1 1.3 第2课时 利用“HL”判定两个直角三角形全等-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第2课时 利用“HL”判 知识储备 和一条 分别相等的两个 直角三角形全等，简述为“ ”或 01基础练 骨必备如识梳理一 知识点一 用“HL”判定两个直角三角形全等 1.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判 定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加 的条件是 A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DB D.AB-CD 2.(1)(答题模板)如图，AB⊥CB,EF⊥DF,垂 足分别为B,F,AB=EF,AD=CE。求证： BC=FD, D 证明：，'AB⊥CB,EF⊥FD, ∠B=∠F= .AD=CE,∴.AD+CD=CE十 即AC= AC= 在Rt△ABC和Rt△EFD中， AB= ≌Rt△EFD(HL). .BC=FD。 (2)【针对练习】如图，∠ACB=∠CFE=90°， AB=DE,BC=EF。求证：AD=CF 13八年级数学下册·BS 定两个直角三角形全等 知识点二直角三角形全等判定的灵活运用 3.(2025·金昌月考)下列条件中，不能判定两 个直角三角形全等的是 () A.两条直角边对应相等 B.斜边和一个锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角分别相等 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F。 则图中全等三角形共有 () A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 B D 第4题图 第5题图 5.如图，AC⊥AB,BD⊥CD,请添加一个条件， 使△ABC≌△DCB: (1)添加 ,根据是 (2)添加 ,根据是 (3)添加 ,根据是 (4)添加 ,根据是 易错点○忽视分类讨论而漏解 6.如图，有一个Rt△ABC,∠C= 90°，AC=16,BC=8,一条线段 B MN=AB,M,N分别在AC和 过A点且垂直于AC的射线AP上运动， AM= 时，才能使△ABC与 △AMN全等。 【点拨】当两个全等的直角三角形的对应点不明确 时，要注意分类讨论思想的运用，本题可分为 △CBA≌△AMN或△CBA≌△ANM两种情况。 02综合练 身关锭能力提升一 7.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂 足分别为D,E,BE与CD相 交于点O,且AD=AE。有下 列结论：①△ADO≌△AEO; ②∠B=∠C;③△BOD≌△COE;④图中有 四对全等三角形。其中正确的结论有() A.1个B.2个C.3个 D.4个 8.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别为D,E,若BE=2cm, AD=6cm,则DE=cm。 第8题图 第9题图 9.如图，AD,BE是△ABC的高，AD与BE相 交于点F,若AD=BD=6,且AF=2,则 △ACD的面积为 10.如图，AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥ AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F。求证： CE=DF。 03素养练 杀李科去米路有一 11.如图①，已知点P(2,2),点A在x轴正半轴 上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA= PB。 (1)求证：PA⊥PB; (2)若点A(8,0),则点B的坐标为 (3)求OA-OB的值； (4)如图②，若点B在y轴正半轴上运动，其 他条件不变，直接写出OA十OB的值。 (提示：过点P作PM⊥x轴于点M,PN ⊥y轴于点N) 图① 图② 解题妙招 作垂线构造直角三角形解决坐标系中有关线 段的问题(T11) 已知平面直角坐标系中某点的坐标，可过该 点分别作x轴，y轴的垂线，构造两个直角三角 形，把点的坐标转化为线段的长，再分析已知条 件，推出这两个三角形全等所差的条件，从而证明 三角形全等；然后利用全等三角形的对应边相等、 对应角相等解决相关线段或角度的问题。 助学助教优质高效14AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。D是BC的中点，∴.BD=CD :DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°。∴∠BDE=∠FDC=60°。 .∠EDF=180°-60X2=60°.又：∠B=∠C=30∴.DE=号BD.DF=2CD. 且BD=CD。∴DE=DF。又，∠EDF=6O°，△DEF是等边三角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余3.平方和平方4.直角5.结论条件 基础练 1.C2.C3.154.95.5或√76.C7.248.解：在△ABC中，AB1 BC,根据勾股定理，得AC2=AB2十BC=12+22=5。在△ACD中，AC+ CD=5+4=9,AD=9,∴.AC+CD=AD。∴.△ACD为直角三角形。 9.C10.两直线平行，内错角相等真11.C12.√8913.9或1 14.解：EA平分∠BAD,ED平分∠ADC,.∠BAD=2∠DAE,∠ADC= 2∠ADE。又：AB∥CD,∴.∠BAD+∠ADC=180°，即2∠DAE+2∠ADE =180°。∴∠DAE+∠ADE=90°。.△AED是直角三角形，且∠AED= 90°。.AE+DE=AD2。.AD=√32+4=5。 微专题二构造直角三角形 【例】AB4CD2AE2W3CD√32W3-24-√3 【针对训练】 1.33 2 2.23.63 第2课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 知识储备 斜边直角边斜边、直角边HL 基础练 1.A2.(1)90°CD EDED EF Rt△ABC(2)证明：，∠ACB= ∠CFE=90°，∴.∠ACB=∠DFE=90°。在Rt△ACB和Rt△DFE中， E-PR△ACB≌RADFE(HI),AC=DP,AC-AF=DF -AF,即AD=CF。3.D4.B5.(1)AB=DCHL(2)AC=DB HL(3)∠ABC=∠DCB AAS(4)∠ACB=∠OBC AAS6.8或16 7.D8.49.1210.证明：AD⊥BD,AC⊥BC,∴.∠ADB=∠ACB= QO°，在R△ADB和R△BCA中ABC:R△ADB≌RI△BCA(H ∴.∠DAB=∠CBA。,CE⊥AB,DF⊥AB,∴.∠DFA=∠CEB=90°。在 「∠DAF=∠CBE, △ADF和△BCE中，/AFD=/BEC,∴.△ADF≌△BCE(AAS)。..CE LAD-BC. =DF。11.解：(1)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,则 ∠MPN=360°-∠VOM-∠ONP-∠PMO=90°，∠PMA=∠PNB= 90°。：P(2,2),∴.PM=PN=2。在Rt△AMP和Rt△BNP中， PA-PR△AMP≌R△BNP(H).∠APM=∠BPN。 ∴.∠APB=∠APM+∠BPM=∠BPN+∠BPM=∠MPN=90°。∴.PA ⊥PB。(2)(0,-4)。(3)OA-OB=(OM+MA)-(BN-ON)=OM+ON= 4。(4)OA+OB=4.。 ▣ 图① 图② 17