专题12 归纳演绎法（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题12 归纳演绎法 方法讲解 一、核心概念 归纳推理：从个别、特殊的事例或现象出发，通过观察、分析、对比，概括出一般性规律、结论或公式的推理方式，属于由特殊到一般的推理。 演绎推理：从已成立的一般性原理、公式、定理出发，推导出某个具体、特殊问题的结论，属于由一般到特殊的推理，是严谨证明的主要形式。 二、适用范围 （一）归纳推理 1.数列规律、图形规律探究题 2.代数式规律、运算规律猜想 3.数学实验、操作探究类问题 4.找周期、递推关系的题目 （二）演绎推理 1.几何证明题（全等、相似、平行、角度等） 2.代数计算、代数式化简、方程求解 3.严格证明等式、不等式成立 4.应用题列式求解与逻辑推导 三、常用推理类型 （一）归纳推理 1.不完全归纳：根据部分特例得出一般结论（初中最常用）。 2.完全归纳：对所有情况逐一验证得出统一结论（较少见）。 3.类比归纳：由一类对象特征，类比推出另一类对象特征。 （二）演绎推理 1.三段论推理：大前提（定理）→小前提（已知）→结论。 2.直接演绎：直接套用公式、法则进行计算推导。 3.间接演绎：通过反证、等价变形进行证明。 四、通用解题步骤 （一）归纳推理 1.观察特例：列出前几项、前几个图形； 2.寻找共性：发现变化规律与不变结构； 3.归纳猜想：写出一般性表达式或结论； 4.验证检验：代入下一项验证是否成立。 （二）演绎推理 1.明确原理：确定所用定义、定理、公式； 2.代入条件：将题目条件套入一般原理； 3.逻辑推导：步步有据，严谨推理； 4.得出结论：得到具体问题的严格结果。 五、重点注意事项 1.归纳推理结论不一定绝对可靠，只能作为猜想，常需要演绎证明。 2.演绎推理只要前提正确、过程严谨，结论必然正确。 3.规律探究题先归纳猜结论，再用演绎进行证明或计算。 4.几何证明必须使用演绎推理，不能只靠归纳举例。 5.归纳重 “发现规律”，演绎重 “严谨证明”。 六、常考典型应用 1.归纳：数列通项、图形个数规律、周期规律、运算公式猜想。 2.演绎：几何证明题、解方程、化简求值、严格说理题。 3.综合探究题：先归纳猜想结论，再演绎推理证明。 4.中考规律题：几乎都是 “归纳 + 简单演绎” 的组合考查。 典型例题 【例1】问题“如图，已知点O在直线上，以线段OD为一边画等腰三角形，且使另一顶点A在直线上，则满足条件的A点有几个？”我们可以用圆规探究，按如图的方式，画图找到4个点：A1、A2、A3、A4，这种找点的过程中体现了（ ）的数学思想方法. A．归纳与演绎 B．分类讨论 C．函数与方程 D．转化与化归 【答案】B 【详解】原题找点的方法，是以OD为腰和以OD为底边进行讨论，找出了符合条件的点．所以体现了分类讨论的数学思想方法．故选B． 【例2】概念理解：一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 类比研究：我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对四边形进行研究．请根据示例图形，完成表． 四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 (1)　 　． 两组对边分别平行，两组对边分别相等． 两组对角分别相等． 对角线互相平分． 等腰梯形 轴对称图形，过平行的一组对边中点的直线是它的对称轴． 一组对边平行，另一组对边相等． (2)　 　． (3)　 　． 演绎论证：证明等腰梯形有关角和对角线的性质． 已知：在等腰梯形中，，，、是对角线．求证：　 　． 证明： 揭示关系：我们可以用图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系．请用类似的方法揭示四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系． 【答案】类比研究：见解析；演绎论证：，，，证明过程见解析；揭示关系：见解析 【分析】类比研究：根据平行四边形的性质，等腰梯形的性质完成表格即可求解． 演绎论证：方法一：过点作，交于点．证明四边形是平行四边形，，即可得出结论； 方法二：分别过点、作于点、于点．证明四边形是平行四边形，，，即可得出结论； 揭示关系：根据四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系画出图示即可求解． 【详解】解：类比研究：(1)中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心． (2)同一底上的两个角相等． (3)对角线相等． 故答案分别为：中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；同一底上的两个角相等；对角线相等； 四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 (1)　 　． 两组对边分别平行，两组对边分别相等． 两组对角分别相等． 对角线互相平分． 等腰梯形 轴对称图形，过平行的一组对边中点的直线是它的对称轴． 一组对边平行，另一组对边相等． (2)　 　． (3)　 　． 演绎论证：，，． 方法一： 证明：过点作，交于点． ， ， 四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ，即， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 方法二： 证明：分别过点、作于点、于点． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ，即， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 揭示关系：如图所示． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【例3】阅读下面的问题、分析、解答过程，并填空（理由或数学式），补全演绎推理过程． 问题：如图，已知直线，，求的度数． 分析：题干叙述没有明确已知条件与待解问题之间的关系，所以解题思路探寻的重点在于沟通， 已知、未知之间的联系，寻找、之间的数量关系、位置关系．结合图形，可以观察发现与是一组（        ）（在对顶角、邻补角中选择填空），与是一组（        ）（请在同位角、内错角、同旁内角中选择填空），从而通过中间桥梁将已知条件与待解问题联系了起来．所以，确定如下解题思路：先由确定，再由确定． 通常，我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”简化书写过程，将上述分析探究过程写成如下演绎推理形式： 解：∵（已知） 又∵（        ） ∴（        ）（        ） ∵（已知） ∴______（        ） ∴（        ）（等式的性质） 【答案】对顶角；同旁内角；对顶角相等；；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，对顶角定义，“三线八角”，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据对顶角性质，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：结合图形，可以观察发现与是一组对顶角，与是一组同旁内角，从而通过中间桥梁将已知条件与待解问题联系了起来． ∵（已知） 又∵（对顶角相等） ∴（等量代换） ∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式的性质）． 【例4】【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页的部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 【答案】定理证明：见解析；结论应用：；拓展应用：2 【分析】定理证明：证明四边形为矩形，利用矩形的性质，即可得证； 结论应用：设交于点O，根据斜边上的中线的性质和折叠的性质，求出，进而得到，证明为等腰三角形，得到，即可得出结果； 拓展应用：根据题意可证，，， 得到，，则，连接，结合斜边上的中线的性质的，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：定理证明： 证明：延长到E，使，连接，则，    ∵是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴； 结论应用：如图中，设交于点O．    ∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 拓展应用：∵，，，， 则，， ∴，， ∴， ∴，，则， 连接， ∵点分别为的中点， ∴，， ∴， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，直线三角形斜边上的中线，等腰三角判定和性质，勾股定理，解直角三角形．准确的添加辅助线，是解题的关键． 【例5】“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析， ；（4）20050 【分析】本题考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）根据题意画出图形，同（2）的结论推出个连续偶数的和，得出规律即可； （4）根据题意整理得到连续奇数的和以及连续偶数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为： ； 故答案为：； （3）第④个图，如图： 由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为：； 故答案为：； （4）解： ． 基础过关 1.等边在数轴上的位置如图所示，点A，C对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，点B所对应的数是 A. 2018 B. 2019 C. D. 2021 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意翻折的时候，点B对应的数字的规律：只要是和次翻折的对应的数字是．结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是：1，1，；4，4，；7，7，即第1次和第二次对应的都是1，第四次和第五次对应的都是4，第7次和第8次对应的都是根据这一规律：因为，所以翻转2019次后，点B所对应的数是，求出即可． 【解答】 解：因为， ， 所以2019次翻折后B点对应的数字是， 故选C． 2.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2017次后，骰子朝下一面的点数是________． 【答案】 【分析】观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案。 【解答】观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ， 滚动第2017次后与第一次相同， 朝下的点数为2， 故答案为2． 3.棱长为a的小正方体，按照如图所示的方法一直维续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第层，第n层的小正方体的个数记为S．         完成下表： n 1 2 3 4 S 1 3 _____ _____ 通过上表可以发现S随n的变化而变化，且有一定的规律，请你用式子来表示S与n的关系，并计算当时S的值． 【答案】解：；10； 随n的变化而变化，n是自变量，S是因变量第n层时， ， 当时，． 【分析】本题考查图形规律性的变化；得到第n层正方体的个数的规律是解决本题的关键． 第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层正方体的个数为，根据相应规律可得第3层，第4层正方体的个数； 根据自变量与因变量的意义，可得答案； 依据得到的规律可得第n层正方体的个数，进而得到时S的值． 【解答】解：第1个图有1层，共1个小正方体， 第2个图有2层，第2层正方体的个数为， 第3个图有3层，第3层正方体的个数为， 时，即第4层正方体的个数为：， 故答案为：6，10； 随n的变化而变化，n是自变量，S是因变量 第n层时，， 当时，． 4．综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①； 通过观察归纳得：； ②__________； ③归纳得__________（用含的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数，有 设（且为正整数）， 若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：__________（用含、的式子表示）． 【答案】（1）②25；③；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求差计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）②； 观察，得， 则， ∴ ， ； 故答案为：25；． （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得． （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律可得． 5．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数．         n m 1 2 3 4 … 1 … 2 … 3 … 4 … … … … … … … 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①______； 通过观察归纳得：______； ②______； 归纳得______（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： ； ； ． 据此归纳：对任意正整数n，有， 设（且n为正整数），若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：______（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）①10；；②25；；（2）n的值为6；（3）. 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求和计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）①； ； ； ； ； 故答案为：10；； ②； 观察，得， 则， ∴ ， ； 故答案为：25；； （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得，解得（负值不合题意，已舍去）； 所以的值为6； （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律知． 6．通过问题解决策略“归纳”的学习，你能用归纳策略比较两个数和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先研究它的一般形式，即比较和的大小（n是正整数），然后我们从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“”“”或“”） ①______            ②______            ③______ ④______            ⑤______            ⑥______ (2)从（1）中的结果经过归纳，猜想出和的大小关系； (3)试根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：______ 【答案】(1)；；；；；； (2)当正整数时，；当正整数时，； (3) 【分析】（1）①根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ②根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ③根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ④根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑤根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑥根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； （2）根据（1）归纳总结即可得出结论； （3）根据（2）所得结论即可比较大小． 【详解】（1）解∶①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，， ∴； ④∵，，， ∴； ⑤，，， ∴； ⑥∵，，， ∴， 故答案为：；；；；；； （2）解：由（1）可知：当正整数时，； 当正整数时，； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 能力提升 1. 如图，中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，这样继续作下去，线段为正整数等于 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 在本题中，大大小小的三角形全部是、、的特殊三角形．  因为，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可解答． 【解答】解：根据题意得：在中，，，则； 进而在中，有， 进而可得：，； 则线段． 故选D． 2. 一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会相应的变化．若点A先从原点开始，第一次向右移动3个单位长度，第二次向左移动5个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动5个单位长度，如此往复，经过2019次运动后点A所对应的实数为 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是数轴，首先根据题意找出第一次到第六次所对应的数，找到规律，得到第2018次到达，那么第2019次应向右移动3个单位，即可得到答案． 【解答】解：依题意得，点A每两次移动的结果是向左移动两个单位， 而2019除以2得1009余数是1， 则此时点A对应的实数为： ， 故选A． 3. 如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为_________． 【答案】672 【分析】本题考查图形规律问题．解题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系，得出规律．观察图形，发现：白色纸片个数的规律，用字母表示即可；再根据其中的规律，再由第n个图案中有2017个白色纸片，列方程求解即可． 【解答】解：第1个图案中有白色纸片张， 第2个图案中有白色纸片张， 第3图案中有白色纸片张， 第4图案中有白色纸片张， 第n个图案中有白色纸片张． ， 解得：． 故答案为672． 4. 观察下列一组由排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有个，第二个图形中有个，第三个图形中有个，，继而可求出第n个图形中的个数． 【解答】 解：第一个图形有个， 第二个图形有个， 第三个图形有个， 第四个图形有个， 第n个图形共有：． 故答案为：． 5. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、正方形，使得点、、，在直线l上，点、、在y轴正半轴上，则点的坐标是          ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征找出、、、的坐标，结合图形即可得知点是线段的中点，由此即可得出点的坐标． 【解答】解：当时，，，易知l与y轴成夹角， ，，，， ， 设， 则，， ． 6．阅读并解决问题:归纳 人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如:三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以(n+3)个点为顶点,把三角形剪成若干个小三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形? .为了解决这个问题，我们可以从n=1、n=2、nr=3 等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律. (1)完成表格信息：_______、_________; (2)通过观察、比较,可以发现：三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加_________个.于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得____________个三角形.像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到-般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这(即列举的现象)说明....其实这就是运用了归纳的方法.用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实. (3)请你借助表格尝试用归纳的方法探索: 1+3+5+7+......+(2n-1)的和是多少?并加以证实. 【答案】（1）5，7；（2）2，2n+1；（3）S=n2，见解析 【分析】（1）由图形规律可得，答案为5，7； （2）因为5-3=7-5=2，所以三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个；∵三角形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数3=2×1+1，因为三角形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数5=2×2+1，三角形内点的个数为3时，7最多剪出的小三角形个数7=2×3+1，所以三角形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数2n+1； （3）用倒序相加法证明即可． 【详解】（1）把表格补充完整如下： 故答案为：5，7； （2）∵5-3=7-5=2， ∴三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个； ∵三角形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数3=2×1+1， 三角形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数5=2×2+1， 三角形内点的个数为3时，7最多剪出的小三角形个数7=2×3+1， …… ∴三角形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数为2n+1． 故答案为2，（2n+1）； （3） 证明：∵S=1+3+5+7+…+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1）， ∴S=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+7+5+3+1， ∴S+S=2n•n=2n2， 2S=2n2 S=n2 【点睛】本题考查了根据图形规律列代数式，正确找出图形规律是解题的关键． 7．我们在第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答问题：如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；… (1)归纳：完成以下表格： 剪开次数（刀） 1 2 3 4 … n 绳子数量（段） 5 9 ______ ______ … ______ (2)问题解决： ①剪10刀时，绳子变为多少段？ ②有可能刚好剪得2025段吗？请说明理由． 【答案】(1)13，17， (2)①剪10刀时，绳子变为41段；②有可能，见解析 【分析】本题主要考查了图形的变化类，一元一次方程的应用，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． （1）根据图形，找出规律：每剪一次，绳子的数量增加4段，依次规律，填数值即可； （2）①把代入（1）的规律即可得出答案； ②假设（1）中的代数式的值为2025，求出n的值，判断n的值是否为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：∵剪1刀，绳子变为5段，； 剪2刀，绳子变为9段， ； 由此可得，剪3刀，绳子变为段， 剪4刀，绳子变为段， …… 可得，剪n刀，绳子变为段； 故答案为：13，，； （2）解：①由（1）可知剪开次数（刀）为n，则绳子数量（段）为， 当时，， 所以剪10刀时，绳子变为41段． ②有可能． 理由：由（1）可知剪开次数（刀）为n，则绳子数量（段）为． 当时，，，是正整数， ∴有可能刚好剪得2025段． 8．在沪科版数学教材七年级上册第二章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，探究一般规律的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题． 探究一：将一根绳子折成3段，然后按如图所示方式剪开；如图1-1，剪1刀，绳子变为4段；如图1-2，剪2刀，绳子变为7段；…… ①剪3刀，绳子变为_______段； ②有可能剪成89段吗？请说明理由． 探究二：将一根绳子折成4段，然后按探究一中方式剪开；如图2-1，剪1刀，绳子变为5段；如图2-2，剪2刀，绳子变为_______段；剪n刀，绳子变为_______段． 归纳：将一根绳子折成段，然后按探究一中方式剪n刀，绳子变为_______段（用含m，n的代数式表示） 【答案】探究一：①10；②没有可能正好剪成89段，理由见解析；探究二：9；； 【分析】此题主要考查了图形的变化类探究、解一元一次方程，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 探究一：①将一根绳子折成3段剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；则剪3刀，绳子变为段； ②由①可得，剪n刀，绳子变为段，解方程即可解答； 探究二：结合图形，由探究一的规律即可得出答案． 【详解】解：探究一： ①剪1刀，绳子变为4段，； 剪2刀，绳子变为7段， ； 由此可得，剪3刀，绳子变为段， 故答案为：10； ②没有可能正好剪成89段， 理由：由题意得，剪n刀，绳子变为段， ，， 不是正整数，因此没有可能正好剪得89段； 探究二：剪1刀，绳子变为5段，； 剪2刀，绳子变为； 剪n刀，绳子变为段， 归纳：将一根绳子折成段，然后按探究一中方式剪n刀，绳子变为段， 故答案为：9；；． 9．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程． (1)解题与归纳： ①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　； ②归纳：对于任意数，有　　 ； ③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　； ④归纳：对于任意非负数，有　　 (2)应用：根据他们归纳得出的结论，解答问题． 数，在数轴上的位置如图所示，化简：．      【答案】(1)①2，5，6，0，3，6；②；③4，9，25，36，49，0；④a (2) 【分析】本题考查了数轴和二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质的正确和灵活运用； （1）①根据要求直接计算即可； ②根据①的计算归纳即可； ③根据要求直接计算即可； ④根据③的计算归纳即可； （2）先由数轴得，进而可得，根据（1）的公式直接代入计算即可； 【详解】（1）①， 故答案为：2，5，6，0，3，6； ②对于任意的数a，有， 故答案为：； ③， 故答案为：4，9，25，36，49，0； ④对于任意非负数，有， 故答案为：a； （2）由数轴得， ， 10．归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． (1)尝试归纳：请你根据图2，写出2条直角三角形的性质； ①______； ②______； (2)实践应用：如图3，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点． 小明发现图3中是直角，小明的证明过程： 如图4，过点B作一条水平线l，过点A作，垂足为E，，垂足为 ，，， ， ， ， ， 请借助图3用一种不同于小明的方法证明是直角． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理以及三角形内角和定理进行推论即可解答； （2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到解答． 【详解】（1）解：①由勾股定理可得：；②由三角形内角和的定理可得：． 故答案为：；． （2）证明：，，， ． ∴是直角． 拓展拔高 1．本册书的学习中，我们经历了归纳等问题解决策略的学习．归纳是从几种特殊情形出发，展开研究，最终得到一般规律，归纳是发现数学结论、解决实际问题的重要方法． 【问题探究】 如图，在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪次，最多可以将该纸片分成多少部分？ 将探究结果整理成下面的表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 ．．． 最多可分成的部分数 2 4 7 - - ．．． （1）补全表格； （2）归纳：_____（用含的代数式表示） 【应用结论】 （3）在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪20次，最多可以将该纸片分成_____部分． 【拓展延伸】 （4）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成_____块； （5）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，一共切5次，竖切_____次，横切_____次，能切出的块数最多． （6）针对这个切木块的情境，你还想继续研究什么问题？ 你的问题是：__________． 【答案】（1）11，16；（2）；（3）；（4）；（5）竖切2次、横切3次 或 竖切3次、横切2次；（6）见解析 【分析】本题主要考查了图形切割的规律探究、二次函数的最值应用、代数式的推导与求值，熟练掌握每一刀与之前所有刀痕相交以获得最多块数的规律，以及将实际问题转化为数学表达式的方法是解题的关键． （1）补全表格：遵循每一刀都与之前所有刀痕相交的原则，依次计算每次新增的块数，累加得到对应次数的总块数． （2）归纳公式：从递推关系出发，将每次增加的块数累加求解即可． （3）应用结论：将代入（2）中得到的公式进行计算． （4）长方体切割：竖切次把底面分成块，横切次把高度分成块，总块数为两者的乘积． （5）分情况讨论求解即可． （6）围绕切割次数、方式与块数的关系提出新问题即可． 【详解】解：（1）剪1次：， 剪2次：， 剪3次：， 剪4次：， 剪5次：， 表格补全：4次对应11，5次对应16； （2） ； （3）当时，， ∴最多可以将该纸片分成部分； （4）切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成块； （5）竖切0次，横切5次：， 竖切1次，横切4次：， 竖切2次，横切3次：， 竖切3次，横切2次：， 竖切4次，横切1次：， 竖切5次，横切0次：， 对比所有结果，最大块数为12，对应：竖切2次、横切3次 或 竖切3次、横切2次， ∴一共切5次，竖切2次、横切3次 或 竖切3次、横切2次，能切出的块数最多． （6）问切次时，竖切和横切各多少次能使长方体块数最多？ 2．【发现】 ① ② ③ ④ ……； (1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【详解】（1），符合上述规律， 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴+=0， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究． 【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 如图1，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形． 如图2，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形． 当五边形内有3个点时，可分得___________个三角形．（可借助备用图分析） 归纳得出当五边形内有个点，可分得___________个三角形． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 【拓展延伸】 若连接边形的个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 【答案】问题探究：，；问题解决：；拓展延伸： 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索． 问题探究：仿照题意先画出对应的图形，再数出三角形个数即可；由前面的探究可知连接五边形的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； 问题解决：由前面的探究可知连接五边形的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； 拓展延伸：根据问题探究及问题解决得到的规律即可解答． 【详解】解：问题探究： 如图1，当五边形内有1个点时，可分得个三角形； 如图2，当五边形内有2个点时，可分得个三角形； 如图3，当五边形内有3个点时，可分得个三角形； 以此类推，连接五边形的五个顶点和它内部的点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2， 则当五边形内有个点，可分得个三角形， 故答案为：，； 问题解决： 由问题探究可得，连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得个三角形， 故答案为：； 拓展延伸： 由问题探究和问题解决可得，连接边形的个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2， 则可分得个三角形， 故答案为：． 4．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程（组）．一元一次不等式和一次函数后，对相关知识进行了归纳整理． （1）例如，他在同一个直角坐标系中画出了一次函数y=x+2和y=-x+4的图像（如图1），并作了归纳： 请根据图1和以上方框中的内容，在下面数字序号后写出相应的结论： ① ；② ； ③ ；④ ； （2）若已知一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图像（如图2），且它们的交点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≥k1x+b1的解集 ． 【答案】(1)①-x+4=0，②，③x+2 ＞0，④-x+4＜0；(2)x≤1． 【分析】（1）根据一元一次方程、一元一次不等式、一元一次不等式组与一次函数之间的关系，再结合函数图像即可解答； （2）不等式kx+b≥k1x+b1的解集就是y=kx+b的图像位于y=k1x+b1上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：（1）①根据题意得：令，则-x+4=0， ∴点B的横坐标为方程-x+4=0的解， 故答案为：-x+4=0； ①由于点C是一次函数y=x+2和y=-x+4的图像于的交点，则对应方程组为， 故答案为：； ③函数y=x+2的函数值y大于0时，即其解集为函数值大于0对应的自变量的取值范围， 则对应的不等式为x+2 ＞0， 故答案为：x+2 ＞0； ④函数y=-x+4的函数值y小于0时，即其解集为函数值小于0对应的自变量的取值范围 则对应的不等式为x+4＜0， 故答案为：x+4＜0； （2）∵它们的交点C的坐标为（1，3）， ∴kx+b≥k1x+b1的解集为x≤1， 故答案为x≤1． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程、一元一次不等式、一元一次不等式组与一次函数之间的关系以及数形结合思想，灵活应用数形结合思想是正确解答本题的关键． 5．【类比思想】观察计算猜想归纳： (1)填空： ①_____ ②_____ ③_____ ④_____． (2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_____ 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____． (3)根据规律直接写出结果： _____ _____． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)，二，三，1，二项式中常数项的和，二项式中常数项的积 (3)； 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算； （2）根据所求式子的结果进行归纳总结； （3）利用所得规律直接计算． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； （2）归纳总结：式子表示：， 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是二次三项式，其中积的二次项的系数为1，一次项的系数为二项式中常数项的和，常数项为二项式中常数项的积． （3）； ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式运算，解题的关键是理解型的多项式乘法运算． 6．同学们，我们在学习一次函数时，采用由特殊到一般的研究思路，首先研究特殊的一次函数y=kx（k为常数，k≠0），通过画出具体函数的图象，观察图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置、对称性）和性质（增减性），从中初步习得了研究函数的思路、内容和方法，进而推广到研究一般的一次函数 y=kx+b（k，b为常数，k≠0），获得了一次函数的图象特征（形状、位置、对称性）和性质（增减性），然后再综合运用相关的知识解决实际问题． 请你运用学过的方法研究一类含有绝对值的新函数y=k|x|（k为常数，k≠0）的图象和性质． 【实际操作】 （1）直接在平面直角坐标系（图1）中画出函数y=2|x|的图象； （2）直接在平面直角坐标系（图2）中画出函数y=-3|x|的图象．                 图一                                                                                        图二 【归纳总结】 （3）结合上面画出的函数图象，请归纳出函数y=k|x|（k为常数，k≠0）的图象特征（形状、位置、对称性），并且写出当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化? 【迁移应用】 （4）图3是某个含有绝对值的函数的图象，请求出该函数的表达式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）用描点作图法画出图象； （2）用描点作图法画出图象； （3）根据函数图象描述它的性质，分为和两种情况； （4）改函数图象可以看做函数向下平移了5个单位，根据函数图象的平移得到它的解析式． 【详解】解：（1）如图， （2）如图， （3）函数图象呈“V”字型，关于y轴对称，当时，开口向上，当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大； 当时，开口向下，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （4）改图象可以看做是函数向下平移了5个单位， ∴解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的拓展，解题的关键是理解绝对值函数的意义，通过一次函数的图象和性质联想绝对值函数的图象和性质． 7．从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳．它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）是否存在一定的数量关系？ 【特例感知】 小明利用归纳的策略完成以下探究．在正方形网格纸中（其中每一个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的情形，分别为图1至图3． 以上情形的数据如下： a b S 图1 1 6 3 3 图2 6 8 4 ① 图3 6 ② 5 10 ①处应填 ，②处应填 ； 由此发现规律：格点多边形的面积 ；（用含a，b的代数式表示），老师肯定了此规律的正确性． 【问题解决】 在任意格点多边形中，如果，，那么格点多边形的面积 ； 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（其中每一个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的点数a和多边形边上的点数b有新的数量关系．小明按照以上的归纳策略继续探究，得到图4中阴影三角形的面积为 ． 【答案】特例感知：9，10，；问题解决：16.5；联系拓广：10 【分析】此题考查的是格点多边形的面积问题，解决本题的关键是关键由特殊找出规律得出结论． 特例感知：观察图中特例计算出对应的数据，再由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 问题解决：由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 联系拓广：由特殊情况计算找出规律即可得出结论，再将图4中的a和b代入即可得解； 【详解】解：特例感知： 图2的面积，故①处应填9； 图3边上的格点数，②处应填10； 观察图1至图3数据可得； 故答案为：9，10，； 问题解决： 当，时，， 故答案为：16.5； 联系拓广：如图5、图6 图5、图6中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，数据如下表： a b S 图5 7 3 6 11 图6 8 1 2 8 图n 观察表格数据可得：， 图4中，，，故， 故答案为：10． 8．项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 【答案】（1）；（2）4，3；（3）见解析；（4）是，0；（5）1．2或；（6）函数图像关于轴对称（不唯一）．（7）图象分别位于三、四象限（不唯一）． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、绝对值、画反比例函数图像等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可解答； （2）将，代入函数解析式求解即可； （3）按照描点、连线的步骤解答即可； （4）根据（3）所得的函数图像解答即可； （5）根据（3）所得的函数图像解答即可； （6）根据（3）所得的函数图像解答即可； （7）类比的图像进行解答即可； 【详解】解：（1）由反比例函数的定义可知：； 故答案为：； （2）当时，；当时，； 故答案为：4，3； （3）根据题意：画出函数图像如下： （4）由（3）函数图像可得：该函数图象是轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为0． 故答案为：是，0； （5）由（3）函数图像可得：该当时，对应的自变量的值约为1．2或． 故答案为：1．2或； （6）由（3）函数图像可得：该函数图像关于轴对称（不唯一）． 故答案为：函数图像关于轴对称； （7）对于函数，当时，该函数图像分别位于三、四象限（不唯一）． 9．【材料学习】 小学里已经学过：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰． 如图（1），在等腰三角形纸片上，画底边的平行线可得到一个梯形．由可知，于是，又，从而． 定义：像梯形，两腰相等的梯形称为等腰梯形． 几何语言：如图（1），在梯形中，，梯形是等腰梯形． 如果把图（1）的等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，那么与重合，由于，可知点与点重合，如图（）2，于是．由此，我们可以得到如下结论： （1）等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴， （2）等腰梯形在同一底上的两个角相等， （3）等腰梯形的对角线相等． 【探究归纳】 利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系，我们还可以研究：具备什么条件的梯形是等腰梯形? （1）如图（3），在梯形中，，求证：梯形是等腰梯形； 归纳提炼1﹔通过（1）的证明可知： _的梯形是等腰梯形； （2）如图（4），在梯形中，，求证：梯形是等腰梯形． 归纳提炼2：通过（2）证明可知：_ _的梯形是等腰梯形； 【答案】（1）详见解析；在同底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）梯形是等腰梯形；归纳通过（2）的证明可知：对角线相等的梯形是等腰梯形； 【分析】（1）分别延长交于点，由平行线的性质可得：∠EAD＝∠B，∠EDA＝∠C，根据已知条件和等角代换可得：∠EAD＝∠EDA，由等角对等边的性质可得：EA＝ED，根据线段和差可得AB＝CD，进而即可求证结论； （2）过点作的平行线交的延长线于点，易证，由全等三角形的性质和等量代换可得：DE＝BD，根据等边对等角的性质和等角代换可得：∠DBC＝∠ACB，进而由全等三角形的判定可证△ACB≌△DBC，进而可得：AB＝CD，进而即可求证结论． 【详解】解：（1）如图（1），分别延长交于点， 在梯形中， ， ， 梯形是等腰梯形； 归纳提炼1：通过（1）的证明可知：在同底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （2）如图（2），过点作的平行线交的延长线于点， 易证， 可证得， 梯形是等腰梯形； 归纳提炼1：通过（2）的证明可知：对角线相等的梯形是等腰梯形； 【点睛】本题主要考查等腰梯形的判定，涉及到全等三角形的判定和性质、等边对等角的性质及等角对等边的性质、等量代换及等角代换，解题的关键是综合利用所学知识证得AB＝CD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 归纳演绎法 方法讲解 一、核心概念 归纳推理：从个别、特殊的事例或现象出发，通过观察、分析、对比，概括出一般性规律、结论或公式的推理方式，属于由特殊到一般的推理。 演绎推理：从已成立的一般性原理、公式、定理出发，推导出某个具体、特殊问题的结论，属于由一般到特殊的推理，是严谨证明的主要形式。 二、适用范围 （一）归纳推理 1.数列规律、图形规律探究题 2.代数式规律、运算规律猜想 3.数学实验、操作探究类问题 4.找周期、递推关系的题目 （二）演绎推理 1.几何证明题（全等、相似、平行、角度等） 2.代数计算、代数式化简、方程求解 3.严格证明等式、不等式成立 4.应用题列式求解与逻辑推导 三、常用推理类型 （一）归纳推理 1.不完全归纳：根据部分特例得出一般结论（初中最常用）。 2.完全归纳：对所有情况逐一验证得出统一结论（较少见）。 3.类比归纳：由一类对象特征，类比推出另一类对象特征。 （二）演绎推理 1.三段论推理：大前提（定理）→小前提（已知）→结论。 2.直接演绎：直接套用公式、法则进行计算推导。 3.间接演绎：通过反证、等价变形进行证明。 四、通用解题步骤 （一）归纳推理 1.观察特例：列出前几项、前几个图形； 2.寻找共性：发现变化规律与不变结构； 3.归纳猜想：写出一般性表达式或结论； 4.验证检验：代入下一项验证是否成立。 （二）演绎推理 1.明确原理：确定所用定义、定理、公式； 2.代入条件：将题目条件套入一般原理； 3.逻辑推导：步步有据，严谨推理； 4.得出结论：得到具体问题的严格结果。 五、重点注意事项 1.归纳推理结论不一定绝对可靠，只能作为猜想，常需要演绎证明。 2.演绎推理只要前提正确、过程严谨，结论必然正确。 3.规律探究题先归纳猜结论，再用演绎进行证明或计算。 4.几何证明必须使用演绎推理，不能只靠归纳举例。 5.归纳重 “发现规律”，演绎重 “严谨证明”。 六、常考典型应用 1.归纳：数列通项、图形个数规律、周期规律、运算公式猜想。 2.演绎：几何证明题、解方程、化简求值、严格说理题。 3.综合探究题：先归纳猜想结论，再演绎推理证明。 4.中考规律题：几乎都是 “归纳 + 简单演绎” 的组合考查。 典型例题 【例1】问题“如图，已知点O在直线上，以线段OD为一边画等腰三角形，且使另一顶点A在直线上，则满足条件的A点有几个？”我们可以用圆规探究，按如图的方式，画图找到4个点：A1、A2、A3、A4，这种找点的过程中体现了（ ）的数学思想方法. A．归纳与演绎 B．分类讨论 C．函数与方程 D．转化与化归 【例2】概念理解：一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 类比研究：我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对四边形进行研究．请根据示例图形，完成表． 四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 (1)　 　． 两组对边分别平行，两组对边分别相等． 两组对角分别相等． 对角线互相平分． 等腰梯形 轴对称图形，过平行的一组对边中点的直线是它的对称轴． 一组对边平行，另一组对边相等． (2)　 　． (3)　 　． 演绎论证：证明等腰梯形有关角和对角线的性质． 已知：在等腰梯形中，，，、是对角线．求证：　 　． 证明： 揭示关系：我们可以用图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系．请用类似的方法揭示四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系． 【例3】阅读下面的问题、分析、解答过程，并填空（理由或数学式），补全演绎推理过程． 问题：如图，已知直线，，求的度数． 分析：题干叙述没有明确已知条件与待解问题之间的关系，所以解题思路探寻的重点在于沟通， 已知、未知之间的联系，寻找、之间的数量关系、位置关系．结合图形，可以观察发现与是一组（        ）（在对顶角、邻补角中选择填空），与是一组（        ）（请在同位角、内错角、同旁内角中选择填空），从而通过中间桥梁将已知条件与待解问题联系了起来．所以，确定如下解题思路：先由确定，再由确定． 通常，我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”简化书写过程，将上述分析探究过程写成如下演绎推理形式： 解：∵（已知） 又∵（        ） ∴（        ）（        ） ∵（已知） ∴______（        ） ∴（        ）（等式的性质） 【例4】【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页的部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 【例5】“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． 基础过关 1.等边在数轴上的位置如图所示，点A，C对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，点B所对应的数是 A. 2018 B. 2019 C. D. 2021 2.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2017次后，骰子朝下一面的点数是________． 3.棱长为a的小正方体，按照如图所示的方法一直维续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第层，第n层的小正方体的个数记为S．         完成下表： n 1 2 3 4 S 1 3 _____ _____ 通过上表可以发现S随n的变化而变化，且有一定的规律，请你用式子来表示S与n的关系，并计算当时S的值． 4．综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①； 通过观察归纳得：； ②__________； ③归纳得__________（用含的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数，有 设（且为正整数）， 若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：__________（用含、的式子表示）． 5．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数．         n m 1 2 3 4 … 1 … 2 … 3 … 4 … … … … … … … 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①______； 通过观察归纳得：______； ②______； 归纳得______（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： ； ； ． 据此归纳：对任意正整数n，有， 设（且n为正整数），若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：______（用含m、n的式子表示）． 6．通过问题解决策略“归纳”的学习，你能用归纳策略比较两个数和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先研究它的一般形式，即比较和的大小（n是正整数），然后我们从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“”“”或“”） ①______            ②______            ③______ ④______            ⑤______            ⑥______ (2)从（1）中的结果经过归纳，猜想出和的大小关系； (3)试根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：______ 能力提升 1. 如图，中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，这样继续作下去，线段为正整数等于 A. B. C. D. 2. 一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会相应的变化．若点A先从原点开始，第一次向右移动3个单位长度，第二次向左移动5个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动5个单位长度，如此往复，经过2019次运动后点A所对应的实数为 A. B. C. D. 3. 如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为_________． 4. 观察下列一组由排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的的个数是______． 5. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、正方形，使得点、、，在直线l上，点、、在y轴正半轴上，则点的坐标是          ． 6．阅读并解决问题:归纳 人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如:三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以(n+3)个点为顶点,把三角形剪成若干个小三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形? .为了解决这个问题，我们可以从n=1、n=2、nr=3 等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律. (1)完成表格信息：_______、_________; (2)通过观察、比较,可以发现：三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加_________个.于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得____________个三角形.像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到-般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这(即列举的现象)说明....其实这就是运用了归纳的方法.用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实. (3)请你借助表格尝试用归纳的方法探索: 1+3+5+7+......+(2n-1)的和是多少?并加以证实. 7．我们在第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答问题：如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；… (1)归纳：完成以下表格： 剪开次数（刀） 1 2 3 4 … n 绳子数量（段） 5 9 ______ ______ … ______ (2)问题解决： ①剪10刀时，绳子变为多少段？ ②有可能刚好剪得2025段吗？请说明理由． 8．在沪科版数学教材七年级上册第二章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，探究一般规律的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题． 探究一：将一根绳子折成3段，然后按如图所示方式剪开；如图1-1，剪1刀，绳子变为4段；如图1-2，剪2刀，绳子变为7段；…… ①剪3刀，绳子变为_______段； ②有可能剪成89段吗？请说明理由． 探究二：将一根绳子折成4段，然后按探究一中方式剪开；如图2-1，剪1刀，绳子变为5段；如图2-2，剪2刀，绳子变为_______段；剪n刀，绳子变为_______段． 归纳：将一根绳子折成段，然后按探究一中方式剪n刀，绳子变为_______段（用含m，n的代数式表示） 9．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程． (1)解题与归纳： ①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　； ②归纳：对于任意数，有　　 ； ③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　； ④归纳：对于任意非负数，有　　 (2)应用：根据他们归纳得出的结论，解答问题． 数，在数轴上的位置如图所示，化简：．      10．归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． (1)尝试归纳：请你根据图2，写出2条直角三角形的性质； ①______； ②______； (2)实践应用：如图3，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点． 小明发现图3中是直角，小明的证明过程： 如图4，过点B作一条水平线l，过点A作，垂足为E，，垂足为 ，，， ， ， ， ， 请借助图3用一种不同于小明的方法证明是直角． 拓展拔高 1．本册书的学习中，我们经历了归纳等问题解决策略的学习．归纳是从几种特殊情形出发，展开研究，最终得到一般规律，归纳是发现数学结论、解决实际问题的重要方法． 【问题探究】 如图，在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪次，最多可以将该纸片分成多少部分？ 将探究结果整理成下面的表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 ．．． 最多可分成的部分数 2 4 7 - - ．．． （1）补全表格； （2）归纳：_____（用含的代数式表示） 【应用结论】 （3）在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪20次，最多可以将该纸片分成_____部分． 【拓展延伸】 （4）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成_____块； （5）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，一共切5次，竖切_____次，横切_____次，能切出的块数最多． （6）针对这个切木块的情境，你还想继续研究什么问题？ 你的问题是：__________． 2．【发现】 ① ② ③ ④ ……； (1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值． 3．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究． 【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 如图1，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形． 如图2，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形． 当五边形内有3个点时，可分得___________个三角形．（可借助备用图分析） 归纳得出当五边形内有个点，可分得___________个三角形． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 【拓展延伸】 若连接边形的个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 4．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程（组）．一元一次不等式和一次函数后，对相关知识进行了归纳整理． （1）例如，他在同一个直角坐标系中画出了一次函数y=x+2和y=-x+4的图像（如图1），并作了归纳： 请根据图1和以上方框中的内容，在下面数字序号后写出相应的结论： ① ；② ； ③ ；④ ； （2）若已知一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图像（如图2），且它们的交点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≥k1x+b1的解集 ． 5．【类比思想】观察计算猜想归纳： (1)填空： ①_____ ②_____ ③_____ ④_____． (2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_____ 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____． (3)根据规律直接写出结果： _____ _____． 6．同学们，我们在学习一次函数时，采用由特殊到一般的研究思路，首先研究特殊的一次函数y=kx（k为常数，k≠0），通过画出具体函数的图象，观察图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置、对称性）和性质（增减性），从中初步习得了研究函数的思路、内容和方法，进而推广到研究一般的一次函数 y=kx+b（k，b为常数，k≠0），获得了一次函数的图象特征（形状、位置、对称性）和性质（增减性），然后再综合运用相关的知识解决实际问题． 请你运用学过的方法研究一类含有绝对值的新函数y=k|x|（k为常数，k≠0）的图象和性质． 【实际操作】 （1）直接在平面直角坐标系（图1）中画出函数y=2|x|的图象； （2）直接在平面直角坐标系（图2）中画出函数y=-3|x|的图象．                 图一                                                                                        图二 【归纳总结】 （3）结合上面画出的函数图象，请归纳出函数y=k|x|（k为常数，k≠0）的图象特征（形状、位置、对称性），并且写出当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化? 【迁移应用】 （4）图3是某个含有绝对值的函数的图象，请求出该函数的表达式． 7．从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳．它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）是否存在一定的数量关系？ 【特例感知】 小明利用归纳的策略完成以下探究．在正方形网格纸中（其中每一个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的情形，分别为图1至图3． 以上情形的数据如下： a b S 图1 1 6 3 3 图2 6 8 4 ① 图3 6 ② 5 10 ①处应填 ，②处应填 ； 由此发现规律：格点多边形的面积 ；（用含a，b的代数式表示），老师肯定了此规律的正确性． 【问题解决】 在任意格点多边形中，如果，，那么格点多边形的面积 ； 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（其中每一个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的点数a和多边形边上的点数b有新的数量关系．小明按照以上的归纳策略继续探究，得到图4中阴影三角形的面积为 ． 8．项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 9．【材料学习】 小学里已经学过：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰． 如图（1），在等腰三角形纸片上，画底边的平行线可得到一个梯形．由可知，于是，又，从而． 定义：像梯形，两腰相等的梯形称为等腰梯形． 几何语言：如图（1），在梯形中，，梯形是等腰梯形． 如果把图（1）的等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，那么与重合，由于，可知点与点重合，如图（）2，于是．由此，我们可以得到如下结论： （1）等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴， （2）等腰梯形在同一底上的两个角相等， （3）等腰梯形的对角线相等． 【探究归纳】 利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系，我们还可以研究：具备什么条件的梯形是等腰梯形? （1）如图（3），在梯形中，，求证：梯形是等腰梯形； 归纳提炼1﹔通过（1）的证明可知： _的梯形是等腰梯形； （2）如图（4），在梯形中，，求证：梯形是等腰梯形． 归纳提炼2：通过（2）证明可知：_ _的梯形是等腰梯形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $