专题05 二次函数（5大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题05 二次函数 6大考点概览 考点01二次函数的解析式 考点04二次函数解决投球问题 考点02二次函数的图象与性质 考点05二次函数解决喷水问题 考点03二次函数解决拱桥问题 考点06二次函数解决其它问题 二次函数的解析式 考点01 1．（2026·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 2．（2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【详解】解：将原抛物线解析式化为顶点式为， 根据平移规律，可得新抛物线的解析式为． 3．（2026·山西阳泉·一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元，经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克、若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据总利润等于每千克利润乘以销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：根据题意，每千克的利润为元． 销售单价从60元降低到元，降低了元， 因此每天增加的销售量为千克，每天的销售量为千克． 则总利润： . 4．（2026·山西·一模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，观察数据发现规律是解决本题的关键 ． 观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数，设出二次函数解析式将数值代入求解即可 ． 【详解】解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数， 设， 由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得 ， 解得， 所以， 即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 故答案为： ． 5．（2026·山西长治·一模）若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 【答案】 【分析】根据二次项系数小于，抛物线开口向下，最高点为二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的引爆时间求解即可． 【详解】解：对函数解析式配方得 ． ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值，即礼炮到达最高处引爆， ∴礼炮引爆的时间为． 二次函数的图象与性质 考点02 1．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 … … 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】先根据表格中y值相等的对应点求出二次函数对称轴，再用待定系数法求出解析式，结合二次函数性质逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】解：∵和时，的值都为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项B结论正确，不符合要求； ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得： ，解得， ∵， ∴图象开口向下，选项A结论正确，不符合要求； ∵二次函数解析式为，函数的最大值为，即所有点的纵坐标都小于0， ∴图象经过第三、四象限，选项C结论正确，不符合要求； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，选项D结论错误，符合要求． 2．（2026·山西吕梁·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据二次函数的开口方向、与轴交点位置、对称轴位置确定、、的符号，再分析一次函数的系数的符号，最后根据一次函数的性质判断其经过的象限，进而确定不经过的象限． 【详解】解：根据图象，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴在轴右侧， ∴，；， ∴． 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，一定不经过第一象限． 3．（2026·山西朔州·一模）如图，二次函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，通过解方程组用含a的代数式表示b和c，最后代入待代数式进行整式加减运算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 可得：，解得：， 将代入①得，解得： ∴． 二次函数解决拱桥问题 考点03 1．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 2．（2026·山西晋中·一模）学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)横幅最低点离地面的距离为7米 【分析】（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为．再把顶点，分别代入计算，得，即可作答． （2）先理解题意，得点的坐标为，点的坐标为，结合抛物线、与的形状相同，故设抛物线表达式为，再运用待定系数法进行解方程，得抛物线表达式为，故点的坐标为以及点的坐标为； （3）由（1）得抛物线的顶点的坐标为，再求出点的横坐标为，代入函数解析式求出，结合横幅宽为0.5米，列式计算得横幅最低点离地面的距离为7米，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为． 抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米， 米， 抛物线的顶点的坐标为， ， 点的坐标为， 将点代入，得，解得， 抛物线表达式为； （2）解：米，米， 点的坐标为， 米， 点的坐标为， 抛物线、与的形状相同， 设抛物线表达式为， 把代入得， 解得：， 抛物线表达式为， 令时，则， 点的坐标为， 由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 点的对称点为， 点的坐标为； （3）解：由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 横幅长为6米，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称， 点的横坐标为， ∵， 当时，， 横幅宽为0.5米， （米）， 横幅最低点离地面的距离为7米． 3．（2026·山西运城·一模）综合与实践 【问题背景】 某游乐园的一座抛物线型拱桥，现在需要在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑，在两个桥墩上搭一个横杆，且要在横杆上方设置一个面积为平方米的矩形广告牌，要求不仅要实用，而且要美观． 【方案实施】 步骤一：如图①，标记拱桥上的各点，拱桥最高点为，将点左侧的点到的水平距离记为负数，点右侧的点到的水平距离记为正数； 步骤二：在拱桥上任意找一组点，设其距离点的水平距离为米，距离地面的高度为米； 步骤三：在拱桥上任意取点，并进行测量，记录，得到相关数据如下表： /米 /米 (1)根据上表中的数据，描点、连线，在图②中画出函数图象，并求出表达式； (2)考虑到其他因素，施工人员最终安置的两个桥墩，的高为米．要求矩形广告牌的一边落在上，矩形的长、宽均为整数，且矩形广告牌关于抛物线型拱桥的对称轴对称．请给出一种广告牌的设计方案．（不考虑桥墩、横杆的宽度） 【答案】(1)图见解析，抛物线的表达式为 (2)矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米或矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米． 【分析】（1）根据表格，描点、连线画出图形即可，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意分种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的表达式为， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵矩形广告牌的面积为平方米，且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）： ①；②；③；④；⑤；⑥． ∵拱桥的最高点到的距离为(米)， ∴方案①，②，③不符合题意； 方案⑥：令，即， 则，， ∴， ∴方案⑥不符合题意； 方案④：当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离地面的高度为， ∵， ∴方案④可以满足要求，即矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米； 方案⑤：当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离地面的高度为， ∵， ∴方案⑤可以满足要求，即矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米． 4．（2026·山西阳泉·一模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为 (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆、与水面夹角的正切值为为上的一个动点，于点、，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好．请直接写出其最大值（注：点在轴的左侧或轴上、点在线段的上方或上）． 【答案】(1)抛物线的表达式为． (2)游船能安全通过 (3)取得最大值为3 【分析】（1）由题意得，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将顶点，分别代入，求出a，c的值，即可解答； （2）根据游船宽，从桥下正中间通过，求出当时，，再求出游船从桥下正中间通过所需最小高度为，由，得到游船能安全通过，即可解答； （3）过点P作于F，于M， 推导出，得到，即，设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，推导出，，得到，，则，点C关于y轴的对称点为，继而推导出，再由点D、E关于y轴对称，得到，根据勾股定理，得到，得到，由，开口向下，对称轴为，推导出当时，随n的增大而减小，则当时，取得最大值，为． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点为． 设抛物线的表达式为，将顶点代入，得； ∴抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵游船宽，从桥下正中间通过时， ∴将代入抛物线，得 ， ∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔， ∴所需最小高度为 ∵， ∴游船能安全通过． （3）解：过点P作于F，延长交于点，则，过点C作轴于点N，如图1 ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． 即， ∴， 设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则 ∴，， ∴，，，， ∴，或（不符合题意，舍去）， ∴，， 即，点C关于y轴的对称点为， ∴ ， ∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E关于y轴对称， ∴， ∴ ， ∵， ∴开口向下，对称轴为， ∴当时，随n的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为． 取得最大值为3． 5．（2026·山西·一模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查二次函数的实际应用，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将顶点，分别代入，求出a，c的值，即可解答； （2）根据游船宽，从桥下正中间通过，求出当时，，再求出游船从桥下正中间通过所需最小高度为，由，得到游船能安全通过，即可解答； （3）过点P作于F，于M， 推导出，得到，即，设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，推导出，，得到，，则，点C关于y轴的对称点为，继而推导出，再由点D、E关于y轴对称，得到，根据勾股定理，得到，得到，由，开口向下，对称轴为，推导出当时，随n的增大而减小，则当时，取得最大值，为． 【详解】（1）解：由题意，得 ，抛物线顶点为． 设抛物线的表达式为，将顶点代入，得 ； ∴抛物线的表达式为， 将代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵游船宽，从桥下正中间通过时， ∴将代入抛物线，得 ， ∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔， ∴所需最小高度为 ∵， ∴游船能安全通过． （3）过点P作于F，于M，过点C作轴于点N，如图1 ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． 即， ∴， 设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则 ，， ∴，， ∴，或（不符合题意，舍去）， ∴，， 即，点C关于y轴的对称点为， ∴ ， ∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E关于y轴对称， ∴， ∴ 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，随n的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为． 答：取得最大值为3． 6．（2026·山西·一模）综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 (1)在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 【答案】(1) (2)这辆货车可以完全停进遮阳棚内，见解析 (3)钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数关系式、勾股定理等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，设与的函数关系式为，将点代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意：设点的坐标为，将代入解析式可得，然后加6与8比较即可； （2）先求得的函数关系式为，设点的坐标为，将解一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点A的坐标为， 设与的函数关系式为， 抛物线的函数关系式为 点的坐标为， 将点代入函数关系式中，得：，解得：． 与的函数关系式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中，得：， 解得：（舍去），． ， 这辆货车可以完全停进遮阳棚内． （3）解：设线段的函数关系式为， 将点代入中得：， 的函数关系式为． 抛物线的一般式为， 且点是抛物线上的点， ∴设点的坐标为， 轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为． ． 将代入得：． 解得：（不符合题意，舍去）． 答：钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置． 二次函数解决投球问题 考点04 1．（2026·山西太原·一模）宇树人形机器人在2026马年春晚《武》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为的人形机器人站在指定点点处向上跳起，同时将球举在头顶上方处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面，与点的水平距离为．图中，，按如图所示的方式建立直角坐标系，那么 (1)求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点的坐标； (2)如果在距离点的地面上有一个高为的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿轴所在直线从点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案． 【答案】(1)， (2)不会，后退1米 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）设机器人往后退米，得到新的解析式，待定系数法求出函数解析式，即可． 【详解】（1）解：由题意，，即，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入，得： ，解得； ∴， 当时，解得或（舍去）； ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴机器人这次投球不会击中这个按钮， 设机器人往后退米，则， 当时，，解得或（舍去）； 故机器人应该沿轴所在直线从点后退1米就可以击中按钮． 2．（2026·山西晋城·一模）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由见解析 【分析】（1）设顶点式，再代入原点即可得解； （2）先求出距离地面高度不低于的x的范围，进而得解； （3）由（1）所得抛物线向上平移5个单位长度可得新的抛物线，再令求出落地点与表演台中心水平距离，再求出安全距离，比较大小即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：当时，， 解得：， ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于， 距离地面高度不低于的水平飞行距离为． （3）解：与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由如下： 由题意知，新抛物线解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ， 与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 3．（2026·山西临汾·一模）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离 0 1 2 3 … 竖直高度 1 … 数学思考： (1)求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： (2)求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为，发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网?说明理由． (3)若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 【答案】(1)，羽毛球本次飞行的最大高度为 (2)羽毛球能越过球网，理由见解析 (3)球员乙选择吊球更合适 【分析】（1）根据表格将点，代入二次函数解析式，利用待定系数法可求得二次函数的一般式，再将二次函数一般式转为顶点式，即可求得结果； （2）先将代入二次函数解析式求得y值，即k值，再将k值与进行比较即可判断； （3）先求出乙选择扣球的函数解析式，球的落地点即函数图象与x轴的交点，此时，令一次函数关系式中的，解出对应的x值，再将代入乙选择吊球的函数解析式并求出，令二次函数关系式中的，解出对应的x值，通过比较二者的x值，选择出较大的x值可使羽毛球的落地点到原点的距离更远的方式． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴羽毛球本次飞行的最大高度为． （2）解：羽毛球能越过球网， 理由：当时，， ∴， 又∵， ∴羽毛球能越过球网． （3）解：当时，， ∴点， 将点Q代入，得，解得， ∴乙选择扣球，则y与x的函数关系式为， 令，即，解得，即羽毛球的落地点到原点的距离为， 将点代入，得，解得， ∴乙选择吊球，则y与x的函数关系式为， 令，即，解得，（舍去）， 即羽毛球的落地点到原点的距离为， ∵， ∴要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，球员乙选择吊球更合适． 4．（2026·山西运城·一模）综合与实践 问题情境：如图1，投石车是我国古代一种远程攻击的武器，在汉朝时期就被大量运用于战场．它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，投石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分． 数学建模：某投石车将石块从距离地面高米的点处发出，现以地面（点在点的正下方）为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知石块从点发射后，当石块距离点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米． 问题解决：已知投石车发射石块的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (1)直接写出石块运动轨迹所在抛物线的顶点的坐标，并求出该抛物线的函数解析式． (2)如图，在原点的正前方米处有一座城墙，城墙上点处有一面帅旗，投石车投出第一块石头从帅旗的正上方飞过（虚线），通过调节发射架的竖直高度，使得石头发射点与原点重合，此时发射的石头恰好击中帅旗． ①求点的坐标； ②通过水平移动投石车也可以击中帅旗，请直接写出平移的方式． 【答案】(1)顶点的坐标为， (2)①点的坐标为；②将投石车向正后方（轴的负方向）平移个单位长度或向正前方（轴的正方向）平移个单位长度 【分析】（1）根据当石块距离点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米，可得顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，把代入，求出值即可得答案； （2）①利用二次函数图像的平移规律得出平移后的解析式，把代入即可求出点坐标为； ②把代入，求出的值，即可求出平移距离及方向． 【详解】（1）解：∵当石块距离点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米． ∴抛物线顶点的坐标为， 设石块运动轨迹所在抛物线的函数解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴石块运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． （2）解：①∵通过调节发射架的竖直高度，使得石头发射点与原点重合， ∴调整后抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴点的坐标为． ②令，则， 解得：，， ∵，， ∴将投石车向正后方（轴的负方向）平移个单位长度或向正前方（轴的正方向）平移个单位长度． 5．（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 【答案】(1) (2)儿童软弹玩具枪在竖直方向应向下移动 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点与落地点求出抛物线的表达式； （2）设平移后的函数表达式，将点代入，求出的值，根据结果描述平移过程； （3）设，则抛物线的表达式为，由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，分别求出对应的的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题意可知，点是抛物线的顶点， ∴，，即， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设平移后的函数表达式， 将点代入，得， 解得， ∴儿童软弹玩具枪在竖直方向应该向下平移； （3）解：设，则抛物线的表达式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 将点代入，得， 解得， ∴要使软弹能够落在长方体盒子里，儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围为． 二次函数解决喷水问题 考点05 1．（2026·山西太原·一模）综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2) (3)1米 【分析】（1）根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把点代入，求出a的值，即可； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得：四边形为矩形，可得，再求出点M的坐标为，对于，令 ，可求出点B的坐标为，再把点，代入可得到抛物线的解析式为，即可求解； （3）对于，令 ，可求出第二次球的落地点距离原点，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴点M的坐标为， 对于，当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴设抛物线的解析式为， 当时，y的值最大，最大值为， 即第二次反弹高度为， ∵第一次飞行的最大高度为， ∴恢复系数为 （3）解：对于， 当时，， 解得：， ∴第二次球的落地点距离原点， ∵， 即弟弟应至少沿方向左移1米． 2．（2026·山西晋城·一模）如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 【答案】(1)上边缘喷出水的最大射程为8米 (2)当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 【分析】（1）易得上边缘抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点H的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式，取，求得合适的x的值，即为上边缘喷出水的最大射程； （2）易得点E的横坐标为7，取，代入（1）中得到的解析式，求得y的值，与的高0.9比较即可判断上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 【详解】（1）解：根据题意可得：喷水口的坐标为，上边缘抛物线的最高点A的坐标为， 设上边缘抛物线的解析式为： 将代入得：， ， 解得． 因此，上边缘抛物线的解析式为： 当时，， （舍），． 即米． 答：上边缘喷出水的最大射程OC为8米． （2）解：因为绿化带水平宽度米，竖直高度米． 所以，当时， 当时：（米）米 当时：（米）米 因为时，，所以上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 解决方法： 设抛物线向右平移个单位，则关系式为 将代入上边缘函数关系式，得： （舍）， （米） 当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 3．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化． 【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米． 【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流． ①求出水点与景观灯底部之间的距离； ②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值． 【答案】(1) (2)①出水点与景观灯底部之间的距离为米；② 【分析】（1）根据题意已知抛物线的顶点坐标及抛物线上一点，设抛物线的顶点式为，再将抛物线上一点代入即可； （2）①首先，根据题意把代入（1）中对应抛物线的表达式中，转换为关于的一元二次方程，解出方程的两个解，再根据题目中的实际意义舍去负值，然后，求得点对应的坐标，进而得出的长，最后，运用勾股定理即可求出的长； ②由平移的性质及题意设出平移后对应的抛物线的表达式，再将点的坐标代入即可求得的值． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过点，顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①解：当时，， 整理得，解得． ， 点， ． 当时，， ， ． 答：出水点与景观灯底部之间的距离为米． ②解：根据题意得平移后的抛物线为， ∵平移后的抛物线经过点， ， 解得， 的值为． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． (2)若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 【答案】(1)①，②不能精准射中点P，理由见解析 (2)米 【分析】（1）①由题意可得抛物线的顶点坐标为，设函数的表达式为，再将原点代入求得a的值即可确定函数解析式；②将代入函数解析式求得y的值，然后与比较即可解答． （2）设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为，由题意可得，再将点代入解析式求得n的值即可解答． 【详解】（1）解：①由题意得：，抛物线的顶点坐标为 设函数的表达式为， 将原点代入上式，得，解得， 首次喷水的抛物线表达式为， ②首次喷出的水流不能精准射中点P． 理由：将代入中，得 ， 首次喷出的水流不能精准射中点P． （2）解：设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为， 由题意可得Q的坐标为，即， 将代入可得： ，解得：， 所以喷头向上平移的距离米． 5．（2026·山西长治·一模）消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据待定系数法求解即可； ②令，求出对应的x的值，则可求灭火图形（即圆）的半径，然后根据圆的面积公式求解； （2）分别求出平移后经过点F和点O时对应的值，然后根据对称性求出，即可求解． 【详解】（1）解：①设， 把代入，得， 解得， ∴； ②当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该喷头覆盖的灭火面积为； （2）解：设向右平移后经过F， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； 设向左平移后经过O， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； ∴． 6．（2026·山西太原·一模）综合与实践问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）点喷出，其距水面的竖直高度（单位：m）与距喷口点的水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：并解决以下问题： 0 7 14 21 28 0 4.5 6 4.5 0 (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出与的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度（单位：m）与距喷水点的水平距离（单位：m）近似满足关系式：．在距喷口点水平距离处有一个互动装置点，要求水柱能落在距互动装置点 的范围内（含），求的取值范围． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为 （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 1．（2026·山西大同·一模）燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐．春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离（单位：）与飞行高度（单位：）的变化规律如下表：二次函数解决其它问题 考点06 水平距离 0 1 2 3 4 … 高度 0 10 16 18 16 … (1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度与飞行的水平距离的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离处有一高为的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； (3)为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 【答案】(1) (2)花灯不会被损坏，见解析 (3)向左平移米 【分析】（1）根据对称性得到抛物线顶点坐标为，设出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可； （3）将代入干粉轨迹解析式，进行判断，设左平移的距离为，得到新的抛物线的解析式，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线顶点坐标为， 设函数解析式为， 把代入得， ， ， 即； （2）解：花灯不会被损坏． 理由：已知花灯在处，高度为． 将代入解析式： ， 花灯不会被损坏． （3）解：干粉不能直达花灯顶端． 理由：将代入干粉轨迹解析式： 不能直达． 设向左平移的距离为，则平移后解析式为 将代入得： 解得：（舍） 答：需向左平移米． 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 3．（2026·山西朔州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出点M的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出，，即可得出答案； （3）令求出x的值，令，求出x的值，然后求出沙发的最大宽度即可． 【详解】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为， ∴点M的坐标为， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合， ∴抛物线的解析式为： ， 令， 解得：，， ∴，， ∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度； （3）解：令， 解得：，， 令， 解得：，， ∴该沙发的长度最大值为： ． 4．（2026·山西长治·一模）综合与实践 问题背景： 节假日期间，旅游景区开园检票时游客排队是常见的现象．某校数学兴趣小组对某景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票14人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数y（单位：人）与开园时间x（单位：）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放6个检票窗口（该景区共有10个检票窗口）． (1)①开园，6个检票窗口已检票的人数为_______（用含x的代数式表示）． ②排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为_______． (2)求开园多少分钟不再有游客排队检票． (3)问题解决：为了让游客尽快完成检票，开园时同时开放n个检票窗口，可以使得排队检票人数最晚在15分钟达到最大值．求n的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3)7 【分析】（1）①根据每个检票窗口每分钟可检票14人，列出代数式即可； ②根据排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可； （3）求出新的函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，开园，6个检票窗口已检票的人数为； ②由题意，； （2）解：根据题意，不再有游客排队检票时，． 将代入，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：开园不再有游客排队检票． （3）解：根据题意，开放n个检票窗口时，排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为， 整理得． ∴该二次函数的对称轴为直线． ∵排队检票人数最晚在15分钟达到最大值， ． 解得． ∵n为正整数， ∴n的最小值为7． 5．（2026·山西·一模）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】(1) (2)这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 6．（2026·山西晋中·一模）综合与实践 【问题情境】在某沙漠化治理研究中，科研人员为了监测沙丘的移动和高度变化，选取了一个典型的新月形沙丘进行剖面测量．为了方便建模，他们将沙丘的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】科研人员以沙丘的最低点（同时也是沙丘与周围平地的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该沙丘轮廓线的最高点距离地面10米，沙丘在平地上的跨度（即底端点和点之间的距离）为40米． 【问题解决】 (1)请求出描述该沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了固定沙丘防止移动，治沙工人计划在沙丘上部（最高点下方）铺设一条水平的草方格沙障． ①若要求沙障距离水平地面的高度为6米．请计算这条草方格沙障的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为搭建稳固的水平沙障，需在沙丘轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面，底端固定在水平地面（即轴）上，顶端贴合沙丘轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（沙丘左侧最低点）水平距离的，请计算两根立柱之间的水平距离． 【答案】(1)； (2)①草方格沙障的长度约为25米； ②两根立柱之间的水平距离为米． 【分析】（1）根据顶点坐标得函数表达式为，再把点B的坐标代入求解即可； （2）①令代入函数解析式即可求解；②设左侧立柱底端到原点O的水平距离为x米，可得左侧立柱顶端的坐标为，求出x的值，再利用抛物线的对称性求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线顶点A的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 由题意，得点B的坐标为． 将点B的坐标为代入，得 解得． ∴沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式为． （2）解：①沙障高度为6米，令， 则． 解得． （米）． ∴草方格沙障的长度约为25米． ②设左侧立柱底端到原点O的水平距离为x米，根据施工要求，左侧立柱顶端的高度为米， ∴左侧立柱顶端的坐标为． 将代入，得． 解得（不合题意，舍去），． ∴左侧立柱底端的坐标为． ∵两侧立柱关于对称轴直线对称， ∴右侧立柱底端的坐标为． ∴两根立柱之间的水平距离为（米）． 7．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定，，，设抛物线的函数表达式为，代入后得到关于，，的方程组，求解即可； （2）当时，代入由（1）所得的抛物线的函数表达式得到，求解后可得答案； （3）确定平移后的抛物线解析式为，确定抛物线上的点的坐标为，再代入求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：∵，，为的中点， ∴， ∵以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）， ∴，，， 设抛物线的函数表达式为，过点，，， ∴， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知：抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为； （3）解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于， ∴此时抛物线上的点的坐标为， ∴， ∴， ∴的最小值． 8．（2026·山西晋城·一模）为迎接春节的到来，某社区在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂了灯笼，营造喜庆的节日氛围．某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂灯笼 测量工具 皮尺等 采集数据 如图1是该社区大门及上方抛物线形框架结构平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度的长为； 3．大门上方抛物线形框架的顶点P到的距离； 4．大门B，C两点到地面的垂直距离均为 设计方案 现需在此抛物线形框架上的点M，N处各悬挂一个灯笼．已知点M，N关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为（M，N之间的距离为） 确定思路 如图2，小组成员经过讨论，确定以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 根据以上信息，解决下列问题： (1)求大门上方框架所在抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)若悬挂点到灯笼最底端的距离为，求灯笼最底端到地面的高度． (3)春节期间，该社区举行非遗盛大文化表演，表演时矩形彩车经过该社区大门时不能触碰灯笼．已知宽为、高度不等的矩形彩车车队居中行驶，且彩车的高度均为整数．在（2）的条件下，求该车队中彩车的最大高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得抛物线对称轴为，结合、顶点，设顶点式，代入点求得，进而即可得解； （2）分别过点M，N作的垂线，垂足为E，F，连接，、关于对称轴对称且水平距，得，代入抛物线得悬挂点的高度，再减去悬挂的距离，即可得到灯笼底端到地面高度； （3）根据彩车居中行驶，宽，可得，代入得抛物线高度约，再根据彩车高度为整数，即可得解． 【详解】（1）解：∵，抛物线对称轴为；到地面高度为，， ∴的纵坐标为，即． ∵，是原点， ∴， 设大门上方抛物线的表达式为． 把代入中， 得， 解得， ∴大门上方抛物线的表达式为； （2）解：如图，分别过点M，N作的垂线，垂足为E，F，连接，则四边形是矩形． 根据题意，得． ∴． ∵点M，N关于抛物线的对称轴对称，， ∴ ． 当时，． ∴． 答：灯笼最底端到地面的高度为； （3）解：∵彩车居中行驶， ∴当时，． ∵， ∴彩车经过灯笼的下方． 又∵，彩车的高度均为整数， ∴该车队中彩车的最大高度为． 【点睛】本题以社区大门抛物线框架为实际背景，通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为二次函数问题，结合函数表达式求解与实际应用，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 9．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知x，y与时间的关系为．      方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30    解决问题： (1)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的表达式； (2)当小球在竖直方向下落时，则它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2)当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了 (3) 【分析】（1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解，得到，，然后将代入即可求解； （2）代入求解即可； （3）桌面高度为，正方体纸箱高度为，小球要落入纸箱，则小球要在时进入纸箱，然后将代入即可得出答案． 【详解】（1）解：，将代入中， 解得， ，将代入， 解得， ，， ，， ， ∴， 小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（舍负）， ∴当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了； （3）解：桌面高度为，正方体纸箱高度为，小球要落入纸箱， 则小球要在时进入纸箱． 将代入中， 解得，（不合题意，舍去）． 正方体纸箱高度为，则它的长与宽也是， 纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为． 纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数 6大考点概览 考点01二次函数的解析式 考点04二次函数解决投球问题 考点02二次函数的图象与性质 考点05二次函数解决喷水问题 考点03二次函数解决拱桥问题 考点06二次函数解决其它问题 二次函数的解析式 考点01 1．（2026·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 3．（2026·山西阳泉·一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元，经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克、若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为_____． 4．（2026·山西·一模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 5．（2026·山西长治·一模）若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 二次函数的图象与性质 考点02 1．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 … … 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大 2．（2026·山西吕梁·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·山西朔州·一模）如图，二次函数的图像经过点，则的值为______． 二次函数解决拱桥问题 考点03 1．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 2．（2026·山西晋中·一模）学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 3．（2026·山西运城·一模）综合与实践 【问题背景】 某游乐园的一座抛物线型拱桥，现在需要在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑，在两个桥墩上搭一个横杆，且要在横杆上方设置一个面积为平方米的矩形广告牌，要求不仅要实用，而且要美观． 【方案实施】 步骤一：如图①，标记拱桥上的各点，拱桥最高点为，将点左侧的点到的水平距离记为负数，点右侧的点到的水平距离记为正数； 步骤二：在拱桥上任意找一组点，设其距离点的水平距离为米，距离地面的高度为米； 步骤三：在拱桥上任意取点，并进行测量，记录，得到相关数据如下表： /米 /米 (1)根据上表中的数据，描点、连线，在图②中画出函数图象，并求出表达式； (2)考虑到其他因素，施工人员最终安置的两个桥墩，的高为米．要求矩形广告牌的一边落在上，矩形的长、宽均为整数，且矩形广告牌关于抛物线型拱桥的对称轴对称．请给出一种广告牌的设计方案．（不考虑桥墩、横杆的宽度） 4．（2026·山西阳泉·一模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为 (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆、与水面夹角的正切值为为上的一个动点，于点、，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好．请直接写出其最大值（注：点在轴的左侧或轴上、点在线段的上方或上）． 5．（2026·山西·一模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 6．（2026·山西·一模）综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 (1)在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 二次函数解决投球问题 考点04 1．（2026·山西太原·一模）宇树人形机器人在2026马年春晚《武》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为的人形机器人站在指定点点处向上跳起，同时将球举在头顶上方处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面，与点的水平距离为．图中，，按如图所示的方式建立直角坐标系，那么 (1)求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点的坐标； (2)如果在距离点的地面上有一个高为的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿轴所在直线从点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案． 2．（2026·山西晋城·一模）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 3．（2026·山西临汾·一模）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离 0 1 2 3 … 竖直高度 1 … 数学思考： (1)求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： (2)求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为，发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网?说明理由． (3)若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 4．（2026·山西运城·一模）综合与实践 问题情境：如图1，投石车是我国古代一种远程攻击的武器，在汉朝时期就被大量运用于战场．它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，投石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分． 数学建模：某投石车将石块从距离地面高米的点处发出，现以地面（点在点的正下方）为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知石块从点发射后，当石块距离点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米． 问题解决：已知投石车发射石块的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (1)直接写出石块运动轨迹所在抛物线的顶点的坐标，并求出该抛物线的函数解析式． (2)如图，在原点的正前方米处有一座城墙，城墙上点处有一面帅旗，投石车投出第一块石头从帅旗的正上方飞过（虚线），通过调节发射架的竖直高度，使得石头发射点与原点重合，此时发射的石头恰好击中帅旗． ①求点的坐标； ②通过水平移动投石车也可以击中帅旗，请直接写出平移的方式． 5．（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 二次函数解决喷水问题 考点05 1．（2026·山西太原·一模）综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 2．（2026·山西晋城·一模）如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 3．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化． 【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米． 【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流． ①求出水点与景观灯底部之间的距离； ②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． (2) 若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 5．（2026·山西长治·一模）消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 6．（2026·山西太原·一模）综合与实践问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）点喷出，其距水面的竖直高度（单位：m）与距喷口点的水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：并解决以下问题： 0 7 14 21 28 0 4.5 6 4.5 0 (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出与的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度（单位：m）与距喷水点的水平距离（单位：m）近似满足关系式：．在距喷口点水平距离处有一个互动装置点，要求水柱能落在距互动装置点 的范围内（含），求的取值范围． 1．（2026·山西大同·一模）燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐．春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离（单位：）与飞行高度（单位：）的变化规律如下表：二次函数解决其它问题 考点06 水平距离 0 1 2 3 4 … 高度 0 10 16 18 16 … (1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度与飞行的水平距离的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离处有一高为的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； (3)为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 3．（2026·山西朔州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 4．（2026·山西长治·一模）综合与实践 问题背景： 节假日期间，旅游景区开园检票时游客排队是常见的现象．某校数学兴趣小组对某景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票14人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数y（单位：人）与开园时间x（单位：）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放6个检票窗口（该景区共有10个检票窗口）． (1)①开园，6个检票窗口已检票的人数为_______（用含x的代数式表示）． ②排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为_______． (2)求开园多少分钟不再有游客排队检票． (3)问题解决：为了让游客尽快完成检票，开园时同时开放n个检票窗口，可以使得排队检票人数最晚在15分钟达到最大值．求n的最小值． 5．（2026·山西·一模）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 6．（2026·山西晋中·一模）综合与实践 【问题情境】在某沙漠化治理研究中，科研人员为了监测沙丘的移动和高度变化，选取了一个典型的新月形沙丘进行剖面测量．为了方便建模，他们将沙丘的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】科研人员以沙丘的最低点（同时也是沙丘与周围平地的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该沙丘轮廓线的最高点距离地面10米，沙丘在平地上的跨度（即底端点和点之间的距离）为40米． 【问题解决】 (1)请求出描述该沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了固定沙丘防止移动，治沙工人计划在沙丘上部（最高点下方）铺设一条水平的草方格沙障． ①若要求沙障距离水平地面的高度为6米．请计算这条草方格沙障的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为搭建稳固的水平沙障，需在沙丘轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面，底端固定在水平地面（即轴）上，顶端贴合沙丘轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（沙丘左侧最低点）水平距离的，请计算两根立柱之间的水平距离． 7．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 8．（2026·山西晋城·一模）为迎接春节的到来，某社区在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂了灯笼，营造喜庆的节日氛围．某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂灯笼 测量工具 皮尺等 采集数据 如图1是该社区大门及上方抛物线形框架结构平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度的长为； 3．大门上方抛物线形框架的顶点P到的距离； 4．大门B，C两点到地面的垂直距离均为 设计方案 现需在此抛物线形框架上的点M，N处各悬挂一个灯笼．已知点M，N关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为（M，N之间的距离为） 确定思路 如图2，小组成员经过讨论，确定以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 根据以上信息，解决下列问题： (1)求大门上方框架所在抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)若悬挂点到灯笼最底端的距离为，求灯笼最底端到地面的高度． (3)春节期间，该社区举行非遗盛大文化表演，表演时矩形彩车经过该社区大门时不能触碰灯笼．已知宽为、高度不等的矩形彩车车队居中行驶，且彩车的高度均为整数．在（2）的条件下，求该车队中彩车的最大高度． 9．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知x，y与时间的关系为．      方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30    解决问题： (1)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的表达式； (2)当小球在竖直方向下落时，则它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $