵∠AMD+∠ADM=90°， ∴∠NMB+∠ADM=90°， ∴∠NMB+∠ABN=90°， ∴∠ENF=180°-90°=90°， ∴DF⊥BE． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，矩形的性质，互余的性质，熟练掌握三角形全等和相似的判定方式是解题的关键． 9．（1）问题发现： 如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______ （2）类比探究： 如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由． （3）类比延伸： 如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．    【答案】（1）110°；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根据角平分线的定义解答； （3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵和的平分线交于， ∴，， ∴ 故答案为110° （2）， 证明：∵是的外角， 是的外角， ∴ ， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由（1）得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $