专题04 一次函数与反比例函数（8大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 一次函数与反比例函数 8大考点概览 考点01从函数图象获取信息解答问题 考点05反比例函数的实际应用 考点02求一次函数的解析式 考点06反比例函数中k的几何意义 考点03一次函数与其它综合的实际应用 考点07反比例函数与几何综合 考点04反比例函数的图象与性质 考点08一次函数与反比例函数综合 从函数图象获取信息解答问题 考点01 1．（2026·山西·一模）《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（    ） A．硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D．溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 【答案】C 【详解】解：A、当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小；当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故原说法错误，不符合题意； C、时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法正确，符合题意； D、溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高，故原说法错误，不符合题意． 2．（2026·山西晋中·一模）如图（1）所示，用相同的实验装置分别加热质量相同的水和食用油，根据实验数据绘制了如图（2）所示的温度随时间变化的图象，则加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由图象确定加热时间为6分钟时，水与食用油的温度，再两者相减即可得解． 【详解】解：由图可知，加热时间为6分钟时，水的温度为，食用油的温度为， ∴加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为． 3．（2026·山西朔州·一模）某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多 【答案】B 【分析】根据图像结合题目中给出的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：由图像可知： 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故A选项错误，不符合题意， 设时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为， ∴当时，，即， ∴当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故B选项正确，符合题意， 当时，产生的气体的质量不变，都为，故C、D选项错误，不符合题意． 4．（2026·山西太原·一模）如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（   ） A．该长方体金属块的重力是 B．该长方体金属块的高度是 C．传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 【答案】D 【分析】当时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，F关于h的关系式，再求出时，F的值即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，，则金属块浸入水中的深度为时，，故该长方体金属块的重力是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，从开始，F不再随浸入深度的增大而变化，则从开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小，当，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化，原说法错误，不符合题意； D、当时，设， 把代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为，原说法正确，符合题意． 5．（2026·山西·一模）常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象，正确识别图象逐项判断即可． 【详解】解：A、随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大，说法正确，不符合题意； B、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力逐渐增大，原说法错误，符合题意； C、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大，说法正确，不符合题意； D、随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为，说法正确，不符合题意； 故选：B． 求一次函数的解析式 考点02 1．（2026·山西大同·一模）在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），当滑轮组悬挂物体时，所用拉力与重力的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设， 把代入，得： ，解得， ∴. 2．（2026·山西晋城·一模）声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 ．．． 331 331.6 332.2 ．．． 则与的函数关系式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表格数据可知满足一次函数关系，利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】由表格数据可知满足一次函数关系， 设的函数关系式为 当时，，代入得 把，代入，得 解得 验证：当时，，与表格数据一致 与的函数关系式为． 3．（2026·山西太原·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足我们学过的某种函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格 1 2 3 8 13.5 19 则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察表格可知，与之间呈一次函数关系，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：观察可知，与之间呈一次函数关系， 设， 把代入，得，解得， ∴. 当时，，符合题意. 一次函数与其它综合的实际应用 考点03 1．（2026·山西晋中·一模）食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（）．小明为了用刻度不超过的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 而且，小明发现，烧了时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把x=110代入即可． 【详解】解：设油温与时间的函数关系是y=kx+b， 则，解得 ∴y=2x+10， 当x=110时，y=2×110+10=230． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式． 2．（2026·山西长治·一模）甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位：）与溶液质量（单位：）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数．判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（   ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 【答案】D 【分析】令溶液质量都为，根据图象即可求解． 【详解】解：如图，令溶液质量都为， 根据图象可得：， ∴溶质的质量分数最大的是甲． 3．（2026·山西运城·一模）随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择．为了满足新能源汽车的充电需求，某城市计划近期购进一批充电桩，已知快充电桩2000元/台，慢充电桩1000元/台，该城市准备购进这两种充电桩共90台． (1)写出购买所需总费用W（元）与快充电桩数x（台）之间的函数表达式； (2)若快充电桩的数量不少于慢充电桩数量的，请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)最省钱的购买方案为：购买快充电桩18台，慢充电桩72台，其最少费用为108000元 【分析】（1）分别求出购买快充电桩和慢充电桩的费用，二者求和即可得到答案； （2）根据若快充电桩的数量不少于慢充电桩数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵快充电桩的数量不少于慢充电桩数量的， ∴， 解得； ∵，， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为， 此时， 答：最省钱的购买方案为：购买快充电桩18台，慢充电桩72台，其最少费用为108000元． 4．（2026·山西晋城·一模）甲公司将员工的午餐外包给某家餐饮公司，该餐饮公司根据每天甲公司员工团购订餐的数量，给出以下优惠方案： 套餐类别 套餐单价 团购订餐优惠方案 ：米饭套餐 元 方案一：套餐满份打九折，套餐满份打八折． 方案二：总费用满元立减元． 注：方案一、二不可同时使用． ：面食套餐 元 (1)某天甲公司有人团购订餐，且订套餐的人数不少于人 ．若按方案一结算的总费用恰为元，求这天订套餐和套餐的人数分别有多少人． (2)某天甲公司有人团购订餐，其中订套餐的人数大于订套餐人数的倍，设其中有人订套餐，按方案一结算的总费用为元，按方案二结算的总费用为元． ①分别求，与之间的函数关系式． ②若按方案二结算较合算，则的值为______． 【答案】(1)30人；10人 (2)①；   ②17或18或19 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）设这天订套餐的有人，订套餐的有人，则，先求出，再根据题意，列出方程组，即可求解； （2）①先求出，再分别根据两种方案的付费方法，列出函数关系式，即可求解；②根据按方案二结算较合算，列出不等式，再结合且为非负整数，即可求解． 【详解】（1）解：设这天订套餐的有人，订套餐的有人，则， ， ，即． 根据题意，得， 解得． 答：这天订套餐的有人，则订B套餐的有人． （2）解：①根据题意，有人订套餐， 则， 解得， ， ． ， ，， ， ． ②根据题意，得， 解得， ，且为非负整数， 或或． 故答案为：或或． 5．（2026·山西临汾·一模）山西运城十大特产之一万荣苹果酸甜可口，芳香味浓．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售万荣出产的甲、乙两种苹果，已知3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数的2倍，问该公司购买这些苹果至少需花费多少元? 【答案】(1)甲种苹果每箱的售价为80元，乙种苹果每箱的售价为60元 (2)该公司购买这些苹果至少花费800元 【分析】（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元，元，根据3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，根据乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设该公司需花费w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元，元． 根据题意得，解得， 答：甲种苹果每箱的售价为80元，乙种苹果每箱的售价为60元． （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 根据题意得，， 解得， 设该公司需花费元，则． ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值，． 答：该公司购买这些苹果至少花费800元． 6．（2026·山西阳泉·一模）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 【答案】(1)甲文具袋每个为元，乙文具袋每个进价为元 (2) 【分析】（）设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个为元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，进而解二元一次方程即可． 【详解】（1）解：设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元； （2）解：根据题意得，， ∴． 7．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表． 信息整理： ①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 … 滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______． (2)观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离． (3)如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 【答案】(1)； (2)滑行距离为 (3)能顺利完成 【分析】（1）观察表格数据，滑行时间​每增加1，滑行速度随之增加4，得出是​的一次函数，设，根据待定系数法求解即可． （2）由图1可知，二次函数过原点，且经过点、，故设，运用待定系数法求出，再代入，求解即可． （3）根据题意知，将，代入​求出，将代入求得点速度，再将代入得出， 根据二次函数的性质即可求出最大高度 ，与比较即可． 【详解】（1）解：观察表格数据，滑行时间​每增加1，滑行速度随之增加4， ∴是​的一次函数， 设， 代入和得：， 解得，验证其余点均满足， ∴函数表达式为 ． （2）解：由图1可知，二次函数过原点，且经过点、， 设， 代入得：， 解得， 即． 当时，． 答：滑行时间为时，滑行距离为． （3）解：该运动员能顺利完成， 理由如下： 根据题意知， 令，代入​得： ， 整理得， 解得：或（舍去）． 将代入得，点速度． 将代入得： ， 这是开口向下的二次函数，最大高度为顶点纵坐标： ． ∵， ∴该运动员能顺利完成此次技巧展示． 反比例函数的图象与性质 考点04 1．（2026·山西长治·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 【答案】A 【分析】根据的符号判断反比例函数的图象位置和增减性，再结合反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断选项即可． 【详解】解： 反比例函数为， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故A符合题意； 反比例函数中，， 图象不可能与坐标轴相交，故B不符合题意； ， 只有在每个象限内，随的增大而增大，故C不符合题意； 当时，， 图象不经过点，故D不符合题意． 2．（2026·山西朔州·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质和图象上点的坐标特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等， ∴ 点在该函数图象上，选项D正确． 3．（2026·山西吕梁·一模）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．点在该函数的图象上 C．该函数的图象关于原点对称 D．当时，随着的增大而减少 【答案】C 【分析】反比例函数的性质：①当时，图象在第一、三象限，每个象限内随增大而减小；②当时，图象在第二、四象限，每个象限内随增大而增大；③反比例函数图象始终关于原点中心对称． 【详解】解：对于选项A：∵反比例函数中，， ∴该函数的图象位于第二、四象限，故选项A错误； 对于选项B：将代入，得， ∴点不在该函数的图象上，故选项B错误； 对于选项C：反比例函数的图象是双曲线，其图象关于原点中心对称，故选项C正确； 对于选项D：∵， ∴当时，函数图象位于第四象限，在该象限内随着的增大而增大，故选项D错误． 综上，正确答案为C． 4．（2026·山西吕梁·一模）已知点都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再根据两点横坐标的范围判断两点所在象限，进而比较纵坐标的大小； 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∵第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负， ∴，即． 5．（2026·山西运城·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据中时，图象在第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，分两个点在同象限、不同象限两种情况讨论即可求解． 【详解】∵反比例函数为，， ∴反比例函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大； 对于点，， ，即， 分两种情况讨论： ①若，在同一象限， ∵同一象限内随的增大而增大，， ∴，与已知条件矛盾，此情况不成立． ②若，在不同象限， 由可得不等式组， 解不等式组，得． 综上，的取值范围为． 反比例函数的实际应用 考点05 1．（2026·山西吕梁·一模）物理课上，同学们在电压一定的情况下，进行了“探究电流与电阻的关系”的实验，得到如下实验数据： 电阻 5 10 15 20 25 电流 则电流I与电阻R之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表格数据进行求解即可． 【详解】解：根据表格数据：， ∴电流I与电阻R之间的函数关系式为． 2．（2026·山西·一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，先理解含糖浓度与饮料质量的乘积就是值，再结合的实际意义为甜味剂质量，得出甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的；再观察函数图象，得出，即可作答． 【详解】解：∵含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系：甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足， ∴甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的； 由函数图象得出， 即丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多， 故选：D 3．（2026·山西吕梁·一模）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 【答案】 【分析】设密度是体积的反比例函数为，把点代入解析式，根据待定系数法求得函数解析式，再将代入函数解析式求解即可． 【详解】解：设密度是体积的反比例函数为， 把点代入，得，解得， ∴， 当时，． 4．（2026·山西大同·一模）【跨学科整合】正确佩戴近视眼镜，可以帮助矫正视力．根据物理学知识，近视眼镜的度数（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距是，小张眼睛近视度数为250度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为_____． 【答案】40 【分析】本题考查实际问题与反比例函数．设出解析式，利用若400度的近视眼镜镜片的焦距是求出解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设解析式为：， 由题有：，解得：， ， 当时，， 则200度的近视眼镜镜片的焦距是． 故答案为：40． 5．（2026·山西晋中·一模）密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 【答案】/1.5/ 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵由表格数据可知，浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，． 故答案为：． 6．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． …… 任务： (1)将分式化为部分分式． (2)函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ (3)拓展：当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近，请你直接写出的最小值以及的值． 【答案】(1) (2)函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 (3)的最小值为1，的值为2 【分析】（1）仿照示例求解即可； （2）结合示例根据“左加右减、上加下减”的平移规律解答即可； （3）先将分式化为部分分式，再依照示例求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到； （3）解： ， ∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0， ∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近2， ∴根据题意可得的最小值为1，的值为2． 1．（2026·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图象经过点．则的值为（    ）反比例函数中k的几何意义 考点06 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质，可得，，设点的坐标为，在中，根据勾股定理求出的长度，进而即可求解． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好落在边上点处，点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为， 则，， ∵， ∴ 解得， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 2．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，C是x轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可知、两点纵坐标相同，则设其为，进而可得，最后将的面积表示出来进行求解即可． 【详解】解：∵轴， ∴、两点纵坐标相同，设其为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵点在上， ∴坐标为， ∴， ∵的面积为5， ∴ 解得． 3．（2026·山西·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键；根据k的几何意义求出，进而求出 ，再根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：由题意知：四边形是矩形， 点在的图象上， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 1．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点．已知矩形的顶点在轴正半轴上，C在轴正半轴上，，且，则的面积为___________．反比例函数与几何综合 考点07 【答案】 【分析】求得点坐标，即可得到反比例函数解析式，再求出点坐标，即可求得的面积． 【详解】，， ， ， 把代入， 可得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 令， 解得，经检验是原方程的解， ， ， 则的面积为． 2．（2026·山西晋中·一模）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____． 【答案】3 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3． 【详解】解：∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A（2，2）， 当x=4时，y=1，即B（4，1）． 如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则S△AOC=S△BOD=×4=2． ∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB=S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3， ∴S△AOB=3． 故答案是：3． 【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 3．（2026·山西临汾·一模）如图，的顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，与对角线交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若点的横坐标为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线的表达式为：，代入点坐标得出的值，根据点的横坐标算出纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为，     点在直线上， ，解得， 直线的表达式为， 点的横坐标为3， 把代入中，得，即点的纵坐标为4， ， 点的纵坐标为4，把代入，得， 点的坐标为． 4．（2026·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． (1)求n的值，以及直线对应的函数表达式． (2)若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）先将点代入反比例函数，求出的值，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）设，求出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， 设直线的函数表达式为， 将点，代入上式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 解得， ∴点M的横坐标为． 一次函数与反比例函数综合 考点08 1．（2026·山西大同·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线解析式，代入得点坐标，再代入反比例函数即可求解析式； （2）由垂线段最短可知时最小，此时为斜边上的高，用等积法即可求此时长． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴把代入，得： ， ∴点坐标为， 把代入，得： ， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由“垂线段最短”可知：当时，最小，如图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， 解得， 即线段的最小值为． 2．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，过点作直线轴，是直线上一点，连接、． (1)求一次函数的表达式及点的坐标． (2)当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求出，将代入，求出，联立一次函数和反比例函数，即可得到点的坐标； （2）过点作于点，则，设点，则，根据，以及进行计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过 ， ， 将代入， 解得， 一次函数的表达式为， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ， 解得或， 当时，， ； （2）解：过点作于点，则， 设点，则， ，， ， ， 解得， ． 3．（2026·山西阳泉·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，与轴，轴交于点，过点作轴、垂足为点为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据三角函数得到，根据平移规律得到，联立与得到，进而求出，根据勾股定理得到，求出、，得到，，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到，进而得到，和是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点， ∴平移后的解析式为：， 联立与得：， 解得：， 经检验，均为原分式方程的解， 当时，，当时，， ∴， ∴，，， 当时，，则，当时，，则， ∴，， 则， ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴， ∴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点，．已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式，并直接写出的值和点的坐标； (2)连接，，直接写出的面积． 【答案】(1)，， (2)4 【分析】（1）首先将代入求出反比例函数的解析式为；然后将代入求出，然后求出直线的表达式为，进而求解即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 将代入得， ∴ 设直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的表达式为 ∴当时， ∴； （2）解：的面积． 5．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，两点，直线交y轴于点． (1)求k，b的值； (2)过点A作轴于点D，已知点D的坐标为，直接写出此时的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）把点代入，可求出一次函数的解析式，再把点代入，可求出点B的坐标，即可求解； （2）求出点A的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴一次函数的解析式为， 把点代入得： ， ∴点， 把点代入得：； （2）解：由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵轴于点D，点D的坐标为， ∴点A的横坐标为2， 把代入得：， ∴点，即， ∵点， ∴的面积为． 6．（2026·山西运城·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、 待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据两图象的交点，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标的范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 反比例函数的表达式为， ，解得， ， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象知，当，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为． 7．（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，且． (1)求直线的函数表达式． (2)设点是轴上的点，若的面积等于12，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得点C横坐标为3，据此求出点C坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点A坐标，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵轴，，且点C在第一象限， ∴点C的横坐标为3， 在中，当时，， ∴； 设直线的函数表达式为，则， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵点是轴上的点，的面积等于12， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 8．（2026·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)27 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，函数与结合图形面积的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，则点的坐标为，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例的函数表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为27． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与反比例函数 8大考点概览 考点01从函数图象获取信息解答问题 考点05反比例函数的实际应用 考点02求一次函数的解析式 考点06反比例函数中k的几何意义 考点03一次函数与其它综合的实际应用 考点07反比例函数与几何综合 考点04反比例函数的图象与性质 考点08一次函数与反比例函数综合 从函数图象获取信息解答问题 考点01 1．（2026·山西·一模）《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（    ） A．硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D．溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 2．（2026·山西晋中·一模）如图（1）所示，用相同的实验装置分别加热质量相同的水和食用油，根据实验数据绘制了如图（2）所示的温度随时间变化的图象，则加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西朔州·一模）某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多 4．（2026·山西太原·一模）如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（   ） A．该长方体金属块的重力是 B．该长方体金属块的高度是 C．传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 5．（2026·山西·一模）常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 求一次函数的解析式 考点02 1．（2026·山西大同·一模）在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），当滑轮组悬挂物体时，所用拉力与重力的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋城·一模）声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 ．．． 331 331.6 332.2 ．．． 则与的函数关系式为（） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足我们学过的某种函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格 1 2 3 8 13.5 19 则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 一次函数与其它综合的实际应用 考点03 1．（2026·山西晋中·一模）食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（）．小明为了用刻度不超过的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 而且，小明发现，烧了时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西长治·一模）甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位：）与溶液质量（单位：）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数．判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（   ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 3．（2026·山西运城·一模）随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择．为了满足新能源汽车的充电需求，某城市计划近期购进一批充电桩，已知快充电桩2000元/台，慢充电桩1000元/台，该城市准备购进这两种充电桩共90台． (1)写出购买所需总费用W（元）与快充电桩数x（台）之间的函数表达式； (2)若快充电桩的数量不少于慢充电桩数量的，请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用． 4．（2026·山西晋城·一模）甲公司将员工的午餐外包给某家餐饮公司，该餐饮公司根据每天甲公司员工团购订餐的数量，给出以下优惠方案： 套餐类别 套餐单价 团购订餐优惠方案 ：米饭套餐 元 方案一：套餐满份打九折，套餐满份打八折． 方案二：总费用满元立减元． 注：方案一、二不可同时使用． ：面食套餐 元 (1)某天甲公司有人团购订餐，且订套餐的人数不少于人 ．若按方案一结算的总费用恰为元，求这天订套餐和套餐的人数分别有多少人． (2)某天甲公司有人团购订餐，其中订套餐的人数大于订套餐人数的倍，设其中有人订套餐，按方案一结算的总费用为元，按方案二结算的总费用为元． ①分别求，与之间的函数关系式． ②若按方案二结算较合算，则的值为______． 5．（2026·山西临汾·一模）山西运城十大特产之一万荣苹果酸甜可口，芳香味浓．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售万荣出产的甲、乙两种苹果，已知3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数的2倍，问该公司购买这些苹果至少需花费多少元? 6．（2026·山西阳泉·一模）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 7．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表． 信息整理： ①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 … 滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______． (2)观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离． (3)如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 反比例函数的图象与性质 考点04 1．（2026·山西长治·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 2．（2026·山西朔州·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 3．（2026·山西吕梁·一模）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．点在该函数的图象上 C．该函数的图象关于原点对称 D．当时，随着的增大而减少 4．（2026·山西吕梁·一模）已知点都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西运城·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D．任意实数 反比例函数的实际应用 考点05 1．（2026·山西吕梁·一模）物理课上，同学们在电压一定的情况下，进行了“探究电流与电阻的关系”的实验，得到如下实验数据： 电阻 5 10 15 20 25 电流 则电流I与电阻R之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西·一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 3．（2026·山西吕梁·一模）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 4．（2026·山西大同·一模）【跨学科整合】正确佩戴近视眼镜，可以帮助矫正视力．根据物理学知识，近视眼镜的度数（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距是，小张眼睛近视度数为250度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为_____． 5．（2026·山西晋中·一模）密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 6．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． …… 任务： (1)将分式化为部分分式． (2)函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ (3)拓展：当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近，请你直接写出的最小值以及的值． 1．（2026·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图象经过点．则的值为（    ）反比例函数中k的几何意义 考点06 A． B． C． D． 2．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，C是x轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______． 3．（2026·山西·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为______． 1．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点．已知矩形的顶点在轴正半轴上，C在轴正半轴上，，且，则的面积为___________．反比例函数与几何综合 考点07 2．（2026·山西晋中·一模）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____． 3．（2026·山西临汾·一模）如图，的顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，与对角线交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若点的横坐标为3，求点的坐标． 4．（2026·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． (1)求n的值，以及直线对应的函数表达式． (2)若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 一次函数与反比例函数综合 考点08 1．（2026·山西大同·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 2．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，过点作直线轴，是直线上一点，连接、． (1)求一次函数的表达式及点的坐标． (2)当时，请直接写出点的坐标． 3．（2026·山西阳泉·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，与轴，轴交于点，过点作轴、垂足为点为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 4．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点，．已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式，并直接写出的值和点的坐标； (2)连接，，直接写出的面积． 5．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，两点，直线交y轴于点． (1)求k，b的值； (2)过点A作轴于点D，已知点D的坐标为，直接写出此时的面积． 6．（2026·山西运城·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 7．（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，且． (1)求直线的函数表达式． (2)设点是轴上的点，若的面积等于12，求出所有符合条件的点的坐标． 8．（2026·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $