专题17 比例（思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练）-2026年小升初数学复习讲义人教版

专题17 比例 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、比例的意义 1.定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.构成要素： (1)组成比例的四个数，叫做比例的项。 (2)两端的两项叫做比例的外项。 (3)中间的两项叫做比例的内项。 3.判断方法： (1)看两个比的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；否则不能。 (2)看化简后的最简整数比是否相同。 4.比和比例的区别： (1)比：由两个数组成，表示两个数相除的关系（如 ）。 (2)比例：由四个数组成，表示两个比相等的等式（如 ）。 考点二、比例的基本性质 1.内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 2.字母表示：如果 （或 ），那么 。 (1)其中 为外项， 为内项。 3.应用： (1)判断比例：验证两个外项之积是否等于两个内项之积。 (2)解比例：将比例转化为方程求解未知项。 4.注意：此性质仅适用于比例，不适用于单纯的比。 考点三、解比例 1.定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.依据：比例的基本性质。 3.一般步骤： (1)设：根据题意设未知数 。 (2)列：根据比例意义或基本性质列出比例式。 (3)转：利用“内项积=外项积”将比例式转化为一般方程（ 的形式）。 (4)解：解方程求出 的值。 (5)验：检验结果是否符合题意及比例成立条件。 4.特殊形式处理： (1)分数形式的比例 ，交叉相乘得 。 (2)含有小数或分数的比例，建议先化为整数比或简便形式再计算，减少误差。 考点四、正比例和反比例的意义及辨识 1. 正比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 (2)关系式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：同增同减，比值恒定。 2. 反比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 (2)关系式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：一增一减，乘积恒定。 3. 辨识步骤（“三步法”） (1)找关联：判断两个量是否相关联（一个量变化，另一个量是否随之变化）。 (2)定关系：写出两个量的关系式，看是商一定还是积一定。 ①　若 （一定），则成正比例。 ②　若 （一定），则成反比例。 (3)下结论：若商和积都不一定，或者两者不相关联，则不成比例。 4. 常见易混点辨析 (1)正方形的周长与边长：成正比例（ ， ）。 (2)正方形的面积与边长：不成比例（ ， ，比值不固定）。 (3)圆的周长与直径：成正比例（ ， ）。 (4)圆的面积与半径：不成比例（ ， ，比值不固定）。 (5)路程一定，速度与时间：成反比例。 (6)速度一定，路程与时间：成正比例。 考点五、正比例图象的认识 1.形状：正比例关系的图象是一条经过原点的直线（射线）。 2.特点： (1)图象上的每一个点都代表一组对应的 数据。 (2)直线越陡，说明比值 越大；直线越平缓，说明比值 越小。 3.作用： (1)无需计算，可直接通过图象查找对应数值。 (2)直观展示两个量同步变化的趋势。 4.注意：反比例的图象是一条双曲线（分支），不在同一直线上，小学阶段主要掌握正比例图象。 考点六、正比例的应用 1.解题思路： (1)判断题目中两种量是否成正比例。 (2)找出对应的一组已知数据，计算比值 。 (3)利用比值相等列方程： 。 2.常见模型： (1)单价一定，总价与数量成正比例。 (2)工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。 (3)速度一定，路程与时间成正比例。 (4)同一时刻、同一地点，物体高度与影长成正比例。 考点七、反比例的应用 1.解题思路： (1)判断题目中两种量是否成反比例。 (2)找出对应的一组已知数据，计算乘积 。 (3)利用乘积相等列方程： 。 2.常见模型： (1)路程一定，速度与时间成反比例。 (2)工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例。 (3)总价一定，单价与数量成反比例。 (4)长方形面积一定，长与宽成反比例。 (5)圆柱体积一定，底面积与高成反比例。 考点八、比例尺的意义 1.定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2.公式： 或 3.性质： (1)比例尺是一个比，不带单位名称。 (2)为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是 1 的最简整数比。 4.分类： (1)数值比例尺：如 或 。 (2)线段比例尺：图上画一段线段，标注表示的实际距离（如 0—50km）。 (3)缩小比例尺：前项为1，用于地图、图纸（图上距离 < 实际距离）。 (4)放大比例尺：后项为1，用于精密零件绘图（图上距离 > 实际距离，如 ）。 考点九、比例尺应用 涉及图上距离、实际距离、比例尺三者之间的换算，核心是单位统一。 1. 求图上距离 (1)公式： (2)步骤： ①　将实际距离换算成与图上距离期望单位一致的较小单位（通常换算成厘米 cm）。 ②　乘以比例尺的前项除以后项（或直接乘分数形式的比例尺）。 2. 求实际距离 (1)公式： (2)步骤： ①　用图上距离除以比例尺（或乘以比例尺的分母）。 ②　将计算结果换算成合适的较大单位（如米 m 或千米 km）。 技巧：若比例尺为 ，则实际距离（cm）= 图上距离（cm） 。 3. 单位换算常识 (1) （5个0） (2) （2个0） (3)去0加0法： ①　厘米变千米：去掉5个0。 ②　千米变厘米：加上5个0。 考点十、图形的放大与缩小 1.定义：把图形的各边按相同的比扩大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.关键特征： (1)形状不变：对应角相等，对应边成比例。 (2)大小改变：面积发生变化。 3.比的含义： (1)放大：比的前项 > 后项（如 ，表示图上距离是实际的2倍，即放大2倍）。 (2)缩小：比的前项 < 后项（如 ，表示图上距离是实际的 ，即缩小到原来的 ）。 (3)注意：“放大2倍”通常指变为原来的2倍（即比值为2）；“缩小到原来的 ”指比值为 。需仔细审题区分“扩大了/缩小了”与“扩大到/缩小到”。 4.面积变化规律： (1)若边长扩大 倍，则面积扩大 倍。 (2)若边长缩小为原来的 ，则面积缩小为原来的 。 5.作图要点： (1)确定关键点（顶点）。 (2)按倍数计算新图形各关键点的坐标或相对位置。 (3)连线成形，确保角度和形状特征保持一致。 例题讲解 题型一、比例的意义 【例题1】能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。据此首先求出的比值是多少，再逐个求出每个选项的比值各是多少，然后根据比值相等的两个比能组成比例，判断出能与组成比例的是哪个即可。 【详解】＝，所以的比值是； A．＝，与比值不相等，不能组成比例； B． ＝ ＝，与比值不相等，不能组成比例； C． ＝ ＝，与比值相等，能组成比例； D． ＝ ＝，与比值不相等，不能组成比例。 故答案为：C 【练习1】40的因数有( )个，从中选四个数组成比例是( )。 【答案】 8 1∶2＝20∶40（答案不唯一） 【分析】先列举出40的所有因数，再从中选出四个数，两两组成比，求出它们的比值，根据比例的意义，比值相等的两个比可以组成比例，据此组成一个比例。（组成的比例不唯一） 【详解】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，共有8个；从中选四个数组成比例是1∶2＝0.5，20∶40＝0.5，所以1∶2＝20∶40。（答案不唯一）。 题型二、比例的基本性质 【例题2】把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是（    ）。 A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 【答案】D 【分析】4.5，7.5，，这四个数组成比例，把最大数和最小数做内项，其余两个数做外项，据此写出比例， 再根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【详解】4.5∶7.5＝∶ 7.5×＝2.25 把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是2.25。 故答案为：D 【练习2】如果5X＝6Y（X、Y均不为0），那么Y∶X＝( )∶( )。 【答案】 5 6 【分析】比例的基本性质为：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知5X＝6Y（X、Y均不为0），将Y作为比例的外项，则与它相乘的6也需作为外项；将X作为比例的内项，则与它相乘的5也需作为内项。由此可列出比例式：Y∶X＝5∶6。 【详解】5X＝6Y（X、Y均不为0） 将Y作为比例的外项，6作为外项；X作为内项，5作为内项。 所以Y∶X＝5∶6。 题型三、解比例 【例题3】求未知数x。         4x＋0.8×6＝15.2       【答案】；； 【分析】根据比例的基本性质，把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以求解； 先化简，然后再根据等式的性质，方程两边同时减去，然后再同时除以求解； 根据比例的基本性质，把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以求解。 【详解】 解： 解： 解： 【练习3】求未知数x。 6x÷3＝8.1                     【答案】x＝4.05；x＝7.5；x＝2 【分析】（1）等式两边同时乘3，再同时除以6，然后计算求出x的值； （2）根据比例的基本性质可得2.8x＝12，等式两边同时除以2.8，然后计算求出x的值； （3）根据比例的基本性质可得9x＝4.5×4，等式两边同时除以9，然后计算求出x的值。 【详解】（1）6x÷3＝8.1 解：6x＝8.1×3 6x＝24.3 x＝24.3÷6 x＝4.05 （2）x∶12∶2.8 解：2.8x＝12 2.8x＝21 x＝21÷2.8 x＝7.5 （3） 解：9x＝4×4.5 9x＝18 x＝18÷9 x＝2 题型四、正比例和反比例的意义及辨识 【例题4】下面各选项中的两个量，成正比例的是（    ）。 A．某榫卯家具厂工人的人数一定，出勤人数和缺勤人数。 B．圆周率一定，某榫卯圆桌的桌面面积和它的半径。 C．每分钟的电话费一定，某榫卯家具厂销售员通话时长与所花的总费用。 D．榫卯家具的木料总长度一定，每根木料的长度和加工的根数。 【答案】C 【分析】要判断两个量是否成正比例，需依据正比例的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系，然后对每个选项逐一分析即可得出答案。 【详解】A．已知工人总人数一定，“出勤人数＋缺勤人数＝工人总人数”，这是和的关系，并非比值一定。所以出勤人数和缺勤人数不成正比例。 B．圆的面积公式为S＝πr2（π为圆周率），那么πr。由于r是变化的，所以πr不是定值，即桌面面积和它的半径的比值不一定。因此，桌面面积和它的半径不成正比例。 C．因为“总费用÷通话时长＝每分钟的电话费”，且题目中明确每分钟的电话费一定，也就是总费用和通话时长的比值一定。所以，通话时长与所花的总费用成正比例。 D．已知木料总长度一定，“每根木料的长度×加工的根数＝木料总长度”，这是积的关系，并非比值一定。所以每根木料的长度和加工的根数不成正比例。 故答案为：C 【练习4】如果，那和成( )比例关系；如果，那么和成( )比例关系。 【答案】 正 反 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。 【详解】（1）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，如果，那么∶＝1∶9，∶＝（一定），所以和成正比例关系； （2）分数形式的比例中，交叉相乘积相等，如果，那么，（一定），所以和成反比例关系。 题型五、正比例图象的认识 【例题5】星光小学购买校服的数量和总价的关系如下图。 （1）图中点A表示（    ）。 （2）购买校服的数量和总价成（    ）比例。 （3）如果该校六年级1班要购买36套校服，共需多少元钱？ 【答案】（1）2套校服需要160元 （2）正 （3）2880元 【分析】（1）A点对应的列表示购买校服的数量，A点对应的行表示总价，据此解答； （2）根据图像可知，购买校服的数量和总价的图像是一条经过原点的直线，符合正比例图像的特点； （3）由购买校服的数量和总价成正比例可知，总价÷数量＝单价（一定），据此用160÷2列式求出校服的单价，再乘36即可解答。 【详解】（1）图中点A表示购买2套校服需要160元。 （2）由图形可知，购买校服的数量和总价成正比例关系。 （3）160÷2×36 ＝80×36 ＝2880（元） 答：共需2880元。 【练习5】《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 60 … （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买（    ）本《成语故事》。 【答案】（1）见详解 （2）正比例；原因见详解 （3）见详解 （4）48 【分析】（1）根据总价＝单价×数量，据此求出4本书的钱数、5本书的钱数，完成表格。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （3）根据统计表提供的数据，完成统计图。 （4）根据总价÷单价＝数量，据此求出480元买多少本《成语故事》，据此解答。 【详解】10÷1＝10（元/本） 4×10＝40（元） 5×10＝50（元） 表如下： 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 40 50 60 … （2）10∶1＝20∶2＝30∶3＝40∶4＝50∶5＝60∶6＝…＝10（一定），总价与购买本数之间成正比例。 （3）如图： （4）480÷10＝48（本） 480元最多可以购买48本《成语故事》。 题型六、正比例的应用 【例题6】测量小组要测量一棵树的高度，量得树的影长是5.1米。同一时间，同一地点测得直立于地面的2米长的标杆影长为1.2米。这棵树有多高？（用比例知识解） 【答案】8.5米 【分析】根据同一时刻、同一地点物体的实际长度与它的影长的比值一定，那么物体的实际长度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设这棵树有米高。 ∶5.1＝2∶1.2 1.2＝5.1×2 1.2＝10.2 ＝10.2÷1.2 ＝8.5 答：这棵树有8.5米高。 【练习6】景德镇陶瓷厂将一批瓷器运往上海全程800千米。一辆货车从景德镇出发，前3小时行驶了240千米。照这样计算，还需要几小时才能到达目的地？（用比例解答） 【答案】7小时 【分析】由题意可知，这辆货车的速度不变，所行路程÷需要的时间＝货车的速度（一定），则所行路程与需要的时间成正比例关系，剩下的路程∶剩下路程需要的时间＝已经行驶的路程∶已经行驶的路程需要的时间，据此列比例解答。 【详解】解：设还需要x小时才能到达目的地。 （800－240）∶x＝240∶3 560∶x＝240∶3 240x＝560×3 240x＝1680 x＝1680÷240 x＝7 答：还需要7小时才能到达目的地。 题型七、反比例的应用 【例题7】一个房间，原来用面积是9dm2的方砖铺地共用了240块，现在想改用边长4dm的方砖铺地，至少需多少块？（请用比例解。） 【答案】 135块 【分析】由于房间总面积固定，根据 “方砖面积×块数＝总面积（定值）”，方砖面积与块数成反比例。因此，“原方砖面积∶新方砖面积”的比值等于“新方砖块数∶原方砖块数”的比值，新方砖面积为4×4dm2，设至少需x块，列出比例式，即可解答。 【详解】解：设至少需x块，则 答：至少需135块。 【练习7】某加工厂生产一批零件，每天生产40个，需要35天完成，若每天生产56个，需要几天完成？（用比例解） 【答案】25天 【分析】设需要x天完成，根据每天生产个数×相应天数＝总个数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设需要x天完成。 56x＝40×35 56x＝1400 56x÷56＝1400÷56 x＝25 答：需要25天完成。 题型八、比例尺的意义 【例题8】一座城市地图中两地的图上距离为10cm，表示的实际距离为30km，该幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例尺的意义知道，图上距离与实际距离的比就是比例尺，由此先把实际距离30千米换算成以厘米做单位，再写出对应比，化简即可。 【详解】30km＝3000000cm， 10cm∶3000000cm＝1∶300000 所以该幅地图的比例尺是1∶300000 【练习8】一幅地图的比例尺是，把它转化成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是4厘米，那么甲、乙两地之间的实际距离是( )km。 【答案】 1∶3000000/ 120 【分析】由线段比例尺可知，图上1cm表示实际距离30km，比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出数值比例尺；再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答，注意单位的统一。 【详解】30km＝3000000cm 比例尺：1∶3000000或 4÷ ＝4×3000000 ＝12000000（cm） 12000000cm＝120km 即一幅地图的比例尺是，把它转化成数值比例尺是1∶3000000，在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是4厘米，那么甲、乙两地之间的实际距离是120km。 题型九、比例尺应用 【例题9】在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是8厘米；如果画在比例尺是1∶5000000的地图上，甲乙两地的图上距离是多少厘米？ 【答案】4.8厘米 【分析】先根据“”，求出A、B两地的实际距离，然后根据“”，求出甲乙两地的图上距离。 【详解】 （厘米） （厘米） 答：甲乙两地的图上距离是4.8厘米。 【练习9】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得清远到深圳之间的距离是7厘米。李叔叔从深圳开车回清远用了3小时，李叔叔平均每小时行驶多少千米？ 【答案】70千米 【分析】由比例尺1∶3000000可知图上距离1厘米代表实际距离3000000厘米，也就是30千米，已知清远到深圳之间的图上距离是7厘米，两地的实际距离也就是7个30千米，用乘法计算；又已知从深圳开车回清远用了3小时，最后根据“速度＝路程÷时间”计算出平均每小时行驶多少千米。 【详解】3000000厘米＝30千米 7×30＝210（千米） 210÷3＝70（千米） 答：李叔叔平均每小时行驶70千米。 题型十、图形的放大与缩小 【例题10】先按1∶2把下面三角形缩小，再把缩小后的图形按3∶1放大。 【答案】见详解 【分析】按1∶2把图中三角形缩小，根据图形缩小的意义，是把图中直角三角形的两个直角边缩小到原来的二分之一，图中直角三角形的两个直角边分别是2格和4格，缩小后的直角三角形的两个直角边分别是1格和2格，对应角大小不变，据此画出即可；再把缩小后的图形按3∶1放大，根据图形放大的意义，是把缩小后的图形的两个直角边分别扩大到原来的3倍，缩小后的直角三角形的两个直角边分别是1格和2格，则放大后的直角三角形的两个直角边分别是3格和6格，对应角大小不变，据此画出即可。 【详解】如图： 【练习10】先画出图中的长方形按3∶1的比放大后的图形，再画出图中的三角形按1∶4的比缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】长方形按3∶1的比放大，即长方形的长、宽都分别变为原来的3倍，长、宽分别是3、1，放大后的长方形长、宽分别是9、3，据此画出放大的长方形； 三角形按1∶4的比缩小，即三角形的三条边都分别变为原来的，且角度不变，此时三角形的高也变为原来的，原来三角形的底、高分别为8、4，缩小后底为：、高为：，据此画出缩小后的三角形。 【详解】长：3×3＝9（格），宽：1×3＝3（格） 底：（格）、高：（格）。 作图如下： 真题演练 1．（2025·四川成都·毕业考真题）能与∶组成比例的是（    ）。 A．8∶2 B．1∶2 C．∶ D．2∶1 【答案】D 【分析】根据比例的意义，若两个比的比值相等，则这两个比可以组成比例，据此逐一分析各项即可。 【详解】∶ ＝÷ ＝×8 ＝2 A．8∶2 ＝8÷2 ＝4 4≠2 则8∶2与∶不可以组成比例； B．1∶2 ＝1÷2 ＝ ≠2 则1∶2与∶不可以组成比例； C．∶ ＝÷ ＝×4 ＝ ≠2 则∶与∶不可以组成比例； D．2∶1 ＝2÷1 ＝2 2＝2 则2∶1可以与∶组成比例。 故答案为：D 2．（2025·湖南永州·毕业考真题）一个圆锥零件的高是10mm，在图纸上的高是2cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】统一图上距离和实际距离的单位，再根据比例尺的计算方法，用图上距离比实际距离求出比例尺。 【详解】1厘米＝10毫米；2厘米＝20毫米 比例尺＝图上距离∶实际距离 20∶10 ＝（20÷10）∶（10÷10） ＝2∶1 3．（2025·辽宁沈阳·毕业考真题）下列每组中的两个量成正比例的是（    ）。 A．圆的周长和半径 B．长方形的周长一定，长和宽 C．总人数一定，每排人数与排数 D．看一本书，己看的页数与剩下的页数 【答案】A 【分析】正比例：两个相关联的量，如果它们的比值一定，这两个量成正比例关系。所以判断两个量是否成正比例，需要看这两个量的比值是否一定。据此分析选项解题。 【详解】A．圆的周长公式：，则（定值），所以圆的周长和半径成正比例，此选项正确； B．长方形的周长＝（长＋宽）×2，则（长＋宽）＝长方形的周长÷2，长方形的周长一定，所以长和宽的和是定值，不成正比例，此选项错误； C．每排人数×排数＝总人数，总人数一定，所以每排人数与排数的乘积为定值，成反比例，此选项错误。 D．已看页数＋剩下页数＝总页数，所以已看页数与剩下页数的和为定值，不成正比例。此选项错误。 故答案为：A 4．（2025·江苏苏州·毕业考真题）操场长100米，宽60米，在作业本上画出操场平面图，用比例尺（    ）比较合适。 A．1∶20000 B．1∶2000 C．1∶25 D．1∶20 【答案】B 【分析】根据比例尺公式“图上距离＝实际距离×比例尺”，将操场实际长和宽分别转换为厘米，再分别计算各选项对应的图上距离，结合作业本实际大小判断合适比例尺。 【详解】100米＝10000厘米；60米＝6000厘米 A．1∶20000 长：10000×＝0.5（厘米） 宽：6000×＝0.3（厘米） 图上尺寸过小，不适合。 B．1∶2000 长：10000×＝5（厘米） 宽：6000×＝3（厘米） 图上尺寸适中，适合作业本。 C．1∶25 长：10000×＝400（厘米） 宽：6000×＝240（厘米） 图上尺寸过大，不合适。 D．1∶20 长：10000×＝500（厘米） 宽：6000×＝300（厘米） 尺寸过大，不合适。 操场长100米，宽60米，在作业本上画出操场平面图，用比例尺1∶2000比较合适。 故答案为：B 5．（2024·广东梅州·毕业考真题）在比例0.8∶3＝16∶60中，如果给3加上6，要使比例成立，外项中的60应（    ）。 A．加上6 B．乘2 C．加上180 D．加上120 【答案】D 【分析】比例中两个内项的积等于两个外项的积。解题时先确定内项变化后的值，再根据比例性质求出外项的变化情况：原比例0.8∶3＝16∶60，当3加上6后，内项3变为3＋6＝ 9，另一个内项16不变。计算变化后的内项积：9×16＝144。因为比例的基本性质，外项积也应为144，已知一个外项是0.8，可求出变化后另一个外项的值为144÷0.8＝18。原来的外项是60，所以60需要变为180，变化量为180－60＝120，即60应加上120。 【详解】变化后的内项：3＋6＝9 内项积：9×16＝144 变化后的外项：144÷0.8＝180 外项变化量：180－60＝120 在比例0.8∶3＝16∶60中，如果给3加上6，要使比例成立，外项中的60应加上120。 故答案为：D 6．（2025·山东菏泽·毕业考真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【答案】 正比例 8 【分析】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。据此解答“立竿见影”的比例关系； ②比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在5×6＝2×15中，可以把5和6看作比例的两个外项，把2和15看作比例的两个内项；或者把5和6看作比例的两个内项，把2和15看作比例的两个外项；据此写出符合要求的比例即可确定比例的个数。 【详解】在阳光下，同一时间、同一地点，物体的高度与影子的长度的比值固定，所以“立竿见影”是应用了比例知识当中的正比例关系； 5×6＝2×15可以改写成：2∶5＝6∶15，15∶5＝6∶2，2∶6＝5∶15，15∶6＝5∶2，5∶2＝15∶6，6∶2＝15∶5，5∶15＝2∶6，6∶15＝2∶5，共8个不同的比例。 成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的正比例关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是8个不同的比例。 7．（2025·四川凉山·毕业考真题）成都“一带一路大厦”，在一幅比例尺是1∶20000的图上量得楼高约是2.45厘米，“一带一路大厦”实际高度是( )米。 【答案】490 【分析】已知比例尺是1∶20000＝，表示图上1厘米代表实际20000厘米。图上距离是2.45厘米，根据：实际距离＝图上距离÷比例尺，把数据代入计算后把单位换算成米即可。 【详解】1∶20000＝ 2.45÷ ＝2.45×20000 ＝49000（厘米） 1米＝100厘米 49000÷100＝490（米） 所以“一带一路大厦”实际高度是490米。 8．（2025·江西上饶·毕业考真题）如果（a≠0），那么ab＝( )，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成( )比例关系。 【答案】 15 正 【分析】（1）根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，解答。 （2）根据正反比例的定义：两种相关联的量，若这两种量的比值（商）一定，两种量成正比例关系；若这两种量的乘积一定，两种量成反比例关系，解答。 【详解】（1）由得： ，即ab＝15。 （2）由6a－8b＝0得：6a＝8b 两边同时除以2，得3a＝4b，所以a∶b＝。 a与b的比值一定，因此a与b成正比例关系。 因此，如果（a≠0），那么ab＝15，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成正比例关系。 9．（2025·陕西榆林·毕业考真题）一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是( )。 【答案】/0.25 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，最小的合数是4，整数的倒数是这个整数分之一，据此确定另一个外项。 【详解】一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），根据分析，则另一个外项是。 10．（2025·辽宁本溪·毕业考真题）圆的周长和它的半径成( )比例；一个三角形的面积一定，它的底与高成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。 【详解】因为圆的周长÷半径＝2π（一定），符合正比例的意义，所以圆的周长和半径成正比例。 因为三角形的底×高＝面积×2（一定），符合反比例的意义，所以三角形的面积一定，底和高成反比例。 11．（2024·福建福州·毕业考真题）如图，当x与y成正比例时，表中应填( )；当x与y成反比例时，表中又应填( )。 x 45 ？ y 3 5 【答案】 75 27 【分析】根据正、反比例的意义，列关于“？”的方程，正比例关系可以用式子表示为：＝k（一定），所以＝，据此求出如果表中的x与y成正比例，那么表中“？”应填的数；然后根据反比例关系可以用式子表示为：xy＝k（一定），所以45×3＝5x，据此求出如果表中的x与y成反比例，那么表中的“？”应填多少即可。 【详解】若x与y成正比例关系，则： ＝ 解：3x＝45×5 3x＝225 3x÷3＝225÷3 x＝75 若x与y成反比例关系，则： 5x＝45×3 解：5x＝135 5x÷5＝135÷5 x＝27 当x与y成正比例时，表中应填75；当x与y成反比例时，表中又应填27。 12．（2025·河北衡水·毕业考真题）在比例尺为1∶6000000的地图上，量得石家庄到武汉的高速公路长15厘米，两地的高速公路实际长度是( )千米。李叔叔开车从石家庄出发，走高速公路，速度为100千米/时，( )小时可到达武汉。 【答案】 900 9 【分析】已知比例尺为1∶6000000＝。图上距离为15厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据得：实际距离为15÷＝90000000厘米。因为1千米＝100000厘米，所以90000000厘米为90000000÷100000＝900千米。然后根据“时间＝路程÷速度”，路程是900千米，速度是100千米/时。代入公式计算时间为900÷100＝9小时。 【详解】1∶6000000＝ 15÷ ＝15×6000000 ＝90000000（厘米） 1千米＝100000厘米 90000000÷100000＝900（千米） 900÷100＝9（小时） 两地的高速公路实际长度是900千米。李叔叔开车从石家庄出发，走高速公路，速度为100千米/时，9小时可到达武汉。 13．（2025·河北石家庄·毕业考真题）一幅地图的比例尺为1∶3000000，在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是8cm。甲、乙两地的实际距离是( )km。如果画在比例尺是的地图上，那么应画( )cm。 【答案】 240 48 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可求得甲、乙两地的实际距离，注意进行单位换算。再根据所求实际距离第二次使用比例尺，可求得图上距离。 【详解】 因为地图比例尺为1∶3000000，图上距离为8cm，所以甲、乙两地的实际距离是8×3000000＝24000000（cm），24000000cm＝240km。因为第二次比例尺为，所以应画240÷5＝48（cm）。 14．（2025·辽宁本溪·毕业考真题）解方程和比例。                              【答案】；； 【分析】第一题中，先计算出等式左边的结果，再根据等式的性质2，左右两边同时除以； 第二、三题中，先根据比例的性质，将比例写成方程形式，再根据等式性质2计算出x的值。 【详解】 15．（2024·河南信阳·毕业考真题）解方程或解比例。                  【答案】x＝4；x＝2；x＝0.3 【分析】9＋（1÷25%）x＝25，先计算出1÷25%的商，再根据等式的性质1，方程两边同时减去9，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1÷25%的商即可。 ＝，解比例，原式化为：4.5x＝0.5×18，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4.5即可。 0.9∶6＝x∶2，解比例，原式化为：6x＝0.9×2，再根据等式性质2，方程两边同时除以6即可。 【详解】9＋（1÷25%）x＝25 解：9＋4x＝25 9＋4x－9＝25－9 4x＝16 4x÷4＝16÷4 x＝4 ＝ 解：4.5x＝0.5×18 4.5x＝9 4.5x÷4.5＝9÷4.5 x＝2 0.9∶6＝x∶2 解：6x＝0.9×2 6x＝1.8 6x÷6＝1.8÷6 x＝0.3 16．（2024·辽宁盘锦·毕业考真题）先按4∶1把下面的三角形放大，再把放大后的三角形按1∶2缩小。 【答案】见详解 【分析】把三角形按4∶1放大，就是三角形的两条直角边分别扩大到原来的4倍，再把放大后的三角形按1∶2缩小，就是放大后的三角形的两条直角边分别除以2，据此画图。 【详解】2×4＝8 1×4＝4 8÷2＝4 4÷2＝2 作图如下： 17．（2025·甘肃兰州·毕业考真题）画一画。 小明家正西方向600米处是公园，公园的东偏北60°方向400米处是医院，小明家东偏南50°方向800米处是学校。根据1∶20000的比例尺，画出上述地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】图上1厘米代表实际距离20000厘米，即200米，计算出各个路段的图上距离，利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，依据题意结合图示去解答。 【详解】图上1厘米代表实际距离20000厘米，即200米 600÷200＝3（厘米） 400÷200＝2（厘米） 800÷200＝4（厘米） 如图： 18．（2024·河南新乡·毕业考真题）坐地日行八万里，巡天遥看一千河。巡天空间望远镜就好像一座在轨飞行的移动式空间天文台，可以避开大气干扰，展开前沿天文探索，被称为“中国哈勃”，精度与哈勃望远镜相当，但视场可达到哈勃望远镜的300倍。我国计划于2024年发射巡天望远镜。如图是巡天望远镜的图片，图片中的巡天望远镜立起来后高度为28厘米，它的高度与实际的高度比为1∶50，那么巡天望远镜的实际高度为多少米？（用比例解） 【答案】14米 【分析】根据题意可得，图片中的巡天望远镜的高度∶实际的高度＝1∶50，据此列出比例方程，并求解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】解：设巡天望远镜的实际高度为x厘米。 28∶x＝1∶50 x×1＝28×50 x＝1400 1400厘米＝14米 答：巡天望远镜的实际高度为14米。 19．（2024·广东清远·毕业考真题）为调配出口感丝滑的奶茶，某奶茶店研发出了一款奶茶方案：茶和奶的比是1∶4，现有280克茶，需准备多少克奶？（列比例解答） 【答案】1120克 【分析】根据茶和奶的比是1∶4，此比值一定，所以茶与奶的质量成正比例，由此列出比例解决问题。 【详解】解：设需准备x克奶。 280∶x＝1∶4 x＝280×4 x＝1120 答：需准备1120克奶。 20．（2024·河北保定·毕业考真题）王师傅要加工一个超大型沙盘，供游客参观。在比例尺是1∶1000的图纸上，量得长是3.5厘米，宽是2厘米，这个沙盘的实际面积是多少平方米？ 【答案】700平方米 【分析】由比例尺1∶1000可知图上距离1厘米代表实际距离1000厘米，也就是10米；沙盘的图上距离长3.5厘米，实际距离就是3.5个10米，图上距离宽2厘米，实际距离宽就是2个10米，分别用乘法计算出实际距离的长和宽；最后根据“长方形面积＝长×宽”计算出沙盘的实际面积。 【详解】1000厘米＝10米 3.5×10＝35（米） 2×10＝20（米） 35×20＝700（平方米） 答：这个沙盘的实际面积是700平方米。 21．（2024·甘肃兰州·毕业考真题）一间教室要用方砖铺地，用面积是64平方分米的方砖要90块，如果改用边长是6分米的方砖，需要多少块？ 【答案】160块 【分析】教室地面的总面积是固定不变的，方砖的面积和所需方砖的块数是两种相关联的量，因为方砖面积×块数＝教室地面总面积（一定），乘积一定，所以方砖面积与所需块数成反比例；设改用边长为6分米的方砖需要x块，算出边长为6分米的方砖面积为6×6＝36平方分米；根据反比例关系，可列方程36x＝64×90，先计算64×90＝5760，再根据等式的性质，方程两边同时除以36求解出x，即所需边长6分米方砖的块数。 【详解】6×6＝36（平方分米） 解：设需要x块。 36x＝64×90 36x＝5760 36x÷36＝5760÷36 x＝160 答：需要160块。 22．（2024·辽宁盘锦·毕业考真题）北京冬奥会上一块金牌约重550克，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比是3∶275。 （1）制作这样的一块金牌需要黄金多少克？（用比例的方法解答） （2）本届冬奥会共产生109枚金牌，需要黄金多少克？ 【答案】（1）6克；（2）654克 【分析】（1）设制作这样的一块金牌需要黄金x克，根据等量关系式黄金质量∶金牌总质量＝3∶275，据此列比例并求解。 （2）用一块金牌所需的黄金质量乘109即可得解。 【详解】（1）解：设制作这样的一块金牌需要黄金x克。 x∶550＝3∶275 275x＝550×3 275x＝1650 275x÷275＝1650÷275 x＝6 答：制作这样的一块金牌需要黄金6克。 （2）109×6＝654（克） 答：需要黄金654克。 23．（2025·湖北武汉·毕业考真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【答案】45.8元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费用，据此作答即可。 【详解】 ＝6÷ ＝6×500000 ＝3000000（厘米） 3000000厘米＝30千米 8＋1.4×（30－3） ＝8＋1.4×27 ＝8＋37.8 ＝45.8（元） 答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。 24．（2024·甘肃兰州·毕业考真题）在比例尺是1∶700000的地图上，量的甲乙两地距离为4厘米，一辆汽车平均行驶速度80千米/小时，一辆货车平均行驶速度60千米/小时，两车相向而行，几小时后两车相遇？ 【答案】0.2小时 【分析】先求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”代入数值求出实际距离，然后根据相遇时间＝路程÷速度和。 【详解】4÷ ＝4×700000 ＝2800000（厘米） 2800000厘米＝28千米 28÷（80＋60） ＝28÷140 ＝0.2（小时） 答：0.2小时后两车相遇。 25．（2024·河北邯郸·毕业考真题）小明一家三口准备暑假从武安驾车到北京游玩。如图：这是爸爸所驾汽车行驶的路程和耗油量的情况。 （1）汽车的耗油量与所行驶的路程成什么比例关系？为什么？ （2）根据图估一估，汽车行驶55千米的耗油量大约是（    ）升。如果耗油12升，那么汽车大约行驶了（    ）千米。 （3）如果爸爸驾驶这辆汽车沿着地图规划的路线，从武安到八达岭长城大约要行驶530千米，那么需要耗油多少升？ 【答案】（1）正比例关系；理由见详解 （2）4.4；150； （3）42.4升 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）观察折线统计图可知，汽车行驶55千米在50～60千米的中间，那么它对应的耗油量在4.0～4.8升的中间； 用12升除以汽车每千米的耗油量即可求出汽车行驶的路程。 （3）用汽车行驶的行驶530千米除以汽车每千米的耗油量即可解答。 【详解】（1）0.8÷10＝0.08（升） 1.6÷20＝0.08（升） 2.4÷30＝0.08（升） 3.2÷40＝0.08（升） …… 7.2÷90＝0.08（升） 答：汽车的耗油量与所行驶的路程成正比例关系。因为汽车的耗油量÷所行驶的路程＝汽车每千米的耗油量（一定），商一定，则汽车的耗油量与所行驶的路程成正比例关系。 （2）55×0.08＝4.4（升） 12÷0.08＝150（千米） 根据图估一估，汽车行驶55千米的耗油量大约是（4.4）升。如果耗油12升，那么汽车大约行驶了（150）千米。 （3）530×0.08＝42.4（升） 答：需要耗油42.4升。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 比例 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、比例的意义 1.定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.构成要素： (1)组成比例的四个数，叫做比例的项。 (2)两端的两项叫做比例的外项。 (3)中间的两项叫做比例的内项。 3.判断方法： (1)看两个比的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；否则不能。 (2)看化简后的最简整数比是否相同。 4.比和比例的区别： (1)比：由两个数组成，表示两个数相除的关系（如 ）。 (2)比例：由四个数组成，表示两个比相等的等式（如 ）。 考点二、比例的基本性质 1.内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 2.字母表示：如果 （或 ），那么 。 (1)其中 为外项， 为内项。 3.应用： (1)判断比例：验证两个外项之积是否等于两个内项之积。 (2)解比例：将比例转化为方程求解未知项。 4.注意：此性质仅适用于比例，不适用于单纯的比。 考点三、解比例 1.定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.依据：比例的基本性质。 3.一般步骤： (1)设：根据题意设未知数 。 (2)列：根据比例意义或基本性质列出比例式。 (3)转：利用“内项积=外项积”将比例式转化为一般方程（ 的形式）。 (4)解：解方程求出 的值。 (5)验：检验结果是否符合题意及比例成立条件。 4.特殊形式处理： (1)分数形式的比例 ，交叉相乘得 。 (2)含有小数或分数的比例，建议先化为整数比或简便形式再计算，减少误差。 考点四、正比例和反比例的意义及辨识 1. 正比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 (2)关系式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：同增同减，比值恒定。 2. 反比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 (2)关系式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：一增一减，乘积恒定。 3. 辨识步骤（“三步法”） (1)找关联：判断两个量是否相关联（一个量变化，另一个量是否随之变化）。 (2)定关系：写出两个量的关系式，看是商一定还是积一定。 ①　若 （一定），则成正比例。 ②　若 （一定），则成反比例。 (3)下结论：若商和积都不一定，或者两者不相关联，则不成比例。 4. 常见易混点辨析 (1)正方形的周长与边长：成正比例（ ， ）。 (2)正方形的面积与边长：不成比例（ ， ，比值不固定）。 (3)圆的周长与直径：成正比例（ ， ）。 (4)圆的面积与半径：不成比例（ ， ，比值不固定）。 (5)路程一定，速度与时间：成反比例。 (6)速度一定，路程与时间：成正比例。 考点五、正比例图象的认识 1.形状：正比例关系的图象是一条经过原点的直线（射线）。 2.特点： (1)图象上的每一个点都代表一组对应的 数据。 (2)直线越陡，说明比值 越大；直线越平缓，说明比值 越小。 3.作用： (1)无需计算，可直接通过图象查找对应数值。 (2)直观展示两个量同步变化的趋势。 4.注意：反比例的图象是一条双曲线（分支），不在同一直线上，小学阶段主要掌握正比例图象。 考点六、正比例的应用 1.解题思路： (1)判断题目中两种量是否成正比例。 (2)找出对应的一组已知数据，计算比值 。 (3)利用比值相等列方程： 。 2.常见模型： (1)单价一定，总价与数量成正比例。 (2)工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。 (3)速度一定，路程与时间成正比例。 (4)同一时刻、同一地点，物体高度与影长成正比例。 考点七、反比例的应用 1.解题思路： (1)判断题目中两种量是否成反比例。 (2)找出对应的一组已知数据，计算乘积 。 (3)利用乘积相等列方程： 。 2.常见模型： (1)路程一定，速度与时间成反比例。 (2)工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例。 (3)总价一定，单价与数量成反比例。 (4)长方形面积一定，长与宽成反比例。 (5)圆柱体积一定，底面积与高成反比例。 考点八、比例尺的意义 1.定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2.公式： 或 3.性质： (1)比例尺是一个比，不带单位名称。 (2)为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是 1 的最简整数比。 4.分类： (1)数值比例尺：如 或 。 (2)线段比例尺：图上画一段线段，标注表示的实际距离（如 0—50km）。 (3)缩小比例尺：前项为1，用于地图、图纸（图上距离 < 实际距离）。 (4)放大比例尺：后项为1，用于精密零件绘图（图上距离 > 实际距离，如 ）。 考点九、比例尺应用 涉及图上距离、实际距离、比例尺三者之间的换算，核心是单位统一。 1. 求图上距离 (1)公式： (2)步骤： ①　将实际距离换算成与图上距离期望单位一致的较小单位（通常换算成厘米 cm）。 ②　乘以比例尺的前项除以后项（或直接乘分数形式的比例尺）。 2. 求实际距离 (1)公式： (2)步骤： ①　用图上距离除以比例尺（或乘以比例尺的分母）。 ②　将计算结果换算成合适的较大单位（如米 m 或千米 km）。 技巧：若比例尺为 ，则实际距离（cm）= 图上距离（cm） 。 3. 单位换算常识 (1) （5个0） (2) （2个0） (3)去0加0法： ①　厘米变千米：去掉5个0。 ②　千米变厘米：加上5个0。 考点十、图形的放大与缩小 1.定义：把图形的各边按相同的比扩大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.关键特征： (1)形状不变：对应角相等，对应边成比例。 (2)大小改变：面积发生变化。 3.比的含义： (1)放大：比的前项 > 后项（如 ，表示图上距离是实际的2倍，即放大2倍）。 (2)缩小：比的前项 < 后项（如 ，表示图上距离是实际的 ，即缩小到原来的 ）。 (3)注意：“放大2倍”通常指变为原来的2倍（即比值为2）；“缩小到原来的 ”指比值为 。需仔细审题区分“扩大了/缩小了”与“扩大到/缩小到”。 4.面积变化规律： (1)若边长扩大 倍，则面积扩大 倍。 (2)若边长缩小为原来的 ，则面积缩小为原来的 。 5.作图要点： (1)确定关键点（顶点）。 (2)按倍数计算新图形各关键点的坐标或相对位置。 (3)连线成形，确保角度和形状特征保持一致。 例题讲解 题型一、比例的意义 【例题1】能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 【练习1】40的因数有( )个，从中选四个数组成比例是( )。 题型二、比例的基本性质 【例题2】把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是（    ）。 A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 【练习2】如果5X＝6Y（X、Y均不为0），那么Y∶X＝( )∶( )。 题型三、解比例 【例题3】求未知数x。         4x＋0.8×6＝15.2       【练习3】求未知数x。 6x÷3＝8.1                     题型四、正比例和反比例的意义及辨识 【例题4】下面各选项中的两个量，成正比例的是（    ）。 A．某榫卯家具厂工人的人数一定，出勤人数和缺勤人数。 B．圆周率一定，某榫卯圆桌的桌面面积和它的半径。 C．每分钟的电话费一定，某榫卯家具厂销售员通话时长与所花的总费用。 D．榫卯家具的木料总长度一定，每根木料的长度和加工的根数。 【练习4】如果，那和成( )比例关系；如果，那么和成( )比例关系。 题型五、正比例图象的认识 【例题5】星光小学购买校服的数量和总价的关系如下图。 （1）图中点A表示（    ）。 （2）购买校服的数量和总价成（    ）比例。 （3）如果该校六年级1班要购买36套校服，共需多少元钱？ 【练习5】《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 60 … （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买（    ）本《成语故事》。 题型六、正比例的应用 【例题6】测量小组要测量一棵树的高度，量得树的影长是5.1米。同一时间，同一地点测得直立于地面的2米长的标杆影长为1.2米。这棵树有多高？（用比例知识解） 【练习6】景德镇陶瓷厂将一批瓷器运往上海全程800千米。一辆货车从景德镇出发，前3小时行驶了240千米。照这样计算，还需要几小时才能到达目的地？（用比例解答） 题型七、反比例的应用 【例题7】一个房间，原来用面积是9dm2的方砖铺地共用了240块，现在想改用边长4dm的方砖铺地，至少需多少块？（请用比例解。） 【练习7】某加工厂生产一批零件，每天生产40个，需要35天完成，若每天生产56个，需要几天完成？（用比例解） 题型八、比例尺的意义 【例题8】一座城市地图中两地的图上距离为10cm，表示的实际距离为30km，该幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【练习8】一幅地图的比例尺是，把它转化成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是4厘米，那么甲、乙两地之间的实际距离是( )km。 题型九、比例尺应用 【例题9】在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是8厘米；如果画在比例尺是1∶5000000的地图上，甲乙两地的图上距离是多少厘米？ 【练习9】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得清远到深圳之间的距离是7厘米。李叔叔从深圳开车回清远用了3小时，李叔叔平均每小时行驶多少千米？ 题型十、图形的放大与缩小 【例题10】先按1∶2把下面三角形缩小，再把缩小后的图形按3∶1放大。 【练习10】先画出图中的长方形按3∶1的比放大后的图形，再画出图中的三角形按1∶4的比缩小后的图形。 真题演练 1．（2025·四川成都·毕业考真题）能与∶组成比例的是（    ）。 A．8∶2 B．1∶2 C．∶ D．2∶1 2．（2025·湖南永州·毕业考真题）一个圆锥零件的高是10mm，在图纸上的高是2cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·毕业考真题）下列每组中的两个量成正比例的是（    ）。 A．圆的周长和半径 B．长方形的周长一定，长和宽 C．总人数一定，每排人数与排数 D．看一本书，己看的页数与剩下的页数 4．（2025·江苏苏州·毕业考真题）操场长100米，宽60米，在作业本上画出操场平面图，用比例尺（    ）比较合适。 A．1∶20000 B．1∶2000 C．1∶25 D．1∶20 5．（2024·广东梅州·毕业考真题）在比例0.8∶3＝16∶60中，如果给3加上6，要使比例成立，外项中的60应（    ）。 A．加上6 B．乘2 C．加上180 D．加上120 6．（2025·山东菏泽·毕业考真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 7．（2025·四川凉山·毕业考真题）成都“一带一路大厦”，在一幅比例尺是1∶20000的图上量得楼高约是2.45厘米，“一带一路大厦”实际高度是( )米。 8．（2025·江西上饶·毕业考真题）如果（a≠0），那么ab＝( )，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成( )比例关系。 9．（2025·陕西榆林·毕业考真题）一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是( )。 10．（2025·辽宁本溪·毕业考真题）圆的周长和它的半径成( )比例；一个三角形的面积一定，它的底与高成( )比例。 11．（2024·福建福州·毕业考真题）如图，当x与y成正比例时，表中应填( )；当x与y成反比例时，表中又应填( )。 x 45 ？ y 3 5 12．（2025·河北衡水·毕业考真题）在比例尺为1∶6000000的地图上，量得石家庄到武汉的高速公路长15厘米，两地的高速公路实际长度是( )千米。李叔叔开车从石家庄出发，走高速公路，速度为100千米/时，( )小时可到达武汉。 13．（2025·河北石家庄·毕业考真题）一幅地图的比例尺为1∶3000000，在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是8cm。甲、乙两地的实际距离是( )km。如果画在比例尺是的地图上，那么应画( )cm。 14．（2025·辽宁本溪·毕业考真题）解方程和比例。                              15．（2024·河南信阳·毕业考真题）解方程或解比例。                  16．（2024·辽宁盘锦·毕业考真题）先按4∶1把下面的三角形放大，再把放大后的三角形按1∶2缩小。 17．（2025·甘肃兰州·毕业考真题）画一画。 小明家正西方向600米处是公园，公园的东偏北60°方向400米处是医院，小明家东偏南50°方向800米处是学校。根据1∶20000的比例尺，画出上述地点的平面图。 18．（2024·河南新乡·毕业考真题）坐地日行八万里，巡天遥看一千河。巡天空间望远镜就好像一座在轨飞行的移动式空间天文台，可以避开大气干扰，展开前沿天文探索，被称为“中国哈勃”，精度与哈勃望远镜相当，但视场可达到哈勃望远镜的300倍。我国计划于2024年发射巡天望远镜。如图是巡天望远镜的图片，图片中的巡天望远镜立起来后高度为28厘米，它的高度与实际的高度比为1∶50，那么巡天望远镜的实际高度为多少米？（用比例解） 19．（2024·广东清远·毕业考真题）为调配出口感丝滑的奶茶，某奶茶店研发出了一款奶茶方案：茶和奶的比是1∶4，现有280克茶，需准备多少克奶？（列比例解答） 20．（2024·河北保定·毕业考真题）王师傅要加工一个超大型沙盘，供游客参观。在比例尺是1∶1000的图纸上，量得长是3.5厘米，宽是2厘米，这个沙盘的实际面积是多少平方米？ 21．（2024·甘肃兰州·毕业考真题）一间教室要用方砖铺地，用面积是64平方分米的方砖要90块，如果改用边长是6分米的方砖，需要多少块？ 22．（2024·辽宁盘锦·毕业考真题）北京冬奥会上一块金牌约重550克，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比是3∶275。 （1）制作这样的一块金牌需要黄金多少克？（用比例的方法解答） （2）本届冬奥会共产生109枚金牌，需要黄金多少克？ 23．（2025·湖北武汉·毕业考真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 24．（2024·甘肃兰州·毕业考真题）在比例尺是1∶700000的地图上，量的甲乙两地距离为4厘米，一辆汽车平均行驶速度80千米/小时，一辆货车平均行驶速度60千米/小时，两车相向而行，几小时后两车相遇？ 25．（2024·河北邯郸·毕业考真题）小明一家三口准备暑假从武安驾车到北京游玩。如图：这是爸爸所驾汽车行驶的路程和耗油量的情况。 （1）汽车的耗油量与所行驶的路程成什么比例关系？为什么？ （2）根据图估一估，汽车行驶55千米的耗油量大约是（    ）升。如果耗油12升，那么汽车大约行驶了（    ）千米。 （3）如果爸爸驾驶这辆汽车沿着地图规划的路线，从武安到八达岭长城大约要行驶530千米，那么需要耗油多少升？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $