1.4 线段的垂直平分线(1) 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明及其应用 1.4 线段的垂直平分线(1) 01 课前预习 02 例题精讲 目录 03 课堂检测 目录 1． 线段垂直平分线的性质 (1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ⁠； (2)几何语言：如图，∵CD是线段AB的垂直平分线，∴ ⁠． 相等 AC＝BC 2． 线段垂直平分线的判定 (1)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ⁠上； (2)几何语言：如图，∵ ，∴点P在线段AB的垂直平 分线上． 垂直平分线 AP＝BP   线段垂直平分线的性质 ⁠ 例1 如图，直线MN⊥AB于点C，且AC＝BC，P是MN上一 点．求证：PA＝PB. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA＝PB. 1. (1)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一 点．已知AD＝CD＝4，则线段PB的长为 ⁠． 4 (2)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线MN交AC于点D，交 AB于点E，连接DB. 若AC＝6，BC＝3，则△BCD的周长为 ⁠． 9 例2 如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点．求 证：∠ECF＝∠EDF. 证明：∵E，F是线段CD的垂直平分线AB上两点， ∴EC＝ED，FC＝FD. ∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC. ∴∠ECD＋∠FCD＝∠EDC＋∠FDC. ∴∠ECF＝∠EDF. 2. 如图，在△ABD中，∠ABD＝50°，C是BD延长线上一点，AD 是线段BC的垂直平分线，E是AD上一点，且∠ABE＝∠DBE，连接 EC，求∠AEC的度数． 解：∵∠ABD＝50°，∠ABE＝∠DBE，∠DBE＝ ∠ABD＝25°. ∵AD是线段BC的垂直平分线， ∴BE＝CE，∠EDC＝90°. ∴∠C＝∠DBE＝25°. ∴∠AEC＝∠EDC＋∠C＝115°.  　线段垂直平分线的判定 ⁠ 例3 (北师八下P33例1改编)如图，△ABC和△OBC均是以线段BC 为底边的等腰三角形．求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：由题意知，AB＝AC，OB＝OC. ∴点A，O都在线段BC的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线， ∴直线AO垂直平分线段BC. 3. 如图，AD与BC相交于点O，且OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝ DE. 求证：OE垂直平分BD. 证明：在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD(ASA)．∴OB＝OD. ∴点O在线段BD的垂直平分线上． ∵BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上． ∴OE垂直平分BD. 1． 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列 结论不一定成立的是(　D　) A. AB＝AD B． AC平分∠BCD C. BC＝CD D． AD＝CD D 2． 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACD＝70°，D为线 段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD＝(　B　) A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° B 3． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB于点E. (1)若∠BAC＝50°，则∠EDA＝ ⁠°. 65 (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC. 又∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD(AAS)． ∴AE＝AC，DE＝DC. ∴直线AD是线段CE的垂直平分线． 4． 如图，在△ABC中，点E，F分别在BC，AC上，EF是线段 AC的垂直平分线，AD⊥BC于点D，D为BE的中点． (1)求证：AB＝CE； (1)证明：如图，连接AE. ∵AD⊥BC，D为BE的中点，∴AD垂直平分BE. ∴AB＝AE. ∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE. ∴AB＝CE. (2)若∠C＝32°，求∠BAC的度数． (2)解：∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝32°.∴∠AEB＝64°. ∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°. ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝84°. $