1.3 直角三角形(1) 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明及其应用 1.3 直角三角形(1) 01 课前预习 02 例题精讲 目录 03 课堂检测 目录 1． 直角三角形的两个锐角 ⁠． 2． 有两个角 ⁠的三角形是直角三角形． 3． 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 ⁠的 平方． 4． 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的 ⁠，那么这个三角形是直角三角形． 5． 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的 和 ，那么这两个命题称为 ⁠． 互余 互余 斜边 平方 结论 条件 互逆命题  　直角三角形中角的性质及判定 ⁠ 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A＝ ⁠°. 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝3∠B，则∠B＝ ⁠°. 36 22.5 例2 如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC的延长线上，AC 交DE于点O，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B. 求证：△AOE是直 角三角形． 证明：∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°. ∴∠BAC＋∠B＝90°. ∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B， ∴∠AOE＝∠B. ∴∠BAC＋∠AOE＝90°. ∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形． 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，AC 上，且∠1＝∠2，求证：△ADE是直角三角形． 证明：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°. ∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°. ∴∠ADE＝90°. ∴△ADE是直角三角形．   直角三角形中边的性质及判定 ⁠ 例3 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15， DB＝9. (1)求AD的长； 解：(1)∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°. 在Rt△BCD中，BC＝15，DB＝9， ∴CD＝ ＝ ＝12. 在Rt△ACD中，AC＝20， ∴AD＝ ＝ ＝16. (2)判断△ABC的形状，并说明理由． (2)△ABC是直角三角形．理由如下： 在△ABC中，AB＝AD＋DB＝25，AC＝20，BC＝15， ∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形． 3. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝ 12，BC＝13. (1)BD的长为 ⁠； (2)求证：△BCD是直角三角形． 证明：∵CD＝12，BC＝13，BD＝5， ∴CD2＋BD2＝122 + 52＝169，BC2＝132＝169. ∴CD2＋BD2＝CB2. ∴△BCD是直角三角形． 5   逆命题、逆定理 ⁠ 例4 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)若a＞0，b＞0，则ab＞0； 解：(1)若ab＞0，则a＞0，b＞0.不成立． (2)全等三角形的对应边相等． 解：(2)对应边相等的三角形是全等三角形．成立． 4. 下列叙述中，正确的有(　A　) ①每个命题都有逆命题； ②真命题的逆命题是真命题； ③假命题的逆命题是真命题； ④命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题． A. 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 A 1． 如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D. 若∠C＝40°，则∠1的度 数为(　C　) A. 30° B． 40° C. 50° D． 60° C 2． 在△ABC中，若∠A＝∠B＝45°，BC＝3，则AB的长 为 ⁠． 3． 在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，则 △ABC的面积是 cm2. 4． 若△ABC的三边长为a，b，c，且满足|a－7|＋(b－24)2＋ ＝0，则△ABC的形状是 ⁠． 5． 命题“等腰三角形有两个相等的角”的逆命题是 ⁠ ⁠． 3 24 直角三角形 有两个角相等 的三角形是等腰三角形 6． (北师八下P27随堂练习T2改编)如图，在△ABC中，AB＝AC ＝13 cm，D是AB上一点，且CD＝12 cm，BD＝8 cm.求证：△ADC 是直角三角形． 证明：∵AB＝13 cm，BD＝8 cm， ∴AD＝AB－BD＝13－8＝5(cm)． ∵AC＝13 cm，CD＝12 cm，∴AD2＋CD2＝AC2. ∴△ADC是直角三角形． 7． 数形结合 如图，E，F是等腰直角三角形ABC的斜边BC上的 两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC于点C，且CD＝BE，连接AD， DF. (1)求证：△ABE≌△ACD； 证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC. ∴∠B＝∠ACB＝45°. ∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝45°＝∠B. 又BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(SAS)． (2)求证：EF2＝BE2＋CF2. (2)由(1)知，△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD. ∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝90°. ∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝45°＝∠EAF. ∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF(SAS)．∴EF＝DF. 在Rt△DCF中，根据勾股定理，得DF2＝CD2＋CF2. ∵CD＝BE，∴EF2＝BE2＋CF2. $