专题36 平行四边形和梯形（思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练）-2026年小升初数学复习讲义人教版

专题36 平行四边形和梯形 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、平行四边形的概念及特点 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 基本特征 (1)边的关系：两组对边分别平行；两组对边分别相等。 (2)角的关系：两组对角分别相等；相邻的两个角互补（和为 ）。 3. 特性：不稳定性 (1)平行四边形具有不稳定性（易变形）。只要四条边的长度确定，其形状并不唯一确定，角度可以改变。 (2)实际应用：利用这一特性，生活中常见伸缩门、升降机、折叠衣架等结构。 (3)对比：三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性。 4. 特殊平行四边形 (1)长方形：有一个角是直角的平行四边形。它是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，且四个角都是直角，对角线相等。 (2)正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。它是特殊的长方形，也是特殊的菱形，具备最完美的对称性。 考点二、平行四边形的面积 1. 计算公式 (1)字母公式： ①　 表示面积 ②　 表示底 ③　 表示底对应的高 2. 公式推导（割补法/转化法） (1)操作过程：沿平行四边形的一条高剪开，将剪下的直角三角形平移到另一边，可以拼成一个长方形。 (2)对应关系： ①　拼成的长方形的长等于平行四边形的底。 ②　拼成的长方形的宽等于平行四边形的高。 ③　长方形的面积 = 长 宽 平行四边形的面积 = 底 高。 3. 关键注意事项 (1)底高对应：计算时，高必须是这条底边上的垂直距离。若已知多条高，需找准与底对应的那一条。 (2)单位统一：计算前需确保底和高的长度单位一致。 (3)逆运算： ①　已知面积和底，求高： ②　已知面积和高，求底： (4)等底等高：等底等高的平行四边形，面积一定相等；但形状可能不同。 考点三、梯形的概念及特点 1. 定义 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (1)关键词解析：“只有”意味着另一组对边不平行。如果两组对边都平行，则是平行四边形，不是梯形。 2. 各部分名称 (1)底：平行的一组对边叫做梯形的底。 ①　通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底（位置不固定，取决于摆放，本质是长短之分）。 (2)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 (3)高：两底之间的垂直距离叫做梯形的高。 3. 基本特征 (1)只有一组对边平行。 (2)另一组对边（腰）不平行。 (3)同一底上的两个角之和不一定相等，但同旁内角互补（即上底与腰的夹角 + 下底与腰的夹角 = ）。 考点四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 1. 直角梯形 (1)定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 (2)特点： ①　必有两个直角（因为上下底平行，同旁内角互补，若一个角为 ，则相邻角也为 ）。 ②　其中一条腰垂直于底边，这条腰的长度就是梯形的高。 ③　另一条腰是斜边，长度大于高。 2. 等腰梯形 (1)定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 (2)特点： ①　两腰长度相等。 ②　同一底上的两个底角相等（即上底两角相等，下底两角相等）。 ③　两条对角线长度相等。 ④　是轴对称图形，只有 1条 对称轴（经过上下底中点的直线）。 3. 一般梯形 (1)两腰不相等，且没有直角的梯形。既不是直角梯形，也不是等腰梯形。 考点五、平行四边形和梯形的高及画法 1. 高的定义共性 从平行四边形或梯形的一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做高，这条对边叫做底。 2. 平行四边形的高 (1)数量：平行四边形有无数条高。 (2)种类：有两组不同的高（分别对应两组不同的底）。 (3)画法步骤： ①　选底：确定一条边作为底。 ②　定点：在对边上任取一点（通常选顶点以便作图）。 ③　作垂：用三角尺的直角边与底重合，平移至定点，画垂线段。 ④　标注：标出垂直符号，写上“高”。 3. 梯形的高 (1)数量：梯形有无数条高。 (2)特征：所有高的长度都相等（因为平行线间的距离处处相等）。 (3)画法步骤： ①　选点：通常从上底的一个顶点出发。 ②　作垂：向下底画垂线。 ③　注意：垂足必须落在下底（或其延长线，但在小学阶段通常指落在下底线段上）上。 ④　标注：标出垂直符号，写上“高”。 (4)特殊情况：直角梯形中，垂直于底边的腰本身就是高，无需额外画线，但需识别出来。 考点六、梯形的面积 1. 计算公式 (1)字母公式： ①　 表示面积 ②　 表示上底 ③　 表示下底 ④　 表示高 2. 公式推导（拼接法/转化法） (1)操作过程：用两个完全一样的梯形，其中一个旋转 ，与另一个拼在一起，可以拼成一个平行四边形。 (2)对应关系： ①　拼成的平行四边形的底 = 梯形的 上底 + 下底 ( )。 ②　拼成的平行四边形的高 = 梯形的 高 ( )。 ③　平行四边形的面积 = 底 高 = 。 ④　因为梯形面积是平行四边形面积的一半，所以 。 3. 关键注意事项 (1)括号不可丢：必须先算上底加下底的和，再乘高，最后除以2。运算顺序错误会导致结果偏差。 (2)除以2：这是梯形面积公式最容易遗漏的步骤，源于“两个梯形拼成一个平行四边形”的推导逻辑。 (3)逆运算： ①　已知面积、上底、下底，求高： ②　已知面积、高、上底，求下底： 例题讲解 题型一、平行四边形的概念及特点 【例题1】任何两个等底等高的三角形都能拼成一个平行四边形。( ) 【练习1】将两个长15厘米，宽3厘米的长方形摆成以下四种形状（如图），重叠部分都是( )形，理由是( )，4个重叠部分的( )是相等的。 题型二、平行四边形的面积 【例题2】奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 【练习2】一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是( )厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 题型三、梯形的概念及特点 【例题3】如图所示，将一张长为9厘米，宽为3厘米的长方形纸和一张等腰三角形纸交叉摆放，重叠部分是( )形，它的高是( )厘米。 【练习3】如图，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是9厘米。图中最大梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 题型四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【例题4】一个等腰梯形，下底是上底的3倍，把上底延长12厘米，恰好变成一个周长52厘米的平行四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 【练习4】有一块梯形的场地（如下图），现在需要划分出一个最大的正方形作为比赛场地，剩下的区域作为摄像区，要给摄像区的一周围上栅栏，至少需要多少米的栅栏？ 题型五、平行四边形和梯形的高及画法 【例题5】画出下面图形指定底边上的高。 【练习5】在下面的方格里，先分别画一个钝角三角形、一个梯形、一个平行四边形，再分别画出它们的高。 题型六、梯形的面积 【例题6】看图列方程求解。 【练习6】社区制作梯形环保宣传牌，这个牌子的上底是4米，下底是6米，高是2米，工人师傅还要给牌子刷环保油漆（只刷正面），每平方米用环保油漆0.6千克，刷好这块广告牌至少需要多少千克油漆？ 真题演练 1．（2024·湖南怀化·毕业考真题）如图，一个图形被遮住了一部分，那么这个图形不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．四边形 D．三角形 2．（2025·浙江宁波·毕业考真题）下列选项中，不同于“正方形是特殊的长方形”这种关系的是（    ）。 A．等腰三角形和等边三角形 B．长方体和正方体 C．相交与垂直 D．梯形与平行四边形 3．（2025·甘肃武威·毕业考真题）在圆、平行四边形、三角形、角、等腰梯形五类图形中，一定有对称轴的有（    ）种。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024·河南南阳·毕业考真题）小明将一些数学本摞成一个长方体，它的前面是一个长方形，再将它均匀地斜放，比较这两摞数学本的前面，（    ）相同。 A．形状 B．面积 C．周长 D．周长和面积 5．（2024·云南昭通·毕业考真题）张阿姨靠墙边围了一块梯形的菜地，围菜地的篱笆长35m。求这块菜地的面积，下面4位同学的算法或想法，正确的是（    ）。 A．（8＋12）×15÷2 B．（6＋14）×15÷2 C．（35－15）×15÷2 D．不知道上、下底，无法计算 6．（2024·宁夏固原·毕业考真题）用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼好的平行四边形底是13厘米，高是8厘米。其中一个梯形的面积是（    ）平方厘米。 A．46 B．52 C．88 D．104 7．（2024·河南郑州·毕业考真题）一个等腰梯形中三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。那么，这个等腰梯形的一个腰长是（    ）厘米。 A．25 B．55 C．15 D．20 8．（2025·河南商丘·毕业考真题）梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（    ）。 A． B． C． D． 9．（2024·山西长治·毕业考真题）一个平行四边形的底是12厘米，它的高是底的，它的面积是( )平方厘米。 10．（2025·重庆綦江·毕业考真题）一个四边形，它的四个顶点依次用数对表示是（2，2）、（4，5）、（7，5）、（5，2），那么这个四边形是一个( )形。 11．（2024·甘肃兰州·毕业考真题）如图，一张梯形彩纸的面积是40cm2，它的高是( )cm，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2。 12．（2025·湖北武汉·毕业考真题）图中一共有( )个平行四边形。 13．（2024·河南驻马店·毕业考真题）一个平行四边形，底长是15cm，高是8cm，这个平行四边形的面积是( )cm2，和它等底等高的三角形的面积是( )cm2。 14．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个梯形的高为7厘米，它与上底的乘积是78.4，与下底的乘积是178.4，那么这个梯形的面积是( )平方厘米。 15．（2025·重庆江北·毕业考真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是( )平方厘米。 16．（2025·河南开封·毕业考真题）奇思把一张长方形纸折叠成如图所示的梯形（单位：cm），这个梯形的高是( )cm，这张长方形纸的面积是( )cm2。 17．（2025·广东潮州·毕业考真题）图中，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是( )cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是( )。 18．（2024·山东济南·毕业考真题）如图，在平行四边形中，梯形部分的面积比三角形面积多15cm2，那么图中三角形的面积是( )cm2。 19．（2025·北京丰台·毕业考真题）中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如图所示。这块“腰铁”截面的面积是( )平方厘米。 20．（2024·河北保定·毕业考真题）求出如图梯形的面积。 21．（2024·湖南株洲·毕业考真题）计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 22．（2025·重庆綦江·毕业考真题）画一画。 （1）在格子图上画出图形的另一半，使它成为轴对称图形。 （2）在格子图上画出一个平行四边形，使它的面积与轴对称图形的面积相等。 23．（2025·浙江宁波·毕业考真题）将下面的长方形框架拉成平行四边形，面积（    ）（填“变大”“变小”或“不变”），请说明判断理由（可用语言表述、画图……等方式）。 24．（2024·山西忻州·毕业考真题）一块平行四边形菜地的高是6米，是底的25%，如果这块菜地一共种了720株茄子，那每株茄子占地多少平方米？ 25．（2025·福建宁德·毕业考真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 26．（2024·浙江宁波·毕业考真题）如图是汪伯伯以1∶3000的比例尺绘制的果园平面图。如果每2.5平方米种一棵果树，最多可栽多少棵？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题36 平行四边形和梯形 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、平行四边形的概念及特点 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 基本特征 (1)边的关系：两组对边分别平行；两组对边分别相等。 (2)角的关系：两组对角分别相等；相邻的两个角互补（和为 ）。 3. 特性：不稳定性 (1)平行四边形具有不稳定性（易变形）。只要四条边的长度确定，其形状并不唯一确定，角度可以改变。 (2)实际应用：利用这一特性，生活中常见伸缩门、升降机、折叠衣架等结构。 (3)对比：三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性。 4. 特殊平行四边形 (1)长方形：有一个角是直角的平行四边形。它是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，且四个角都是直角，对角线相等。 (2)正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。它是特殊的长方形，也是特殊的菱形，具备最完美的对称性。 考点二、平行四边形的面积 1. 计算公式 (1)字母公式： ①　 表示面积 ②　 表示底 ③　 表示底对应的高 2. 公式推导（割补法/转化法） (1)操作过程：沿平行四边形的一条高剪开，将剪下的直角三角形平移到另一边，可以拼成一个长方形。 (2)对应关系： ①　拼成的长方形的长等于平行四边形的底。 ②　拼成的长方形的宽等于平行四边形的高。 ③　长方形的面积 = 长 宽 平行四边形的面积 = 底 高。 3. 关键注意事项 (1)底高对应：计算时，高必须是这条底边上的垂直距离。若已知多条高，需找准与底对应的那一条。 (2)单位统一：计算前需确保底和高的长度单位一致。 (3)逆运算： ①　已知面积和底，求高： ②　已知面积和高，求底： (4)等底等高：等底等高的平行四边形，面积一定相等；但形状可能不同。 考点三、梯形的概念及特点 1. 定义 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (1)关键词解析：“只有”意味着另一组对边不平行。如果两组对边都平行，则是平行四边形，不是梯形。 2. 各部分名称 (1)底：平行的一组对边叫做梯形的底。 ①　通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底（位置不固定，取决于摆放，本质是长短之分）。 (2)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 (3)高：两底之间的垂直距离叫做梯形的高。 3. 基本特征 (1)只有一组对边平行。 (2)另一组对边（腰）不平行。 (3)同一底上的两个角之和不一定相等，但同旁内角互补（即上底与腰的夹角 + 下底与腰的夹角 = ）。 考点四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 1. 直角梯形 (1)定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 (2)特点： ①　必有两个直角（因为上下底平行，同旁内角互补，若一个角为 ，则相邻角也为 ）。 ②　其中一条腰垂直于底边，这条腰的长度就是梯形的高。 ③　另一条腰是斜边，长度大于高。 2. 等腰梯形 (1)定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 (2)特点： ①　两腰长度相等。 ②　同一底上的两个底角相等（即上底两角相等，下底两角相等）。 ③　两条对角线长度相等。 ④　是轴对称图形，只有 1条 对称轴（经过上下底中点的直线）。 3. 一般梯形 (1)两腰不相等，且没有直角的梯形。既不是直角梯形，也不是等腰梯形。 考点五、平行四边形和梯形的高及画法 1. 高的定义共性 从平行四边形或梯形的一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做高，这条对边叫做底。 2. 平行四边形的高 (1)数量：平行四边形有无数条高。 (2)种类：有两组不同的高（分别对应两组不同的底）。 (3)画法步骤： ①　选底：确定一条边作为底。 ②　定点：在对边上任取一点（通常选顶点以便作图）。 ③　作垂：用三角尺的直角边与底重合，平移至定点，画垂线段。 ④　标注：标出垂直符号，写上“高”。 3. 梯形的高 (1)数量：梯形有无数条高。 (2)特征：所有高的长度都相等（因为平行线间的距离处处相等）。 (3)画法步骤： ①　选点：通常从上底的一个顶点出发。 ②　作垂：向下底画垂线。 ③　注意：垂足必须落在下底（或其延长线，但在小学阶段通常指落在下底线段上）上。 ④　标注：标出垂直符号，写上“高”。 (4)特殊情况：直角梯形中，垂直于底边的腰本身就是高，无需额外画线，但需识别出来。 考点六、梯形的面积 1. 计算公式 (1)字母公式： ①　 表示面积 ②　 表示上底 ③　 表示下底 ④　 表示高 2. 公式推导（拼接法/转化法） (1)操作过程：用两个完全一样的梯形，其中一个旋转 ，与另一个拼在一起，可以拼成一个平行四边形。 (2)对应关系： ①　拼成的平行四边形的底 = 梯形的 上底 + 下底 ( )。 ②　拼成的平行四边形的高 = 梯形的 高 ( )。 ③　平行四边形的面积 = 底 高 = 。 ④　因为梯形面积是平行四边形面积的一半，所以 。 3. 关键注意事项 (1)括号不可丢：必须先算上底加下底的和，再乘高，最后除以2。运算顺序错误会导致结果偏差。 (2)除以2：这是梯形面积公式最容易遗漏的步骤，源于“两个梯形拼成一个平行四边形”的推导逻辑。 (3)逆运算： ①　已知面积、上底、下底，求高： ②　已知面积、高、上底，求下底： 例题讲解 题型一、平行四边形的概念及特点 【例题1】任何两个等底等高的三角形都能拼成一个平行四边形。( ) 【答案】× 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，如果两个三角形等底等高，那么这两个三角形的面积一定相等，而面积相等的三角形的形状并不一定完全一样，形状不一样的两个三角形不能拼成一个平行四边形，据此判断。 【详解】如图： 图中两个三角形等底等高，但形状不同，所以这两个三角形不能拼成一个平行四边形。 只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。 原题说法错误。 故答案为：× 【练习1】将两个长15厘米，宽3厘米的长方形摆成以下四种形状（如图），重叠部分都是( )形，理由是( )，4个重叠部分的( )是相等的。 【答案】 平行四边 四边形的两组对边互相平行 高 【分析】根据题意，将两个长方形交叉摆放后，重叠部分的图形的四条边都是长方形的长的一部分，所以两组对边分别平行，从而判断图形是平行四边形。 过重叠部分图形的一个顶点向对边作一条高，这条高与长方形的宽相等，所以重叠部分的高都相等，据此解答。 【详解】将两个长15厘米，宽3厘米的长方形摆成以下四种形状（如图），重叠部分都是（平行四边）形，理由是（四边形的两组对边互相平行），4个重叠部分的（高）是相等的。 题型二、平行四边形的面积 【例题2】奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 【答案】3.6// 【分析】图形剪拼过程中，面积不变，底也不变，即三角形底和平行四边形的底相等，面积相等，平行四边形高＝面积÷底。 【详解】平行四边形面积＝三角形面积＝21.6cm²，平行四边形底＝三角形的底＝6cm，则平行四边形高为： 21.6÷6＝3.6（cm） 【练习2】一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是( )厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 【答案】 9 4 【分析】三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知三角形面积为36平方厘米，高是8厘米，把数据代入计算即可得出三角形的底。当平行四边形与三角形等底等积时，三角形的高是平行四边形高的2倍，所以用三角形的高除以2即可得出平行四边形的高。 【详解】36×2÷8＝9（厘米） 8÷2＝4（厘米） 一个三角形的底是9厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是4厘米。 题型三、梯形的概念及特点 【例题3】如图所示，将一张长为9厘米，宽为3厘米的长方形纸和一张等腰三角形纸交叉摆放，重叠部分是( )形，它的高是( )厘米。 【答案】 梯 3 【分析】观察上图可知，长方形的对边平行，所以重叠部分有一组对边平行，另一组对边是三角形两条边上的一部分，这组对边不平行，只有一组对边平行的四边形叫做梯形；长方形的宽与梯形的高相等，据此填空即可。 【详解】重叠部分是梯形；它的高是3厘米。 【练习3】如图，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是9厘米。图中最大梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 5 9 14 【分析】一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形，图中最大梯形的上底和小正方形的边长相同为5厘米；下底和大正方形的边长相同为9厘米，高是两个正方形边长的和5＋9＝14厘米。 【详解】5＋9＝14（厘米） 如图，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是9厘米。图中最大梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，高是14厘米。 题型四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【例题4】一个等腰梯形，下底是上底的3倍，把上底延长12厘米，恰好变成一个周长52厘米的平行四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 【答案】8 【分析】根据等腰梯形下底是上底的 3 倍、上底延长 12 厘米变平行四边形，用差倍问题公式求出上底和下底的长度。差倍问题公式：。平行四边形的周长减2个梯形下底的长度等于梯形两腰的长度和，再除以2即等于一条腰的长度。 【详解】 所以原来梯形的一条腰长 8 厘米。 【练习4】有一块梯形的场地（如下图），现在需要划分出一个最大的正方形作为比赛场地，剩下的区域作为摄像区，要给摄像区的一周围上栅栏，至少需要多少米的栅栏？ 【答案】18米 【分析】 梯形的高为6米，上底为6米，因此能划分出最大正方形的边长为6米，剩余摄像区由三条边围成，一条是正方形的边长6米，一条是梯形的下底与上底的差，即10－6＝4（米），另一条边是梯形的腰8米，把摄像区的三条边长度相加，即可求出至少需要多少米长的栅栏。 【详解】10－6＝4（米） 4＋6＋8 ＝10＋8 ＝18（米） 答：至少需要18米的栅栏。 题型五、平行四边形和梯形的高及画法 【例题5】画出下面图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】平行四边形的高：从一条边的任意一点向对边（底边）作垂线，这点和垂足之间的线段就是高。梯形的高：两底之间的垂线段，从一底的任意一点向另一底（底边）作垂线即可。用三角尺的直角边对齐底边，另一条直角边过对边上的点，画出垂线段并标直角符号。 【详解】如图所示： 【练习5】在下面的方格里，先分别画一个钝角三角形、一个梯形、一个平行四边形，再分别画出它们的高。 【答案】见详解 【分析】钝角三角形定义：有一个角是钝角的三角形，先在方格中确定三个顶点，使其中一个内角为钝角，再连接成三角形；接着根据三角形高的定义，从钝角的对边或锐角顶点向对边（或对边延长线）作垂线段，即为高； 梯形定义：只有一组对边平行的四边形，在方格中确定四个顶点，使其中一组对边平行，另一组对边不平行，再连接成梯形；然后从梯形的上底（或下底）的一个顶点向对边作垂线，得到高； 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形，在方格中确定四个顶点，使两组对边分别平行且相等，再连接成平行四边形；然后从平行四边形的一个顶点向对边作垂线，得到高。 【详解】 题型六、梯形的面积 【例题6】看图列方程求解。 【答案】 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2列方程求x即可。 【详解】（5＋x）×6÷2＝45 （5＋x）×3＝45 （5＋x）×3÷3＝45÷3 5＋x＝15 x＝15－5 x＝10 【练习6】社区制作梯形环保宣传牌，这个牌子的上底是4米，下底是6米，高是2米，工人师傅还要给牌子刷环保油漆（只刷正面），每平方米用环保油漆0.6千克，刷好这块广告牌至少需要多少千克油漆？ 【答案】6千克 【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此求出梯形环保宣传牌的面积，再用梯形环保宣传牌的面积×每平方米用环保油漆的重量，即可解答。 【详解】（4＋6）×2÷2×0.6 ＝10×2÷2×0.6 ＝20÷2×0.6 ＝10×0.6 ＝6（千克） 答：刷好这块广告牌至少需要6千克油漆。 真题演练 1．（2024·湖南怀化·毕业考真题）如图，一个图形被遮住了一部分，那么这个图形不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．四边形 D．三角形 【答案】D 【分析】明确各图形的定义和特征： 平行四边形：两组对边分别平行的四边形 。仅从露出部分看，有可能存在两组对边分别平行的情况。 梯形：只有一组对边平行的四边形 。露出部分也有可能符合只有一组对边平行的特征。 四边形：由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形 。从露出部分能看到有四条边的迹象，所以有可能是四边形。 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形 。而图中明显至少能看到四条边的部分轮廓，所以不可能是三角形。 【详解】综上所述，三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形 。而图中明显至少能看到四条边的部分轮廓，所以不可能是三角形。 故答案为：D 2．（2025·浙江宁波·毕业考真题）下列选项中，不同于“正方形是特殊的长方形”这种关系的是（    ）。 A．等腰三角形和等边三角形 B．长方体和正方体 C．相交与垂直 D．梯形与平行四边形 【答案】D 【分析】A．等腰三角形是至少有两条边相等的三角形；等边三角形是三条边都相等的三角形。等边三角形满足等腰三角形“至少两条边相等”的条件，且额外具有“三边相等”的特性，符合“后者是前者的特殊情况”这一关系； B．长方体定义为六个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）的六面体；正方体的定义为六个面都是正方形的六面体。正方体满足长方体“六个面是长方形（正方形是特殊的长方形）”的条件，且额外具有“所有棱长都相等”的特性，符合“后者是前者的特殊情况”这一关系； C．相交的定义为两条直线在同一平面内有一个交点，垂直的定义为两条直线相交成直角（90度）。垂直必须满足相交的条件（有公共点），且额外具有“相交成直角”的特性，符合“后者是前者的特殊情况”这一关系； D．梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，平行四边形的定义为两组对边分别平行的四边形。梯形要求“只有一组对边平行”，平行四边形要求“两组对边分别平行”，二者定义不同，不存在包含关系，不符合“后者是前者的特殊情况”这一关系； 据此判断。 【详解】根据分析可知： A．当等腰三角形的三条边都相等时，就是等边三角形，所以等边三角形是特殊的等腰三角形，该选项正确； B．当长方体的棱长都相等时，就是正方体，所以正方体是特殊的长方体，该选项正确； C．当相交形成的角是90度时，就是垂直，所以垂直是相交的特殊情况，该选项正确； D．梯形不是平行四边形，平行四边形也不是梯形，该选项错误； 故答案为：D 3．（2025·甘肃武威·毕业考真题）在圆、平行四边形、三角形、角、等腰梯形五类图形中，一定有对称轴的有（    ）种。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】圆有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，所以圆一定有对称轴。 一般的平行四边形没有对称轴，所以平行四边形不一定有对称轴。 三角形分为多种，如等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，但一般的三角形（如不等边三角形）没有对称轴，所以三角形不一定有对称轴。 角有1条对称轴，是角平分线所在的直线，所以角一定有对称轴。 等腰梯形有1条对称轴，是上下底中点连线所在的直线，所以等腰梯形一定有对称轴。 【详解】圆有无数条对称轴，所以圆一定有对称轴。 一般的平行四边形没有对称轴，所以平行四边形不一定有对称轴。 如果是不等边三角形，没有对称轴，所以三角形不一定有对称轴。 角有1条对称轴，是角平分线所在的直线，所以角一定有对称轴。 等腰梯形有1条对称轴，所以等腰梯形一定有对称轴。 一定有对称轴的图形有圆、角、等腰梯形，共3种。 故答案为：B 4．（2024·河南南阳·毕业考真题）小明将一些数学本摞成一个长方体，它的前面是一个长方形，再将它均匀地斜放，比较这两摞数学本的前面，（    ）相同。 A．形状 B．面积 C．周长 D．周长和面积 【答案】B 【分析】将这摞书的前面由长方形变成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，虽然前面的形状变了，但是面积不变；但平行四边形的一条边与长方形的宽相比变大了，因此周长发生了改变，据此逐项进行分析。 【详解】A．它的前面变成平行四边形了，所以形状变了，不符合题意； B．长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，所以面积不变，符合题意； C．平行四边形的一条边与长方形的宽相比，变大了，因此周长变大，不符合题意； D．它的周长变大，面积不变，不符合题意。 故答案为：B 5．（2024·云南昭通·毕业考真题）张阿姨靠墙边围了一块梯形的菜地，围菜地的篱笆长35m。求这块菜地的面积，下面4位同学的算法或想法，正确的是（    ）。 A．（8＋12）×15÷2 B．（6＋14）×15÷2 C．（35－15）×15÷2 D．不知道上、下底，无法计算 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，一面靠墙，用篱笆围成一个高是15m的直角梯形，用篱笆的长度减去高就是梯形的上下底之和，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用字母表示是：S＝（a＋b）h÷2，把数据代入公式解答。 【详解】这个梯形的上底和下底的和是（35－15）m，高是15m。 菜地（梯形）的面积是： （35－15）×15÷2 ＝20×15÷2 ＝300÷2 ＝150（m2） 这块菜地的面积是150m2，下面4位同学的算法或想法，正确的是（35－15）×15÷2。 故答案为：C 6．（2024·宁夏固原·毕业考真题）用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼好的平行四边形底是13厘米，高是8厘米。其中一个梯形的面积是（    ）平方厘米。 A．46 B．52 C．88 D．104 【答案】B 【分析】根据梯形面积公式的推导过程可知，用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】13×8÷2 ＝104÷2 ＝52（平方厘米） 所以其中一个梯形的面积是52平方厘米。 7．（2024·河南郑州·毕业考真题）一个等腰梯形中三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。那么，这个等腰梯形的一个腰长是（    ）厘米。 A．25 B．55 C．15 D．20 【答案】A 【分析】首先确定下底是55厘米，再分腰长为25厘米或15厘米两种情况讨论；等腰梯形中下底边比上底边两侧多出来的距离相等，而等腰梯形的高、腰和一侧多出来边构成直角三角形，由于腰是斜边，所以等腰梯形的腰要大于一侧多出来的边。据此可得出答案。 【详解】①腰长为25厘米时，上底为15厘米，下底为55厘米。则下底一侧比上底多出： （厘米） 20厘米＜腰25厘米，可以组成等腰梯形。 ②腰长为15厘米时，上底为25厘米，下底为55厘米。则下底一侧比上底多出： （厘米） 15厘米＝腰15厘米，此时下底一侧多出来的边等于腰，则不能组成等腰梯形。 即这个等腰梯形的腰只能是25厘米。 故答案为：A 8．（2025·河南商丘·毕业考真题）梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个平行线之间的距离相等，且在梯形ABCD中，即三角形ADE和三角形ABE的高相等，三角形的面积是三角形面积的2倍，则，根据三角形的面积＝底×高×可以得出这两个三角形的底相等，即AD＝4。 EC＝5，则BC＝BE＋EC＝7，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高×，列出方程，得出梯形的高是。则三角形DEC的面积＝EC×高×，代入数据计算即可。 【详解】根据题意假设高为h。 因为， 即 则 因为，则 三角形DEC的面积 故答案为：A 9．（2024·山西长治·毕业考真题）一个平行四边形的底是12厘米，它的高是底的，它的面积是( )平方厘米。 【答案】72 【分析】已知平行四边形的底是12厘米，它的高是底的，用平行四边形的底乘，求出平行四边形的高，再根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据解答即可。 【详解】12×（12×） ＝12×6 ＝72（平方厘米） 它的面积是72平方厘米。 10．（2025·重庆綦江·毕业考真题）一个四边形，它的四个顶点依次用数对表示是（2，2）、（4，5）、（7，5）、（5，2），那么这个四边形是一个( )形。 【答案】平行四边 【分析】用数对表示位置，先表示列，再表示行，据此将题中数对表示的位置标出来作图，进而确定图形即可。 【详解】这个四边形作图如下， 所以一个四边形，它的四个顶点依次用数对表示是（2，2），（4，5），（7，5），（5，2），那么这个四边形是一个平行四边形。 11．（2024·甘肃兰州·毕业考真题）如图，一张梯形彩纸的面积是40cm2，它的高是( )cm，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2。 【答案】 5 22.5 【分析】根据梯形的高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据即可求出梯形的高；梯形中剪下最大的三角形，三角形的底＝梯形的下底，三角形的高＝梯形的高，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详解】40×2÷（7＋9） ＝80÷16 ＝5（cm） 9×5÷2＝22.5（cm2） 它的高是5cm，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是22.5cm2。 12．（2025·湖北武汉·毕业考真题）图中一共有( )个平行四边形。 【答案】9 【分析】通过观察可知，大平行四边形被分成4个小平行四边形；由1个小平行四边形组成的平行四边形有4个，由2个小平行四边形组成的平行四边形有4个，由4个小平行四边形组成的平行四边形有1个。据此解答。 【详解】4＋4＋1＝9（个） 根据分析可知，图中一共有9个平行四边形。 13．（2024·河南驻马店·毕业考真题）一个平行四边形，底长是15cm，高是8cm，这个平行四边形的面积是( )cm2，和它等底等高的三角形的面积是( )cm2。 【答案】 120 60 【分析】根据平行四边形的面积公式S＝ah，代入数据求出平行四边形的面积，再根据等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，求出三角形的面积。 【详解】15×8＝120（cm2） 120÷2＝60（cm2） 所以，这个平行四边形的面积是120cm2，和它等底等高的三角形的面积是60cm2。 14．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个梯形的高为7厘米，它与上底的乘积是78.4，与下底的乘积是178.4，那么这个梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】128.4 【分析】题目中提到“高与上底的乘积是78.4”，即上底×高＝78.4；“高与下底的乘积是178.4”，即下底×高＝178.4。根据乘法分配律，（上底＋下底）×高＝上底×高＋下底×高，所以梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2＝（上底×高＋下底×高）÷2；用78.4与178.4相加，得到（上底×高＋下底×高）的值，代入公式中求出梯形的面积。 【详解】（78.4＋178.4）÷2 ＝256.8÷2 ＝128.4（平方厘米） 答：一个梯形的高为7厘米，它与上底的乘积是78.4，与下底的乘积是178.4，那么这个梯形的面积是128.4平方厘米。 15．（2025·重庆江北·毕业考真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】4 【分析】此题需要添加一条辅助线，先连接AE，根据平行四边形两个已知部分的面积计算出平行四边形的面积，再求出三角形AED的面积，三角形AED的面积等于与它等底等高的平行四边形，即平行四边形ABED的面积的一半。由题意可知，三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。阴影部分的面积等于三角形ACD的面积减去8。 【详解】如图：平行四边形ABED的面积是16＋8＝24（平方厘米） 连接AE，三角形AED的面积是24÷2＝12（平方厘米） 四边形ABCD是梯形，所以AD∥BC，所以三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。 阴影部分的面积是12－8＝4（平方厘米） 【点睛】此题考查以下两个核心知识点： 1.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，即平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形； 2.平行线间的距离处处相等，因此以平行线间线段为底的三角形的高相等，等底等高的三角形面积相等。 16．（2025·河南开封·毕业考真题）奇思把一张长方形纸折叠成如图所示的梯形（单位：cm），这个梯形的高是( )cm，这张长方形纸的面积是( )cm2。 【答案】 10 300 【分析】由图可知，梯形复原成长方形后，长方形的长（即梯形的下底）是（18＋6＋6）cm，宽（梯形的高）是10cm，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入计算即可。 【详解】18＋6＋6＝30（cm） 30×10＝300（cm2） 所以这个梯形的高是10cm，这张长方形纸的面积是300cm2。 17．（2025·广东潮州·毕业考真题）图中，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是( )cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是( )。 【答案】 10 5∶1 【分析】平行四边形的面积公式为：面积＝底×高，则高＝面积÷底，已知平行四边形ABCD的面积是40cm2，底AD为8cm，那么高为40÷8＝5cm。这个高也是阴影三角形和梯形ABED的高。 阴影部分是一个三角形，底为4cm，高为5cm。三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，所以阴影部分面积为：4×5÷2＝10cm2。 梯形的面积是平行四边形的面积加上阴影部分面积，即40＋10＝50cm2。阴影部分面积是10cm2，所以它们的面积比为50∶10，最后化简即可。 【详解】40÷8＝5（cm） 5×4÷2＝10（cm2） 40＋10＝50（cm2） 梯形面积∶阴影部分面积＝50∶10 50∶10 ＝（50÷10）∶（10÷10） ＝5∶1 图中阴影部分的面积是10cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是5∶1。 18．（2024·山东济南·毕业考真题）如图，在平行四边形中，梯形部分的面积比三角形面积多15cm2，那么图中三角形的面积是( )cm2。 【答案】15 【分析】从图中可知，平行四边形、梯形、三角形的高相等，设平行四边形的高是hcm； 等量关系：梯形的面积－三角形的面积＝梯形比三角形多的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出平行四边形的高； 最后根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形的面积。 【详解】解：设平行四边形的高是hcm。 （9－6＋9）×h÷2－6×h÷2＝15 12×h÷2－6×h÷2＝15 6h－3h＝15 3h＝15 h＝15÷3 h＝5 三角形的面积：6×5÷2＝15（cm2） 图中三角形的面积是15cm2。 19．（2025·北京丰台·毕业考真题）中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如图所示。这块“腰铁”截面的面积是( )平方厘米。 【答案】245 【分析】观察可知，“腰铁”的截面是由两个完全一样的梯形组成。梯形的上底是6厘米、下底是8厘米、高是35÷2＝17.5厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出1个梯形的面积，再乘2即可求出“腰铁”截面的面积。 【详解】35÷2＝17.5（厘米） （6＋8）×17.5÷2×2 ＝14×17.5 ＝245（平方厘米） 所以这块“腰铁”截面的面积是245平方厘米。 20．（2024·河北保定·毕业考真题）求出如图梯形的面积。 【答案】225dm2 【分析】由图可知：梯形上底是20dm，下底是25dm，高是10dm，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积。 【详解】（20＋25）×10÷2 ＝45×10÷2 ＝450÷2 ＝225（dm2） 所以梯形的面积是225dm2。 21．（2024·湖南株洲·毕业考真题）计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】37.8平方厘米 【分析】由图可知，阴影部分是一个梯形，先求出梯形的上底，再根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】（9－5.4＋9）×6÷2 ＝（3.6＋9）×6÷2 ＝12.6×6÷2 ＝75.6÷2 ＝37.8（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是37.8平方厘米。 22．（2025·重庆綦江·毕业考真题）画一画。 （1）在格子图上画出图形的另一半，使它成为轴对称图形。 （2）在格子图上画出一个平行四边形，使它的面积与轴对称图形的面积相等。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）观察图形，可发现对称轴是图中垂直的虚线。根据对称轴，分别找出每个关键点的对称点，对称点到对称轴的距离与原关键点到对称轴的距离相等。依次连接各对称点，即可得到轴对称图形的另一半。 （2）由图可知，轴对称图形是一个梯形，上底为4格，下底为8格，高为4格，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，可得这个轴对称图形的面积为（4＋8）×4÷2＝24，因为平行四边形面积公式为：面积＝底×高，6×4＝24，所以可以画一个底为6格，高为4格的平行四边形。 【详解】（1）找出每个关键点的对称点，依次连接各对称点，即可得到轴对称图形的另一半，见下图。 （2）轴对称图形是一个梯形，上底为4格，下底为8格，高为4格。 （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24 6×4＝24 画一个底为6格，高为4格的平行四边形，见下图。 23．（2025·浙江宁波·毕业考真题）将下面的长方形框架拉成平行四边形，面积（    ）（填“变大”“变小”或“不变”），请说明判断理由（可用语言表述、画图……等方式）。 【答案】变小；理由见详解 【分析】长方形的面积＝长×宽；平行四边形的面积＝底×高。把长方形框架拉成平行四边形，底的长度不变，相当于平行四边形的底不变；而平行四边形的高相比长方形的宽变短了。由公式可知，底不变，高变短，面积就会变小。据此解答。 【详解】长方形框架拉成平行四边形，面积变小。 理由：长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高。把长方形框架拉成平行四边形，长方形的长的长度不变，相当于平行四边形的底不变；而平行四边形的高相比长方形的宽变短了，那么由公式可知，底不变，高比宽短，平行四边形的面积就比长方形的面积小，所以长方形框架拉成平行四边形，面积变小（图示如下）。 24．（2024·山西忻州·毕业考真题）一块平行四边形菜地的高是6米，是底的25%，如果这块菜地一共种了720株茄子，那每株茄子占地多少平方米？ 【答案】0.2平方米 【分析】把底长看作单位“1”，已知底的25%是6米，求底，用6÷25%列式求出底长，再根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形菜地的面积，再用菜地的面积除以这块菜地一共种的茄子的株数即可解答。 【详解】6÷25%＝24（米） 6×24＝144（平方米） 144÷720＝0.2（平方米） 答：那每株茄子占地0.2平方米。 25．（2025·福建宁德·毕业考真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【答案】1400平方米 【分析】由图可知：长方形的长是60米，宽是40米，根据长方形面积＝长×宽，求出种植区的总面积，即A、B两种蔬菜的面积和；又已知A的面积比B多400平方米，即两者的面积差，根据和差问题中求大数的公式：大数＝（和＋差）÷2，即A的面积＝（和＋差）÷2，代入数值，即可求出A蔬菜的种植面积。 【详解】60×40＝2400（平方米） （2400＋400）÷2 ＝2800÷2 ＝1400（平方米） 答：A蔬菜种植了1400平方米。 26．（2024·浙江宁波·毕业考真题）如图是汪伯伯以1∶3000的比例尺绘制的果园平面图。如果每2.5平方米种一棵果树，最多可栽多少棵？ 【答案】4006棵 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，算出平行四边形的实际的底和高，根据平行四边形面积＝底×高，代入数据，求出面积，最后除以2.5即可。 【详解】5.3÷ ＝5.3×3000 ＝15900（厘米） 15900厘米＝159米 2.1÷ ＝21×3000 ＝6300（厘米） 6300厘米＝63米 159×63÷2.5 ＝10017÷2.5 ≈4006（棵） 答：最多可栽4006棵。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $