数学（广东卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 2．已知集合，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由得，等价于且，得， 则， 因为或， 所以. 3．的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 的系数为． 4．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 6．设是两个不重合的平面，则的充要条件是（   ） A．存在无数条直线与都平行 B．存在无数个平面与都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线．使得 【答案】C 【详解】    如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面. 对于A，因，且，且，则， 显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误； 对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面， 即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误； 对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线， 则，从而对平面内的任意直线，都有， 即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误；    对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面， 则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得， 因，则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立； 反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面， 使，则必有，故必要性成立，故C正确. 7．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，右焦点为，过且斜率大于0的直线交的右支于，两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则，，可知，双曲线：， 设直线的倾斜角为，根据题意结合渐近线性质可得， 设直线，，，其中， 联立方程，消去x可得，则， 又由， 即，可得，即， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 8．已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知有意义，所以， 将不等式化简，，即，整理得， 若时，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递减，当，， 此时不等式有无穷多个整数解 ，不符合题意； 当，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递增， 因为，，，， 且不等式有且仅有3个整数解， 结合单调性可知这三个整数解为1,2,3，所以， 所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B．若，，，则 C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 【答案】BD 【详解】原数据方差，设， 则，故A错误； ， 故 B 正确； 所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故C错误； 模型 取对数得 ， 令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ，，即 ，，故D正确. 10．已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（    ） A． B．是的一个对称中心 C．的最小正周期为 D．先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为 【答案】BC 【详解】对于A，因为对都成立， 则， 则，且， 所以，, 所以，故A错误， 对于B，代入，得， 因此 是的一个对称中心，B正确 对于C，的最小正周期为， 的图象是将在x轴下方的部分翻折x轴上方，最小正周期变为原来的， 故的最小正周期为，C正确， 对于D，向左平移个单位长度得， 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，则得，故D错误. 11．已知定点，，，是边长为的等边三角形，若动点到平面的距离是1，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离的最大值是6 C．当点（异于点）到平面的距离是1时， D．若，，，在一个半径为5的球的球面上，则的轨迹长度是 【答案】ABD 【详解】对于A，依题意，三棱锥的底面上的高为1，底面的面积为， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，因点到平面的距离是1，则侧面的边上的高的最小值为1， 所以的面积有最小值， 此时，设点到平面的距离为，由，得， 当取最小值时，有最大值6，故B正确； 对于C，当点（异于点）到平面的距离是1，且、在平面异侧时，与相交，故C错误； 对于D，设球心到，，，的距离为5，的外接圆圆心为. 由是边长为的等边三角形，可知的外接圆半径为， 则， 因为点到平面的距离是1， 所以的轨迹是以为半径的圆或是以为半径的圆， 所以的轨迹长度是，故D正确， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若的图象在点处的切线经过点，则实数______． 【答案】 【详解】由求导得：， 代入得：，即切点为；切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得， 因为该切线经过点，所以将代入切线方程得： ， 整理得：，解得：. 13．已知数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【详解】依题意得. 当时，，即. 设，则，即. 又是以4为首项，2为公比的等比数列， ，即. 14．动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 2分 因为在中，， 所以，即， 3分 因为在中，， 所以或（舍去）， 则， 5分 则在中，， 即， 所以为等腰三角形； 6分 （2）由（1）知因此； 因为，代入 得：， 所以，得 8分 因为为三角形内角，， 故：， 由于，所以 10分 因为边上的高为​，， 所以，解得： 因为， 12分 所以 因此， 所以的周长为： 13分 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，， 所以. 1分 令，得， 且当时，；当时，， 3分 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 5分 （2）. 当时，， 因为，所以在上单调递减. 7分 当时，， 由， 令，得. 9分 当，即时，， 所以在上单调递增. 11分 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 14分 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 15分 17．（15分）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1） 取的中点，连接， 1分 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 2分 因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 4分 因为平面MQN，所以平面PBC； 5分 （2） 取的中点，连接，则，， 因为平面平面，所以平面， 7分 因为平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，， 8分 （i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设， 由得， 解得， 10分 所以球O的半径的平方，故球O的表面积为. 11分 （ii），，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 13分 由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量， 所以． 故平面与平面的夹角的余弦值为． 15分 18．（17分）投掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，回答下列问题. (1)若，在3次投掷试验中，设出现正面的次数为，求的分布列与数学期望； (2)求在次投掷试验中正面出现偶数次的概率； (3)现有甲和乙二人用此不均匀硬币玩掷硬币游戏，规则如下：若出现正面，则甲加一分，乙扣一分，若出现反面，则甲扣一分，乙加一分，当一方分数为0分时游戏结束，另一方获胜.在游戏开始时，甲有分，乙有分，若，证明：不管满足何种关系，最终甲获胜的概率都低于乙获胜的概率. 【详解】（1）由题意可知，， 1分 3次均为反面，即时，， 2次反面1次正面，即时，， 1次反面2次正面，即时，， 3次均为正面，即时，， 4分 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 5分 （2）设为次投掷中正面出现偶数次的概率， 由全概率公式可得，， 所以， 8分 时，正面次数为0，是偶数，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 10分 （3）设为甲当前有分，乙有分时，甲最终获胜的概率. 由题意可知，. 由全概率公式可得，， 变形可得，， 12分 累加可得，，即， 当时，，解得， 所以， 15分 所以在游戏开始时，甲有分，即甲获胜的概率. 因为， 所以甲获胜的概率低于乙获胜的概率. 17分 19．（17分）（新情境）如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为. (1)求半椭圆的标准方程； (2)过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： (3)若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值. 【详解】（1）设半椭圆的方程为， 因为半椭圆与轴正半轴的交点为，可得， 1分 又因为椭圆的离心率为，可得，即， 因为，即，解得， 3分 所以半椭圆的标准方程为. 4分 （2）设点到直线的距离为， 由点，可得直线的方程为，且， 因为若的面积为1，可得，解得， 6分 设点落在直线时，则，解得或， 此时或， 7分 当时，联立方程组，其中， 整理得，此时，不符合题意，舍去； 8分 当时，联立方程组，其中， 整理得，解得或，此时点或， 所以的方程为或. 10分 （3）由， 因为，可得所以， 11分 设直线，不妨设点在点的右边， 当时，可得“果圆”的方程为， 联立方程组，解得，此时； 12分 当时，可得“果圆”的方程为， 联立方程组，解得，此时 所以直线，直线 14分 联立方程组，可得， 联立方程组，可得， 则 16分 因为 当且仅当即时，等号成立，所以. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 D B D A B C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD BC ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.250-1 14.4-V2i 20 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)因为c2cosC-cosA=acosC, 由正弦定理可得sinC(2cosC-cosA)=sin AcosC, B2sin CcosC=sin AcosC+cosAsinc=sin(A+C),. 因为在ABC中，sin(A+C)=sin(x-B)=sinB, 所以2 sin C cosC=sinB,即sin2C=sinB, 3分 因为在ABC中，B,Ce(0,π， 所以B+2C=π或B=2C（舍去)， 则B+2C=元，.5分 则在ABC中，A=π-B-C=C, 即A=C, 所以ABC为等腰三角形； …6分 1/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)由(1)知A=C,a=c,因此B=元-2A: 因为7cosA=2cosB,代入c0sB=c0sπ-2A)=-c0s2A, 得：7c0sA=-2c0s2A, 所以7cosA=-2(2c0s2A-1,得(4c0sA-1(c0sA+2）=0 8分 因为A为三角形内角，c0sA>0,c0sA+2>0, 故：c0s4=月 60分 因为AB边上的高为h=√15，AB=c, B C 所以sinA=i5.5 解得：6=4 b 4 因为sinB=sin(-A-C)=sin2A=2 2sin cos=5 8 12分 所以sinB=5.V5 a 8 因此a=c=8, 所以ABC的周长为：Q+b+C=8+4+8=20.13分 16.【详解】(1)当a=2时，f(x=x2-2lnxx>0), 所以fx)=2x-2_2x+x-) … 1分 令f'(x=0,得x=1, 2/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 且当0<x<1时，f'(x<0;当x>1时，'(x>0, 3分 所以f(x)在(0，)上单调递减，在1，+∞）上单调递增， 所以∫(x的极小值为∫（们）=1，无极大值. 5分 (2)g(x)=x2-alnx+x2-1. 当0<x<1时，gx=1-alnx, 因为a>0,所以8x在(0,1上单调递减。.7分 当x≥1时，gx=2x2-1-alnx, 由gx=4x-a= (2x+a)(2x-a. 令8'(=0，得x=a 9分 当E≤1，即0<a≤4时，g>0, 2 所以gx在1，+0）上单调递增。… 11分 当ya>1,即a>4时， 2 当1≤x<a时，g(x到<0：当x>E时，g>0, 2 2 所以在） 上单调递减， 在 上单调递增 14分 综上，当0<a≤4时，gx在(0,1上单调递减，在1，+0上单调递增； 当a>4时， 上单调递减， 上单调递增。… 15分 17.【详解】(1) P M E B 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 取BE的中点Q,连接MQ,QN, …1分 因为M,Q分别为PE,BE的中点，所以MQ∥PB, 又MQ中平面PBC,PBc平面PBC,所以MQW平面PBC, 2分 因为O,N为BE,CD的中点，所以QW为梯形BCDE的中位线，则NQIlBC, 又Q丈平面PBC,BCc平面PBC,所以NQI∥平面PBC, 又Mg,NQc平面MQN,MQ∩Ng=Q,所以平面MQN/∥平面PBC,. 4分 因为MNc平面MQN,所以MNI∥平面PBC; 5分 (2) P N B G 取DE,BC的中点H,G,连接PH,HG,则PH⊥DE,HG⊥DE, 因为平面PDE⊥平面BCDE,所以PH⊥平面BCDE, 7分 因为HGc平面BCDE,所以PH⊥HG, 以H为原点，以HG,HD,HP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系. 则P0,0,V5），E(0,-1,0）,GV5,0,0）8分 (i)易知梯形BCDE的外接圆的圆心为G,因为OG1平面BCDE,所以设O(V5,0,z), 由OE=0P得， 5-0+(0+12+(2-0)2=5-0+(0-02+(,-5 解得， 10分 3 所这0的半径的平方R=3+1+兮号 故球0的表面积为S=4R=52 11分 mw9》小a}m停2》m- MN.m=0 设平面OMN的一个法向量为i=(x,,), OM.m=0 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 则 6+90段=1.后=32. 23=0 .13分 630 由(1)可知，HG⊥平面PDE,则元=(1,0,0)为平面PDE的一个法向量， 所以os(a,=同同1kr+55可+2 m.n √517 517· 故平面OMN与平面PDE的夹角的余弦值为V57 15分 517 18、【详解】D由题意可知，X-A, .1分 3次均为反面，甲=0时，PX-0=C得图-分 2次反面1次正面、甲X=1时，川x==C得)-号 1次反面2次正重，事X-2时，PX=2-C喝)-号 3次药为正面，即X=3时，Px=动=C)=司 4分 所以X的分布列为： 0 2 3 8 2 1 27 9 9 27 EX)=3×5=1 3 52分 (2)设？为k次投掷中正面出现偶数次的概率， 由全概率公式可得，P=P-1-p)+(1-P-1p=p+(1-2pP-1, 所以R-1-2p2》 8分 k=0时，正面次数为0，是偶数，故=1， 所以？骨引是首项为允号分公北为1-2即的等比数列 5/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以R-0+-2nr] …10分 (3)设Q为甲当前有k分，乙有(m+n-k)分时，甲最终获胜的概率. 由题意可知，2。=0,2m+n=1 2 由全概率公式可得，Q.=0+0 变形可得，Q+1-0:=2(0-0-), 12分 聚▣5.g-g-20ei-艺Qe-g-a1-g-小a-Q,Q=g-e. 当t=m+n时，Qn=2-0=1,解得0=2 1 2-1 所以0=2m*n-1 15分 所以在游戏开始时，甲有m分，即甲获胜的概率。=2” 2m-1 1_2"-1122m-2-2m*"+12"(2-2”）-1 因为0。-22"-12 <0, 2(2m*”-1 2(2m+"-1 所以甲获胜的概率低于乙获胜的概率.… 17分 19.【详解】①)设半销额的方程为+卡=a>办>0，x之0y, 因为半椭圆与y轴正半轴的交点为P(0,),可得b=1, … 1分 又因为椭圆的离心率为5，可得S5,即c=5。 a, 2 a 2 2 因为a=B+c2,即a2=1+5a,解得a=2, 3分 2 所以半椭圆的标准方程为+y2=1(x≥0).… 4 …4分 (2)设点N到直线MP的距离为d, 由点M(-1,0),P(0,),可得直线MP的方程为y=x+1,且MP=√2， 因为者：PW的面积为1，可得5-wm1=怎d=,籽得=，6分 2 这点N高在直袋y=+,为5，解得四-或 此时y=X-1或y=x十3， 7分 6/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y=x+3 当y=x+3时，联立方程组 +2=1'其中x≥0， x2 整理得5x2+24x+32=0,此时△<0，不符合题意，舍去，…8分 y=x-1 当y=x-1时，联立方程组{ +2=1’其中x≥0， x2 4 整理有5r-50,解号=0或x号此时点N-小或》 3 0 所以MN的方程为y广0司 -1-0x+川=-x-1或y=85 (x+1= 33 + 10分 （3由S=Samo40sin∠A0BS=Sam号oco0sn∠CoD, 因为LAOB=∠COD,可得sin∠AOB=sin ZCOD所以 SOAOBX S2 OCOD xC·xo ,.11分 设直线AB:y=1(0<1<1,不妨设点A在点B的右边， 当x<0时，可得“果圆”的方程为x2+y2=1, 联立方程 {女解-小F,此时8F刘 12分 当x20时，可得果圆的方程为号+y=1, 4 y=t 任+2=1解=2F,此时4) 联立方程组{x2 所以直线OA:y= 2-F,直线08y= 14分 t J= 联立方程组 41-2) 2N-?*,可得xc=4-3 x2+y2=1 t y=- V1-2 联立方程组 41-2） 4+2=1 可得x,=1+31 SOAlOB 21-2） V4-32)1+32 则S,OC OD xexD 41-t2) 2 16分 V4-32）1+3r） 7/8 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4-31+3Ps4-3+1+3 2 当且仅当4-3=1+3即=时，等号成立，所以是≤×三 S2224… 17分 B D 8/8 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，则等于（    ） A． B． C． D．或 3．的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C．6 D． 4．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 6．设是两个不重合的平面，则的充要条件是（   ） A．存在无数条直线与都平行 B．存在无数个平面与都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线．使得 7．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，右焦点为，过且斜率大于0的直线交的右支于，两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B．若，，，则 C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 10．已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（    ） A． B．是的一个对称中心 C．的最小正周期为 D．先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为 11．（）已知定点，，，是边长为的等边三角形，若动点到平面的距离是1，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离的最大值是6 C．当点（异于点）到平面的距离是1时， D．若，，，在一个半径为5的球的球面上，则的轨迹长度是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若的图象在点处的切线经过点，则实数______． 13．已知数列的前项和为，若，则__________. 14．动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 17．（15分）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）投掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，回答下列问题. (1)若，在3次投掷试验中，设出现正面的次数为，求的分布列与数学期望； (2)求在次投掷试验中正面出现偶数次的概率； (3)现有甲和乙二人用此不均匀硬币玩掷硬币游戏，规则如下：若出现正面，则甲加一分，乙扣一分，若出现反面，则甲扣一分，乙加一分，当一方分数为0分时游戏结束，另一方获胜.在游戏开始时，甲有分，乙有分，若，证明：不管满足何种关系，最终甲获胜的概率都低于乙获胜的概率. 19．（17分）（新情境）如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为. (1)求半椭圆的标准方程； (2)过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： (3)若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，则等于（    ） A． B． C． D．或 3．的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C．6 D． 4．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 6．设是两个不重合的平面，则的充要条件是（   ） A．存在无数条直线与都平行 B．存在无数个平面与都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线．使得 7．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，右焦点为，过且斜率大于0的直线交的右支于，两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B．若，，，则 C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 10．已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（    ） A． B．是的一个对称中心 C．的最小正周期为 D．先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为 11．（）已知定点，，，是边长为的等边三角形，若动点到平面的距离是1，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离的最大值是6 C．当点（异于点）到平面的距离是1时， D．若，，，在一个半径为5的球的球面上，则的轨迹长度是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若的图象在点处的切线经过点，则实数______． 13．已知数列的前项和为，若，则__________. 14．动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 17．（15分）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）投掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，回答下列问题. (1)若，在3次投掷试验中，设出现正面的次数为，求的分布列与数学期望； (2)求在次投掷试验中正面出现偶数次的概率； (3)现有甲和乙二人用此不均匀硬币玩掷硬币游戏，规则如下：若出现正面，则甲加一分，乙扣一分，若出现反面，则甲扣一分，乙加一分，当一方分数为0分时游戏结束，另一方获胜.在游戏开始时，甲有分，乙有分，若，证明：不管满足何种关系，最终甲获胜的概率都低于乙获胜的概率. 19．（17分）（新情境）如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为. (1)求半椭圆的标准方程； (2)过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： (3)若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 40 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D A M D B4 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）